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高中数学基础知识完全手册



高中数学基础知识系统导记
(学生可根据自己的实际,选择记忆,突出重点和针对性)

一、集合与简易逻辑
1.元素与集合的关系: a ? A(或a ? A) 。 2.集合的元素具有:确定性、无序性、互异性。如若 A ? 1, a, a 2 ,则 a ? ?1且a ? 0 。 3.集合常用的表示方法:列举法、描述法、图示法。其中要特别注意用描述法表示的集合, 要 弄 清 楚 集 合 元 素 的 属 性 , 如 若 A={ 椭 圆 } , B={ 直 线 } , 则 A ? B ? ? , 又 若

?

?

? ? x2 y2 A ? ?( x, y ) | 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)? , B ? ?( x, y) | Ax ? By ? C ? 0? ,则 A ? B 可 a b ? ?
能 有 0 个 或 1 个 或 2 个 元 素 , 再 如 A ? x | y ? log2 ( x 2 ? 3x ? 2) ,

?

?

B ? y | y ? log2 ( x 2 ? 3x ? 2) , C ? ( x, y) | y ? log2 ( x 2 ? 3x ? 2) , A 表示函数的定义
域, B 表示函数的值域, C 表示函数图象上的点集。 注意:若 A ? ?x | x ? 1, x ? R? , B ? ?y | y ? 1, y ? R? ,则 A ? B 。 4.常见数集:R 表示实数集;N 表示自然数集; N * (或N ? ) 表示正整数集;Q 表示有理数集; . . . Z 表示整数集。 5.空集是任何集合的子集,记作:? ? A ,空集是任何非空集合的真子集;记作:? 任何一个集合是它本身的子集,记作: A ? A 。 6.包含关系: A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ( U 为全集) 。 注意:当 A ? B ? A 或 A ? B ? B 时,要注意考虑 A ? ? 与 A ? ? 的情况。 7.要证明集合 A=B,则须证明: A ? B且B ? A 。 8.集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 个;真子集有 2 ? 1 个;非空子集有 2 ? 1 个;
n

?

?

?

?

A,

n

n

非空的真子集有 2 ? 2 个。
n

9.判断命题的真假要以真值表( p 与非 p :真假相对; p或q :一真必真; p且q :一假
1

必假)为依据。原命题与其逆否命题是等价命题,逆命题与其否命题是等价命题,当一 个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假。 10.命题的否定:条件不变,否定结论。否命题:条件与结论均否定。其中常见的否定词有: 词语 是 一定 都是 大于 小于 且 任意 至多 1个 唯一

词语的 不 一 不 都 小于或 大于或 至少 不是 或 存在 不唯一 否定 定 是 等于 等于 两个 11.若 p ? q ,那么我们说, p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件。 (或 p 的必要条件是 q , 的充分条件是 。 ) q p 12.判断命题充要条件的三种方法: (1)定义法: p ? q 。 (2)利用集合间的包含关系判断,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条 件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。 (3)等价法:即利用等价关系判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题, 一般运用等价法。

二、函数
1. 以 x 为自变量的函数 y = f ( x ) 是集合 A 到集合 B 的一种对应,其中 A 和 B 都是非空的 数 ... . 集 ,对于 A 中的每一个 . ...x ,B 中都有唯一确定的 .....y 和它对应。自变量 x 取值的集合 A 就 是函数 y = f ( x ) 的定义域,和 x 对应的 y 的值就是函数值,函数值的集合 C 就是函数的 值域( C ? B )。 注:集合 A 中有 n 个元素,集合 B 中有 m 个元素,则 A 到 B 的映射有 m 个,而 B 到 A 的映射有 n 个。 2. 求函数定义域需要考虑:分母、根号、零次幂的底、对数的真数、对数与指数的底、正余 切及复合函数求定义域的两种类型。求函数值域的方法要掌握:配方法,观察法,换元 法(整体换元、三角换元) ,单调性法,反函数法,判别式法,三角函数的有界性,基本 不等式法,利用两点间的距离公式法。定义域及值域都必须写成集合 的形式。 .. 3. 若 y = f ( x ) 有反函数 y = f -1 ( x ) ,则 y = f ( x ) 是 y = f -1 ( x ) 的反函数。 反函数 y = f -1 ( x ) 的定义域、值域分别是函数 y = f ( x ) 的值域、定义域。 函数 y = f ( x ) 和它的反函数 y = f -1 ( x ) 的图象关于 y ? x 对称。 (若 f (a ) ? b ,则 f
?1
m n

(b) ? a 即若点 (a, b) 在 y ? f ( x) 的图象上,则点 (b, a ) 必在反函数
2

的图象上)
1 y ? f 注意:○

?1

( x ? 1) 是 y ? f ( x ? 1) 的反函数吗?(不是, y ? f ( x ? 1) 和

) y ? f ?1 ( x) ? 1互为反函数。
2 y ? f ( x ) 与它的反函数 y ? f ○

?1

( x) 的交点必在直线 y ? x 上吗?(若 f ( x) 为增函数
1 x 1 1 1 1 ) 与 y ? log 1 x 的交点为 ( , ), ( , ) ,交点 16 2 4 4 2 16

则一定,否则无法判断)如函数 y ? ( 不在直线 y ? x 上。 4. 设 x1 , x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是减函数。 x1 ? x2

设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为增函数; 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为减函数。 5. 定义域关于原点对称是 f ( x) 具有奇偶性的必要不充分条件 。 (奇偶性的两个条件:一是 ....... 定义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇
1 函数: f (? x) ? ? f ( x) ) 。例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? ? ) 是非奇非偶。 (定 3

义域不关于原点对称) 。 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x) 一定有 f (0) ? 0( 0 不在函数的定义域内, 则无此性质) 。 1 2 奇函数关于原点对称的区间单 注意:○奇函数关于原点对称,偶函数关于 y 轴对称;○ 调性相同,偶函数关于原点对称的区间单调性相反,简称:奇同偶反。 6. 函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) 。

3

(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a,0) 对称 ? f ( x) ? ? f (2a ? x) ? f (a ? x) ? f (a ? x) 。 (3)函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ,则 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

b?a 对称。 2

(4) 若 函 数 y ? f ( x) 对 定 义 域 中 任 意 x 均 有 f (a ? x) ? f (b ? x) ? c ? 0 , 则 函 数

y ? f ( x) 的图象关于点 (
7. 两个函数图象的对称性

a?b c , ? ) 成中心对称图形。 2 2

(1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 y 轴对称。 (2)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f ( x) 的图象关于直线 x 轴对称。 (3)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f (? x) 的图象关于原点对称。 (4)函数 y ? f ( x) 和 y ? f
?1

( x) 的图象关于直线 y ? x 对称。 (? x) 的图象关于直线 y ? ? x 对称。
b?a 对称。 2

(5)函数 y ? f ( x) 和 y ? ? f

?1

(6)函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ?

注意对比:函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ,则 y ? f ( x) 的图象关于直线

x?

b?a 对称。 2

(7)函数 y ? f (a ? wx) 与函数 y ? f (b ? wx ) 的图象关于直线 x ?

b?a 对称。 2w

8. 曲线图象的对称问题: (1)曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 x ? b 对称曲线为: f (2b ? x, y ) ? 0 。 (2)曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 x ? y ? c ? 0 对称曲线为: f (? y ? c,? x ? c) ? 0 。 (3)曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 x ? y ? c ? 0 对称曲线为: f ( y ? c, x ? c) ? 0 。 (4)曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 P (a, b) 对称曲线为: f (2a ? x,2b ? y) ? 0 。

4

9. 若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图 象。
1 函数 y ? f ( x ) 的图象按 a ? (h, k ) 平移后的图象的表达式是: y ? k ? f ( x ? h) ; 即:○ 2 曲线 f ( x, y ) ? 0 按 a ? (h, k ) 平移后的曲线的关系式是: f ( x ? h, y ? k ) ? 0 。 ○

?

?

m

10.分数指数幂 a n ? 且 n ?1) 。

n

。a a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 )

?

m n

?

1 a
m n

( a ? 0, m, n ? N ? ,

11.指数式与对数式的关系是: a b ? N ? loga N ? b(a ? 0, 且a ? 1) 12.对数的换底公式: loga N ?
m

logm N n 1 n 。推论 log a m b ? log a b , loga b ? 。 m logb a logm a
2 (a m ) n = a ○
mn

1 a 13.指数运算性质:○

? a n ? a m? n ;
n n



3 (ab) n = a ? b ; (a ? 0, b ? 0, m, n ? R) ○

1 loga ( MN ) = log M ? log N ; 对数运算性质:○ a a 3 log M n = n log M ; ○ a a

2 log ○ a

M = loga M ? loga N ; N

4 loga a = 1 , ○ loga 1 ? 0 。 (M ? 0, N ? 0, a ? 0, 且a ? 1) 。

14.指数函数和对数函数 指数函数 对数函数

y ? a x (a ? 0, 且a ? 1)
图 Y

y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1)
Y

1 象 O X

O

1

X

5

(1)定义域:R (2)值域: (0,??) 性 (3)过定点: (0,1) 即当 x = 0 时, y = 1 . 质 (4)当 a ? 1 时, 在 R 上是:单调递增函数; 当 0 ? a ? 1 时, 在 R 上是:单调递减函数。 15.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0)

(1)定义域: (0,??) (2)值域:R (3)过定点: (1,0) 即当 x = 1 时, y = 0 (4)当 a ? 1 时, 在(0,+∞)上是:单调递增函数; 当 0 ? a ? 1 时, 在(O,+∞)上是:单调递减函数。

③两根式(也称零点式) : f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) 16.几个函数的周期(约定 a ? 0 ): (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T ? a 。 (2)f ( x ? a) ? ? f ( x) 或 f ( x ? a) ?

1 1 ( f ( x) ? 0) , 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) f ( x)

或 f ( x ? a) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T ? 2 a 。 (3) f ( x) ? 1 ?

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T ? 3a 。 f ( x ? a)

(4)若 y ? f ( x) 是偶函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则 f ( x) 是周期为 2 | a | 的 周期函数。 (5)若 y ? f ( x) )奇函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则 f ( x) 是周期为 4 | a | 的周 期函数。 (6)若 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a , x ? b (a ? b) 对称,则函数 y ? f ( x) 是周期 为 2 a ? b 的周期函数。 (7)若 y ? f ( x) 的图象关于 x ? a 对称,同时关于点 (b,0) 对称, (b ? a ) ,则函数

y ? f ( x) 是周期为 4 | b ? a | 。
(8)若 y ? f ( x) 的图象关于 ( a,0) 对称,同时关于点 (b,0) 对称, (b ? a ) ,则函数
6

y ? f ( x) 是周期为 2 | b ? a | 。
17.设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac ,则有:
2

(1)若 f ( x) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 。 (2)若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 。 注意: 对函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c) 的定义域或值域为 R 的问题, 要注意考虑 a ? 0 的情况。 18.平均增长率的问题:如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总 产值 y ,有 y ? N (1 ? p) x 。 19. 你 知 道 函 数 y ? ax ?

b b (a ? 0, b ? 0) 的 单 调 区 间 吗 ? ( 该 函 数 在 (??,? x a

?或

[

b b b ,??) 上单调递增;在 [? , 0) 或 (0, ] 上单调递减)这可是一个应用广泛的函 a a a

数! 20.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看 法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系。 21. 解恒成立问题常用方法:①分离参数法;②数形结合法;③交换主元法。你能清楚何 时用何种方法吗? 常见题型:①若 m ? f ( x) 在 x ? [a, b] 上恒成立,则 m ? f ( x) max ;若 m ? f ( x) 在

x ? [a, b] 上恒成立,则 m ? f ( x) min 。②若 m ? f ( x) 在 x ? [a, b] 上有解,则
(注:m 为常数。 ) m ? f ( x) min ;若 m ? f ( x) 在 x ? [a, b] 上无解,则 m ? f ( x) min 。 ③ f ( x) ? g ( x) 在 x ? [a, b] 上恒成立,是对于任意的 x ? [a, b] , f ( x) min 必须大于

g ( x) max 吗?应该怎样解?(不是。通常移项,使 h( x) min ? f ( x) ? g ( x) ? 0 即可;
若 h( x) 的最值无法求出,则考虑数形结合,只需在 x ? [a, b] 上 f ( x) 的图像始终在

g ( x) 的上方即可。 )
7

三、数列
1. 通项 an 与前 n 项和 S n 的关系 a n ? ?

( n ? 1) ?S1 ,后检验能否合成一个关系式。 ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

2. 由 ?

?a n ? a n ?1 ?a n ? a n ?1 求最大项 an ;由 ? 求最小项 an 。 ?a n ? a n ?1 ?a n ? a n ?1

3. 两个基本变换:
1 a ? a ? (a ? a ) ? (a ? a ) ? ? ? (a ? a ○ n 1 2 1 3 2 n n?1 ) ( n ? 2)

2 a ? a ? ○ n 1

a a 2 a3 ? ? ? n (n ? 2) a1 a2 an?1

4. 证明数列 ?an ? 是等差数列的方法:
1 定义法: a ? a ○ n n?1 ? d (n ? 2) 或 a n ?1 ? a n ? d (n ? 1) 2 中项法: 2a ? a ○ n n ?1 ? a n ?1 (n ? 2)

5. 等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d ,变形 d ?

am ? an m?n

6. 三数成等差数列, 可设为:a ? d , a, a ? d ; 四数成等差数列, 可设为:a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 7. 前 n 项和公式: sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n 2 2 2 2

8. 在等差数列 ?an ? 中,有关 S n 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 a1 ? 0 ,d<0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 Sm 取最大值。 ?a m ?1 ? 0 ?a m ? 0 的项数 m 使得 Sm 取最小值。 ?a m ?1 ? 0

(2)当 a1 ? 0 ,d>0 时,满足 ? 9. 等差数列的性质:

1 若 m ? n ? p ? q ,则 a ? a ? a ? a ,特别 m ? n ? 2 p ,则 a ? a ? 2a 。 ○ m n p q m n p

8

2 S ,S ○ m 2 m ? S m , S 3m ? S 2m ?? 也成等差数列,且公差为: m d 。
2

3 设 S 是数列 ? ○ an ? 的前 n 项和, ?an ? 为等差数列的充要条件是 S n ? an2 ? bn( a , b 为 n

常数)其公差是 2 a 。
4 若 {a }, {b } 都是等差数列, ○ 前 n 项和分别为 S n , 且 Tn , n n

S n 3n ? 2 a S , 则 7 ? 13 , ? Tn 4n ? 3 b7 T13

a8 17 15a8 17 S15 17 15(3 ? 15 ? 2) ; (注: S n ? kn(3n ? 2) , ? ? ? ? ? ? b9 15 17b9 15 S17 15 17(4 ? 17 ? 3)
) Tn ? kn(4n ? 3) ,其中 k 为非 0 常数。 注意:形如 S n ? an2 ? bn ? c (c ? 0) 的类型,数列 ?an ? 从第二项起成等差数列。即通 项为: a n ? ?

?a ? b ? c ( n ? 1) 。 ?2an ? a ? b ( n ? 2)

10.证明数列 ?an ? 是等比数列的方法:
1 定义法: ○

an a ? q(n ? 2) 或 n?1 ? q(n ? 1) ; an a n ?1
2

2 中项法: a ○ n ? an?1 ? an?1 (n ? 2) 。

11.等比数列的通项公式: an ? a1 ? q n?1 ? am q n?m ,变形 q

n?m

?

an 。 am
a a 3 , ,aq ,aq 。 3 q q

12.三数成等比数列,可设为: ,a ,aq ;四数成等比数列,可设为: 13.前 n 项和公式:
1 当 q ? 1 时, S ? na ○ n 1

a q

2 当 q ? 1 时, ○

14.等比数列的性质:
1 若 m ? n ? p ? q ,则 a ? a ? a ? a ,特别 m ? n ? 2 p ,则 a ? a ? a ○ m n p q m n p ;

2

9

m 2 S ,S ○ m 2 m ? S m , S 3m ? S 2m ?? 也成等比数列,且公比为: q 。

15.若 cn ? an ? bn ,其中 ?an ? 是等差数列,?bn ? 是等比数列,求 ?cn ? 的前 n 项的和,用错位 相减法求和。 16.常用的求和方法有:①倒序相加求和;②错位相减求和;③分组求和;④裂项求和。 17.常用裂项公式:
1 ○

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n ? 1 n
1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

2 ○

1 1 1 1 ? ( ? ); n(n ? 2) 2 n n ? 2

3 ○

m?1 m m 4 C ○ ? Cn n ?1 ? Cn

5 n ? n!? (n ? 1)! ?n! ○

18.由数列的递推公式求通项的类型: (1) an?1 ? an ? f (n) (3) an?1 ? pan ? q ( p ? 1 ) (2) an?1 ? an ? f (n) (4) a n ?1 ?

an pan ? q

(5) an ?1 ?

can ? d (a ? 0) aan ? b

(6) an?1 ? pan ? b n (8) an?1 ? pan ? qn2 ? kn ? c
r (10) an?1 ? pan

(7) an?1 ? pan ? qn ? c (9) an?1 ? pan ? qan?1

(11)前 n 项和 S n 与 an 之间的等式关系求通项类型:
1 a ?1 2 S ? 如○ , an?1 ? S n ? 3n ;○ n 1

4 1 2 a n ? ? 2 n ?1 ? 。这种类型通常利用关系 3 3 3

S n ? S n?1 ? an ( n ? 2 )来进行转换,后由已知类型求解通项。
有些类型要注意考虑用数学归纳法。如: a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an 。 19.常用的求和公式:
1 1? 2 ? 3 ??? n ? ○

n(n ? 1) 2 2 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n ○ 2
10

3 1 ? 2 ??? n ? ○
2 2 2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

四、三角函数
1. 三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦。 2. 弧度制:
1 | ? |? ○

l ; r

2 弧长公式: l ?| ? | r ,其中 | ? | 为圆心角的弧度数; ○ ...

3 扇形的面积公式: S ○ 扇形 ?

1 1 l ? R ? | ? | R2 ; 2 2
?

4 1 弧度= 57 .30 ? ? 57 ?18? , ? 弧度 ? 180 。 ○

3. 公式:

公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1 tanx=
sin x cos x

sin2x+cos2x=1
公式组二:

sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x

cos x x= sin x

1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

sin(? x ) ? ? sin x

sin( ? ? x) ? ? sin x

公式组三:

cos(? x ) ? cos x tan(? x ) ? ? tan x cot(? x ) ? ? cot x sin(2? ? x) ? ? sin x

公式组四:

cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot x sin( ? ? x) ? sin x

公式组五:

cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot x

公式组六:

cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? ? tan x cot(? ? x) ? ? cot x

其中诱导公式记忆方法:奇变偶不变,符号看象限 。其中奇 是指 的系数为奇数,偶 是 ........... . . 2 指

?

? 的系数为偶数,变 是指:正弦与余弦互变,正切与余切互变。看符号时是指对原三 . 2

11

sin ( 角函数进行判断, 并且要将 。 如: ..α 视为锐角 ....
4. 两角和与差的三角函数:

?
2

? ? ) ? cos ? , cos (

?
2

? ? ) ? ? sin ? 。

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?



cos ? ( ? ?) ? c o s ?cos ? ?si n ? s i n? s i n? ( ? ?) ? s i n ?cos ? ?c o s ? s i n?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

tan( ? ? ?) ?


tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? 。
a sin ? ? b cos ? =
定, tan ? ?

a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决

b ? 1 a sin ? ? a cos ? ? 2a sin(? ? ) , ),常见:○ a 4

2 ○

1 3 ? 3 3 ? 3 sin ? ? cos? ? sin(? ? ) ;○ sin ? ? cos? ? 3 sin(? ? ) 。 2 2 3 2 2 6
2 tan ? 1 ? tan 2 ?
变形:

5. 二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? ? cos ?

tan 2? ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
1 sin ? ? ○
2

1 ? cos 2? 2

2 cos ? ? ○
2

1 ? cos 2? 2

6. 一种类型:正余弦的齐次式转化为正切值求解,如

2 cos ? ? 3 sin ? 2 ? 3 tan ? ? ; 3 cos ? ? sin ? 3 ? tan ?

sin ? ? cos? ? cos2 ? ?

sin ? ? cos? ? cos2 ? tan? ? 1 ? 等。 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan2 ?

7. 掌握角的演变: 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? (? ? ? ) ? ? 等。 8. 三角形中的三角变换 (1)角的变换:因为在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? ,所以
12

sin(A ? B) ? sin C ; cos(A ? B) ? ? cosC ; tan(A ? B) ? ? tanC 。
A? B C A? B C A? B C ? cos ; cos ? sin ; tan ? cot 。 2 2 2 2 2 2 (2)在非直角△ ABC 中, tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? tan B ? tan C 。 sin
(3) 在△ ABC 中,熟记并会证明:① ?A, ?B, ?C 成等差数列的充分必要条件是

?B ? 60? ;②△ ABC 是正三角形的充分必要条件是 ?A, ?B, ?C 成等差数列且

a, b, c 成等比数列。
9. 常用结论:
1 (1)若 x ? (0, ○

?
2

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2

(2) 1 ?| sin x | ? | cos x |?

2

2 sin x < x < tan x, x ? (0, ○

?
2

)

f ( x) ?

sin x 在 (0, ? ) 上是减函数 x

3 sin 3 ? ? 3 sin ? ? 4 sin ? ○
3

cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?
sin 75? ? cos15? ? 6? 2 4

6? 2 4 sin 15? ? cos 75? ? ○ 4

tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3
角度 ?

tan75? ? cot15? ? 2 ? 3
? 4
2 2

0
0

? 6
1 2

? 3
3 2
1 2

? 2
1

2? 3

3? 4

5? 6
1 2

?
0

sin ?

3 2
? 1 2

2 2

cos?

1

3 2
3 3

2 2
1

0

?

2 2
?1

?

3 2
3 3

-1

tan ?

0

3

不存在

? 3

?

0

10.三角函数图象的五点作图法:如正弦: (0,0) ; (

?

2 3? ,0) ; (2? ,1) 余弦: (0,1) ; ( ,0) ; (? ,?1) ; ( 2 2

,1) ; (? ,0) ; (

?

3? ,?1) ; (2? ,0) , 2

这五点是函数图象在一个周期内的最高点、最低点与平衡点。
13

注意:你会用五点作图法画 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的草图吗?哪五点?你会根据图象求 参数 A、?、? 、 k 的值吗? 11.三角函数图象及性质 函数 图 正弦函数 余弦函数 正切函数

象 定义域 R R

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ?
R

值域 周期性 奇偶性 对称中心

[ ?1,1]
2?
奇函数

[ ?1,1]
2?
偶函数

?
奇函数

(k? ,0)( k ? Z )即正弦 (k? ?
值为0的点

?
2

,0) ( k ? Z )

(

即余弦值为0的点

k? ,0) ( k ? Z ) 2


对称轴

x?

?
2

? k? ( k ? Z )

x ? k? ( k ? Z )

? ? 区 间 : [2k? ? ? ,2k? ] , ? 2k? , ? 2k? ] , 2 2 ? ? 单调性 ( k ? Z )是增区间; ( k ? Z )是增区间; 区 间 : (? ? k? , ? k? ) 2 2 ? 3? 区 间 : [2k? , ? ? 2k? ] , ( k ? Z )是增区间 [ ? 2k? , ? 2k? ] , 区间: 2 2 ( k ? Z )是减区间; ( k ? Z )是减区间;
[? 区间:
12.三角函数的周期问题:
1 函 数 y ? A sin(wx ? ? ) ? k 、 y ? A cos(wx ? ? ) ? k , y ?| A sin(wx ? ? ) ? h | ○

( x ? R 且 A,ω , ? 为常数,且 A、h≠0)的周期 T ?

2? 。 | w|

2 函数 y ? A tan( wx ? ? ) ? k , y ?| A tan(wx ? ? ) ? k |( x ? k? ? ○

?
2

,k ?Z ) (A,ω , ?

为常数,且 A≠0)的周期 T ?

?
| w|


14

3 函数 y ?| A sin(wx ? ? ) | 、 y ?| A cos(wx ? ? ) | 的周期 T ? ○

?
| w|



4 y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ○ ;

y ? cos x 是周期函数; y ? cos x 为周期函数( T ? ? ) ;
y ? cos 2 x ? 1 的周期为 ? ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: 2

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R 。
13.函数图象的变换: 振幅变换: y ? f ( x) 周期变换: y ? f ( x) 横坐标不变,纵坐标伸长(或缩短)为原来的 A 倍 纵坐标不变,横坐标伸长(或缩短)为原来的 向左 (或向右) 平移 ? 个单位 向上 (或向下) 平移 k 个单位

y ? Af ( x) y ? f ( wx ) y ? f (x ? ?) y ? f ( x) ? k

1 倍 w

y ? f ( x) 相位变换:
平移变换:y ? f ( x) (其中 A, w, ? , k 为正数) 14.反三角函数

?反正弦函数 y ? arcsin x 是奇函数,故 arcsin(? x) ? ? arcsin x , x ? [?1,1] (一定要注 明定义域,若 x ? (??,??) ,没有 x 与 y 一一对应,故 y ? sin x 无反函数 ) ....

? ? ? ? ?? 注: sin(arcsinx) ? x ,x ? ?? 1,1?, arcsin x ? ?? , ? ,arcsin(sinx) ? x ( x ? [ ? , ]) 。 2 2 ? 2 2?
?反余弦函数 y ? arccos x 非奇非偶,但有 arccos( ? x) ? arccos(x) ? ? , x ? ?? 1,1? 。

x) ? x ,x ? [?1,1] , arccosx ? [0, ? ] , x ? [0, ? ] ; 注: ① cos(arccos arccos(cosx) ? x ,
② y ? cos x 是偶函数,y ? arccos x 非奇非偶, 而 y ? sin x 和 y ? arcsin x 为奇函数。 ?反正切函数: y ? arctan x ,定义域 (??,??) ,值域( ?

? ?

,y ? , ) n a t c r a 2 2

x 是奇函数,

arctan( ? x) ? ? arctanx , x ? (??,??) 。
15

注: tan(arctan x) ? x , x ? (??,??) , arctan(tan x) ? x , x ? ( ?

? ?

, ) 2 2

五、平面向量
1. 基本概念 : 向量 a ? ( x, y) , 向量长度 | a |?

?

?

? (a ) 2 ?

? x 2 ? y 2 , 零向量 0 , 单位向量

? ? ? ? ? a a e (其中 | e |? 1 ),与非零向量 a 方向相同的单位向量为: ? (若反向,则为 ? ? ) |a| |a|
2. 平行向量(也称共线向量):方向相同或相反的非零向量。规定 0 与任一向量平行。 注意:平行向量只与方向有关,而与起点、终点无关。 3.相等向量:方向相同且模相等,如 a ? ( x1 , y1),b ? ( x2 , y 2 ) , a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2 4.向量运算 (1)加法运算:加法法则如图:三角形法则与平行四边形法则

?

?

?

?

?

a +b

b b

? ? a ?b
a

a

? ? ? ? 坐标运算: a ? ( x1 , y1),b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
特别: A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? An?1 An ? A1 An , OB ? OA ? AB 等。 (2)减法运算减法法则(如图):三角形法则
a-b
a

b

坐标运算: a ? ( x1 , y1),b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 特别: AB ? OB ? OA ,又若 A、B 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x 2 , y 2 ),则

?

?

?

?

AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 。
(3)实数与向量的积: 定义:?a, (? ? R) ,其中 | ?a |?| ? || a | ,当 λ >0 时,? a 与 a 同向,当 λ <0 时,? a

?

?

?

?

?

?

16

与 a 反向,当 ? ? 0 , ?a ? 0 坐标运算:若 a ? ( x, y) ,则 ?a ? ? ( x, y) ? (?x, ?y) 。 (4)平面向量的数量积: 定 义 : a ? b ?| a || b | cos? ( a ? 0, b ? 0,? 为 向 量 a, b 的 夹 角 ( 有 时 也 记

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

?

? ?

? ?? a, b ? )且 0≤ ? ≤ ? ),规定: 0 ? a ? 0
运算律: a ? b ? b ? a , (?a) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) , (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c 不满足结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) (只有特殊的时候才相等) 坐标运算:若 a ? ( x1 , y1),b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ? ?

? ? ?

?

?

? ?

? ? a ?b 变形: cos? ? ? ? ? | a || b |
5.重要定理、公式

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x12 ? y12 ? x 2 ? y2

(用于求向量的夹角)

1 .向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ?a 即 ○

?

?

?

?

a // b ? a ? ?b ;
坐标形式:若 a ? ( x1 , y1),b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ;
2 . ○ 平面向量基本定理: 若 a, b 是不共线的非零向量, 对任一向量 c , 存在唯一实数 ? , ? ,

?

?

? ?

使得: c ? ? a ? ?b ;应用:若 c ? x1a ? y1b ? x2 a ? y2b ,则 x1 ? x 2 且 y1 ? y2 ;
3 .两个非零向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0 ; ○

?

?

?

?

?

?

?

? ?

坐标形式:若 a ? ( x1 , y1),b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ;
4 .线段的定比分点公式:设 P ( x , y ) , P ( x , y ) , P( x, y) 是线段 PP 的分点, ? 是 ○ 1 2 1 1 1 2 2 2

?

?

?

?

x? ??? ? ???? ? ? 1? ? 实数,且 PP 1 ? ? PP 2 ,则 ?

?

???? ???? ??? ? OP ? ? OP 2 ? OP ? 1 y ? ? y 1 ? ? 2 ?y ? 1 ? 1? ? ?
17

x1 ? ? x2

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 中点坐标公式: ? 。 y ? y 1 2 ?y ? ? 2 ?
? ?,y?),则 ? 6.如果点 p( x , y ) ,按向量 a ? (h, k ) ,平移到 p(x ?

? x? ? x ? h ? x ? x? ? h 或? ? y? ? y ? k ? y ? y? ? k

7. a 在 b 上的投影: a ? cos ? a, b ??

a?b b

(注意: 这一结论常用在立几中求 “点到面的距离; 或异面直线间的距离等距离” 问题上。 ) 8.常见结论:
1 点 P, A, B 共线 ? OP ? xOA ? yOB ,且 x ? y ? 1 ; ○ 2 三角形中“心”向量形式的充要条件设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对 ○

O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC ; O 为 ?ABC 边长分别为 a, b, c , 则 (1) (2)
的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 ; (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ;
3 三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x ,y )、 ○ B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ), 1 1

??? ?2

??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ? ???? ?

??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ?

则△ABC 的重心的坐标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ); 3 3

4 在 ?ABC 中, AB ? BC ? ac cos( ○ ? ? B) ? ?accos B 。

8.三角形的面积公式: (1) S ?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a, b, c 边上的高); 2 2 2 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 。 2 2 2 a b c ? ? ? 2 R ,变形 a ? 2 R sin A , b ? 2R sin B, sin A sin B sin C
18

(2) S ?

9. 正弦定理

c ? 2R sin C, 其中 R 为三角形外接圆的半径。
10.余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ; b ? c ? a ? 2ca cos B ;
2 2 2 2 2 2

1 cos A ? c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,变形:○

b2 ? c2 ? a2 ; 2bc

2 sin A ? sin B ? sin C ? 2 sin B ? sin C ? cos A 。 ○
2 2 2

11.已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定: 其中 h ? b sin A ?A 为锐角时: ① a ? h 时,无解; ② a ? h 时,一解(直角) ; ③ h ? a ? b 时,两解(一锐角,一钝角) ;④ a ? b 时,一解(一锐角) 。 ?A 为直角或钝角时: C a ? b a ? b ① 时,无解;② 时,一解(锐角) 。 b 另附:三角形的五个“心” ; h 重心:三角形三条中线的交点; 外心:三角形三边垂直平分线的交点; A 内心:三角形三个内角的平分线的交点; 垂心:三角形三边上的高的交点; 旁心:三角形一内角的平分线与两条外角平分线的交点。 12.三角形四心:重心、内心、垂心、外心问题
1 若 OP ? OA ? ? ( AB ? AC) (? ? R) ,则动点 P 过三角形的重心; ○

a

2 若 OP ? OA ? ? ( ○

AB | AB |

?

AC | AC | ?

) (? ? R) ,则动点 P 过三角形的内心; AC | AC | cos C

3 若 OP ? OA ? ? ( ○

AB | AB | cos B

) (? ? R) ,则动点 P 过三角形的垂心;

4 若 OP ? ○

OB ? OC AB AC ? ?( ? ) (? ? R) , 则动点 P 过三角形的外心。 2 | AB | cos B | AC | cos C

13.判断三角形的形状:△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,设最大边为 c 则有 下列结论:
19

2 2 2 1 c ?a ?b ? △ABC 为直角△ ? ?A ? ?B ? ○ 2 2 2 2 c ?a ?b ? △ABC 为钝角△ ? ?A ? ?B ? ○ 2 2 2 3 c ?a ?b ? △ABC 为锐角△ ? ?A ? ?B ? ○

? ?
2

?

2

4 ○

a ? b ? sin A ? sin B

2 a ? b ? c o sA ? c o sB

六、不等式
1.不等式的性质: ?a ? b ? b ? a; ?a ? b ? a ?c ? b?c; ? a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ; ? a ? b, b ? c ? a ? c ;

a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;
? a ? b ? 0, x ? 0 ? a x ? b x ? 0 ; (6) ab ? 0, a ? b ?

a ? b ? 0, x ? 0 ? 0 ? a x ? b x

1 1 ? 。 a b a c a a?c ? ?k? ? ?k。 b d b b?d

注意一个等式的性质:

2.比较大小: (1)作差比较的步聚:作差 ?变形(因式分解) ?定号。 (2)作商比较的步骤:作商 ?变形 ?定值(与 1 比大小) 此法要注意:要比较的两个数都为正数 。 .. 3.几个重要不等式: (1)基本不等式:

a ? b 2 a2 ? b2 a ? b 2 a2 ? b2 ab ? ( ) ? ) ? (当 a ? b 时, ab ? ( ) (a, b ? R) 2 2 2 2

a?b ? ab ? ? 1 1 2 ? a b 2

a2 ? b2 (当 a ? b 时取等号) (a ? 0, b ? 0) 2

使用均值不等式求最值时要注意:一正二定三相等 。 .......
20

(2)基本不等式应用的一种类型: 若 a ? 0, b ? 0 , a ? b ? 2 ,求 先把

1 3 ? 的最小值。 3a 4b

1 3 1 1 3 1 1 3 b 3a ? ? )( a ? b) ? [ ? ? ( ? )] 后用均值求最小值即 处理成 ( 3a 4b 2 3a 4b 2 3 4 3a 4b

可,注意写明等号成立的条件。 (3)绝对值不等式: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 。 (注意等号成立的条件) 4.证明不等式的常用方法: (1)比较法; (2)综合法:执因索果; (3)分析法:执果索因; (4)反证法:当命题以否定的形式出现时,考虑用此法。 注:除以上方法外,还有放缩法、构造函数法、数学归纳法(与自然数 n 有关的不等式) 、 判别式法。 5.不等式的解法: (1)一元一次不等式:

b b ? ? ? x ? a (a ? 0) ? x ? a (a ? 0) ? ? ? x ? R(a ? 0且b ? 0)) ? x ? R(a ? 0且b ? 0)) ax ? b ? ? ax ? b ? ? ?无解(a ? 0且b ? 0) ?无解(a ? 0且b ? 0) ? ? b b ? x ? (a ? 0) ? x ? (a ? 0) a a ? ?
(2)一元二次不等式: 设 a ? 0, x1 , x2 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个实根,且 x1 ? x 2
2

根的判别式

2 △= b ? 4ac ? 0

△= b ? 4ac ? 0
2

2 △= b ? 4ac ? 0

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集

?x | x ? x1 , 或x ? x2 ? ?x | x ? x1,2且x ? R?
?x | x1 ? x ? x2 ?
?

R

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集

?

注:1.最好把一元二次方程、一元二次函数的图象、一元二次不等式结合起来思考; 2.当 a ? 0 时,则应先把最高 次项的系数化为正,再用以上结论。 .. (3)简单的一元高次不等式 f ( x) ? 0(或 ? 0) 的解法: 一元高次不等式 f ( x) ? 0(或 ? 0) ,用数轴标根法(或称区间法、穿根法)求解,
1 将 f ( x ) 的最高次项的系数化为正数;○ 2 将 f ( x ) 分解为若干个一次因式或 其步骤是:○

21

3 将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方一次通过每一点 二次不可分因式之积;○ 4 根据曲线呈现出 f ( x ) 的值的符号变化 画曲线(奇次根依次穿过,偶次根穿而不过) 。○

规律,写出不等式的解集。 (4)分式不等式的解法: 思想方法:转化为整式不等式求解。

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 ; ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 ; g ( x) g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ; ; ?0?? ?0?? g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0
f ( x) f ( x) ? ag( x) ?a? ? 0 ? [ f ( x) ? ag( x)]g ( x) ? 0 g ( x) g ( x)

? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 f ( x) ? h( x) ? ? 或? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)h( x) ? f ( x) ? g ( x)h( x)
(5)无理不等式:
1 ○

? f ( x) ? 0 ? 2 ;○ f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ; f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ?

3 ○

(6)指数不等式与对数不等式
1 当 a ? 1 时, a ○

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x)

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

2 当 0 ? a ? 1 时, a ○

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x)

(7)绝对值不等式:
1 | x |? a(a ? 0) ? x ? a或x ? ?a ○ 2 | f ( x) |? a(a ? 0) ? f ( x) ? a或f ( x) ? ?a ○

| x |? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a

| f ( x) |? a(a ? 0) ? ?a ? f ( x) ? a
22

3 | f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)或f ( x) ? ? g ( x) ○

? f ( x) ? ? g ( x) | f ( x) |? g ( x) ? ? ? f ( x) ? g ( x)
2 2 4 | f ( x) |?| g ( x) |? f ( x) ? g ( x) (注意原不等式 x 的取值范围) ○
5 a ?| f ( x) |? b(b ? a ? 0) ? a ? f ( x) ? b或 ? b ? f ( x) ? ?a ○ 6 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用划区间法(也称零点讨论法) ○ 1 二次项系数含参;○ 2 根含参;○ 3 判别式含参。 (8)含参不等式需要掌握三种类型:○ 解决含参不等式的方法:分类讨论法 步骤:首先确定含参的类型:是一种还是两种混合;其次找出分界点:如二次项系 数等于 0 的参数值、根相等的参数值、判别式等于 0 的参数值;第三将分界点标在数轴 上,最后,对参数进行分类,讨论原不等式的解。注意每个分界点都要单独作为一类。 同时应注意题目条件对参数有无限制。

七、直线和圆的方程
1.直线的倾斜角范围是: [0, ? ) ,斜率的定义式是: k ? tan? (?是直线的倾斜角 ) 其中,当倾斜角为 90 ? 时,斜率 k 不存在。 2.经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 的直线的斜率公式为: k ?

y 2 ? y1 x2 ? x1

3.直线的方向向量:当斜率存在时,直线的一个方向向量为: (1, k ) ;当斜率不存在时,直 线的一个方向向量为: (0,1) ;若知道一条直线的方向向量为 (m, n)(m ? 0) ,则直线的 斜率 k ?

n m
?斜截式: y ? kx ? b

4. 直线方程的五种形式: ?点斜式: y ? y? ? k ( x ? x? ) ?截距式:

x y ? ?1 a b

?两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

?一般式: Ax ? By ? C ? 0 , (A,B 不全为 0) (直线的方向向量: ( B,? A) ,法向量( A, B ) )
23

注意:各种形式的使用条件。 5. 两直线的位置关系:设直线 l1 : y = k 1 x + b1 ,直线 l 2 : y = k 2 x + b2 ,则
1 l1 ?? l 2 ? k ? k 且b ? b ○ 1 2 1 2 2 l1 ? l 2 ? k ? k ? ?1 ○ 1 2

若两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系可由系数来确定:
1 l1 ?? l 2 ? A B ? A B 且A C ? A C ○ 1 2 2 1 1 2 2 1 2 l1 ? l 2 ? A A ? B B ? 0 ○ 1 2 1 2

又若直线 l1 , l 2 (不重合)的方向向量分别为 m ? (a1 , b1 ), n ? (a2 , b2 ) ,则:
1 l1 ?? l 2 ? a b ? a b ;○ 2 l1 ? l 2 ? m ? n ? a a ? b b ? 0 ○ 1 2 2 1 1 2 1 2

?

?

? ?

6.到角与夹角:直线 l1 , l 2 的斜率存在,分别为 k 1 、 k 2 ,且 k1k 2 ? ?1 则
1 l 到 l 的角 ? ,有关系式: tan? ? ○ 2 1

k 2 ? k1 ; 1 ? k1 k 2 k 2 ? k1 |。 1 ? k1k 2

2 l 与 l 的夹角 ? ,有关系式: tan? ?| ○ 2 1

7. 距离: (1)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?
Ax 0 ? By 0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C 2 A2 ? B 2



(2)两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离是 d ? 注意:在(2)中应用公式求距离时,要求 x, y 的系数都相同 。 .....

8. 对称问题:关于点、线的对称问题——利用中点与直线的斜率关系进行解题。 9. 直线系: 直线方程 平行直线系 垂直直线系 相交直线系

y ? kx ? b y ? kx ? m
y?? 1 x?m k

Ax ? By ? C ? 0 Ax ? By ? m ? 0 Bx ? Ay ? m ? 0

A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0(是指过直线 l1 与 l 2 交点的
24

直线系方程, 其中 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 , 直线系方程中不包含直线 l 2 ) 10.简单的线性规划: ( 1 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 二 元 一 次 不 等 式 Ax ? By ? C ? 0 表 示 在 直 线

Ax ? By ? C ? 0 的某一侧的平面区域。常用的判断方法是将一个特殊点如(0,0)或
(0,1)的坐标代入不等式 Ax ? By ? C ? 0 ,若 Ax ? By ? C ? 0 成立则表示该点所在 一侧的平面区域;若 Ax ? By ? C ? 0 不成立,则表示该点所在区域另一侧的平面区域。 (2)求解线性规划问题的步骤是: 1 列约束条件;○ 2 作可行域,写目标函数;○ 3 确定目标函数的最优解。 ○ 注意:作图时,留意直线的横纵截距与直线间的斜率大小关系。 11.圆的方程: (1)圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (2)圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0)
2 2

(3)圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ?

(4)圆的直径式方程: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) )
12.点、直线与圆的位置关系: (主要掌握几何法) ?点与圆的位置关系: ( d 表示点到圆心的距离) ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ?直线与圆的位置关系: ( d 表示圆心到直线的距离) ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。 ?圆与圆的位置关系: ( d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r ) ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 注意:其中直线与圆的位置关系也可以用代数法。联立方程得到一个一元二次方程,利
25

用判别式进行确定根的个数,也就可以得到直线与圆是相交、相切还是相离了。 13.若两圆的方程为: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 , 若两圆相交,则两圆方程的差得到公共弦所在的直线方程;若两圆相切,则两圆方程的 差得到一条公切线所在的直线方程。 14.求曲线方程的一般步骤简记:建系、找关系式、关系式坐标化、化简、证明,这几个步骤 中,在具体求解时常常省略证明,但要注明 x 、 y 的取值范围。

八、圆锥曲线
1.椭圆方程: (1)椭圆方程的第一定义:
1 PF ? PF ? 2a ? F F :点 P 的轨迹为椭圆。 ○ 1 2 1 2 2 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 :不存在这样的点 P。 ○ 3 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 :点 P 的轨迹是以 F , F 为端点的线段。 ○ 1 2
2 2 (2)①椭圆的标准方程:i.中心在原点,焦点在 x 轴上: x ? y ? 1(a ? b ? 0) 。ii.中心 2 2

a

b

2 2 在原点,焦点在 y 轴上: y ? x ? 1(a ? b ? 0) ; a2 b2

②一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0, A ? B) ;③椭圆的标准方程:

x2 a2

?

y2 b2

?1的

参数方程为 ? (3)椭圆的性质:

? x ? a cos? ? y ? b sin ?

(若 x ? 0, y ? 0 ,则 ? 应限定为: 0 ? ? ?

?
2

) 。

①顶点: (? a,0) 、 (0,?b) 或 (0,? a) 、 (?b,0) ; ②轴: x 轴、 y 轴为对称轴;长轴长 2a ,短轴长 2b ; ③焦点: (?c,0) 、 (c,0) 或 (0,?c) 、 (0, c ) ; ④焦距: F 1F 2 ? 2c, c ? ⑤准线: x ? ?

a 2 ?b 2 ;

a2 a2 或y?? ; c c
26

⑥ 离 心 率 : e?

c (0 ? e ? 1) ; ⑦ 焦 半 径 : i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为 椭 圆 a

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为左、右焦点,则由椭圆方程的第二 a2 b2
定 义 可 以 推 出 PF1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 ; ii. 设 P( x 0 , y 0 ) 为 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为上、下焦点,则由椭圆方程的第二 b2 a2
定义可以推出: PF1 ? a ? ey0 , PF 2 ? a ? ey0 。 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin ? ) ? 方程的轨迹为椭圆。

(4)共离心率的椭圆系方程:椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 是 a2 b2

e?

c x2 y2 (c ? a 2 ?b 2 ) ,方程 2 ? 2 ? t (t 是大于 0 的参数, a ? b ? 0) 的离心 a a b

率也是 e ?

c ,我们称此方程为共离心率的椭圆系方程。 a

(5)若 P 是椭圆:

x2 y2 ? ? 1 上的点. F 1, F 2 为焦点,若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF 1F 2 a2 b2

的面积为 b tan

2

?
2

(用余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得) 。

2.双曲线方程: (1)双曲线的第一定义:
1 PF ? PF ○ 。 1 2 ? 2a ? F 1F 2 :点 P 的轨迹为双曲线(若无绝对值,只表示一支) 2 PF ? PF ○ 1 2 ? 2a ? F 1F 2 :不存在这样的点 P。 3 PF ? PF ○ 1 2 ? 2a ? F 1F 2 :点 P 的轨迹是以 F 1, F2 为端点的两条射线。

x2 y2 y2 x2 2 一般方程: (2)①双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0), 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 。○ a b a b
27

Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) 。
(3) ①i.焦点在 x 轴上: 顶点: 焦点: 准线方程 x ? ? (a,0) 、 (?a,0) ; (c,0) 、 (?c,0) ;

a2 ; c

x y x2 y2 渐近线方程: ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 。 a b a b

y?? ii.焦点在 y 轴上: 顶点: 焦点: 准线方程: (0,?a) 、 (0,?c) ; (0, a ) ; (0, c) 、
y x y2 x2 渐近线方程: ? ?0 或 2 ? 2 ?0 ;参数方程: a b a b

a2 ; c

? x ? a sec ? 或 ? ? y ? b tan?

? x ? b tan? 。 ? y ? a sec ? ?
②轴: x, y 为对称轴,实轴长为 2 a ,虚轴长为 2b ,焦距 2c 。 ③离心率 e ?

c 2a 2 2b 2 。④准线距 (两准线的距离) ;通径长为: 。 a a c
2 2 2

⑤参数关系: c ? a ?b , e ?

c 。 a

⑥焦半径公式:对于双曲线方程

x2 y2 ? ? 1 ( F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点 a2 b2

或分别为双曲线的上下焦点) 。 右支上的点 M :

MF 1 ? ex 0 ? a MF 2 ? ex 0 ?a M ?F 1 ? ?ex 0 ?a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a

构成满足 MF 1 ? MF 2 ? 2a

左支上的点 M ? :

构成满足 M ? F 2 ? M ?F 1 ? 2a


y



y F1 M

M'

M

x F1 F2 M' F2

x

28

MF 1 ? ey 0 ?a
焦点在 y 轴上:

MF 2 ? ey 0 ? a M ?F 1 ? ?ey 0 ? a M ?F 2 ? ?ey 0 ?a

(4)等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴 双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离 .. 心率 e ?

2。

(5)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线 的共轭双曲线.

x2 y2 x2 y2 ? ? ? ? ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的 与 a2 b2 a2 b2

b x2 y2 渐近线: 2 ? 2 ? 0 即 y ? ? x 。 a a b
(6)共渐近线的双曲线系方程:

x2 y2 x2 y2 ? ? ? ( ? ? 0 ) ? ?0即 ;渐近线方程为 a2 b2 a2 b2

y??

x y b x ;如果双曲线的渐近线为 ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 a a b

x2 y2 ? ? ? (? ? 0) 。 a2 b2
例如:若双曲线一条渐近线为 y ?
2

1 1 x 且过 p (3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2



y

4

3

1 x ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 解:令双曲线的方程为: 2 4
F1

2 1
F2 x

53 3

x2 y2 ? ?1 8 2
(7)直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线, 合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,
29

合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线。 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点 ,可以作出的直线数目可能有 0、2、 .. 3、4 条。

x2 y2 (8)若 P 在双曲线 2 ? 2 ? 1 ,则点 P 到焦点的距离分别为 m 、 n ,则 P 到两准线 a b
PF 1

的距离比为 m : n ,简证:

d1 m ? e = 。 d2 PF 2 n e

常用结论: 1.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于 b ; 2.焦点三角形有结论: S ?PF1F 2 的面积为 b ? cot
2

?
2



3.抛物线方程: 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

y


y



y



y

图形

x O

x O

x O

x O

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦半径

F(

p ,0) 2

F (?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,? y?

p ) 2

p 2 x ? 0, y ? R x??

p 2 x ? 0, y ? R x?

p 2 x ? R, y ? 0 y??

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0) e ?1

PF ?

p ? x1 2

PF ?

p ? x1 2
30

PF ?

p ? y1 2

PF ?

p ? y1 2

注:① ay 2 ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ); 4a 2a

②通径为 2 p ,这是过焦点的所有弦中最短的弦; ③ y 2 ? 2 px(或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

) ( t 为参数) 。

4.圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹(定点 不能落在定直线上) 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆; 当 e ? 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线; 5. 一些常用结论: (1)弦长公式: AB ? 1 ? k 2 ? x ? x ? (1 ? k 2 )[( x ? x ) 2 ? 4 x x ] 2 1 1 2 1 2 当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ?

c ,当 c ? 0, a ? b 时) 。 a

? 1?

1 1 ? y 2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 。 k2 k

(2)(Ⅰ)焦点弦长:①椭圆: | AB |? 2a ? e( x1 ? x2 ) ;②抛物线: AB =

x1 ? x 2 ? p ?
线: 2 p 。

2p 2 ; (Ⅱ)通径(最短弦) :①椭圆、双曲线: 2b ;②抛物 2 sin ? a

?过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx2 ? ny2 ? 1 ( m, n 同时大于 0 且不 相等时表示椭圆, mn ? 0 时表示双曲线) 。 ?椭圆中的结论: ① 内接矩形最大面积: 2ab ; ② P,Q 为椭圆上任意两点,且 OP ? 0Q,则

1 1 1 1 ? ? 2 ? 2; 2 2 | OP | | OQ | a b



椭圆焦点三角形:若点 M 是 ?PF 1 F2 内心, PM 交 F1 F2 于点 N ,则

| PM | a ? ; | MN | c
31



当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 ?F1 PF2 最大。

2 2 ?双曲线焦点三角形:P 是双曲线 x ? y ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左(右)支上一点, a2 b2

F1、F2 分别为左、右焦点,则 ?PF 1F 2 的内切圆的圆心横坐标为 ? a, (a) 。 (6)抛物线中的结论:

p2 ①抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦 AB 性质: <Ⅰ>.x1 x 2 ? ;y1 y2 ? ? p 2 ; 4
2

<Ⅱ>.

1 1 2 ? ? ;<Ⅲ>.以 AB 为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以 | AF | | BF | p p2 。 2 sin ?

AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切;<Ⅴ>. S ?AOB ?

②抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 内接直角三角形 OAB( OA ? OB )的性质: <Ⅰ>. x1 x2 ? 4P 2 , y1 y2 ? ?4P 2 ;<Ⅱ>. l AB 恒过定点 (2 p,0) ; <Ⅲ>. A, B 中点轨迹方程: y 2 ? p( x ? 2 p) ;<Ⅳ>. OM ? AB ,则 M 轨迹 方程为: ( x ? p) ? y ? p ;<Ⅴ>. (S ?AOB ) min ? 4 p 2 。
2 2 2

③抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) ,对称轴上一定点 A(a,0) ,则:
2

<Ⅰ>.当 a ? p 时,顶点到点 A 距离最小,最小值为 a ;<Ⅱ>.当 a ? p 时, 抛物线上有关于 x 轴对称的两点到点 A 距离最小,最小值为 2ap ? p 2 。 6.直线与圆锥曲线问题解法: ?直接法(通法) :联立直线与圆锥曲线方程,得到一元二次方程求解。 注意以下问题: ① 联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程? ② 直线斜率不存在时考虑了吗? ③ 判别式验证了吗? ?设而不求(代点相减法) :--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ;②作差得 k AB ? ③解决问题。
32

y1 ? y 2 ? ?? ; x1 ? x2

7.求轨迹的常用方法: (1)定义法:利用各种曲线的定义(如圆锥曲线的定义、圆的定义、线段垂直平分线 的定义与角平分线的定义等) ; (2)直接法(列等式) ; (3)代入法(相关点法或转移法) ; (4)待定系数法; (5)参数法; (6)交轨法。 8.求点的轨迹与求点的轨迹方程的区别: 求点的轨迹方程:只需求出相应的方程,给出 x 、 y 的取值范围即可。 求点的轨迹:不仅要求出相应的方程,给出 x 、 y 的取值范围,并且要指明方程表 示什么样的曲线。 9.几道典型题: (1)双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的点到一焦点的距离为 12,则到另一焦点的距离为 6 或 9 16

18 ; 若到一焦点的距离为 4, 则到另一焦点的距离为 10; 若到一焦点的距离为 7, 则到另一焦点的距离为 13。 (提示:焦半径要与 a ? c 做比较) (2)过双曲线 2x 2 ? y 2 ? 2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 P、Q 两点,若 | PQ |? 4 , 则这样的直线 l 共有____条;若 | PQ |? 2 ,则 l 共有____条;若 | PQ |? 3 ,则 l 共 有____条;若 | PQ |? 6 ,则 l 共有____条。 (提示: PQ 与 2 a 及通径

2b 2 比较) a

(3) 已知 A(3,2) 、F (4,0) ,在双曲线 小。

1 x2 y2 ? ? 1 上求一点 P ,使 | PA | ? | PF | 最 2 4 12

x2 y2 ? ? 1 ,F 为右焦点,定点 A(2,1) , P 为椭圆上一点,①求 P 的 (4)已知椭圆 16 12
坐标,使 | PA | ?2 | PF | 最小;②求 | PA | ? | PF | 的最大值,最小值。 (5)已知 A(3,2) 、 F (4,0) ,在抛物线 y ? 16x 上求一点 P ,使 | PA | ? | PF | 最小。
2

九、立体几何
1. 平面的基本性质 公理 1:如果一条直线的两个点在一个平面内, 那么这条直线上的所有点都 在这个平面内。 .... 符号语言表述为: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? 。
33

公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点。这些公共点的集合是一 条直线。符号语言表述为: p ? ? ? ? ? ? ? ? ? l , P ? l 。 公理 3:经过不在一条直线上的三点确定一个平面。 推论:一条直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线都可分别确定一个平面。 2.平行 (1)直线平行关系的传递性:平行于同一条直线的两条直线平行(公理 4)。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

a // b? ? ? a // c ; b // c ?
定理:如果一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

? ? AC // DF ? ? ?BAC ? ?EDF ? 并且方向相同 ? AB // DE
推论: 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角 (或 直角)相等。 (2)直线和平面平行的判定定理和性质定理 判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线和交线平行。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

? ? a?? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
(3)平面与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面内的两条相交直线平行于另一平面,那么这两个平面平行。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

a // ?

34

a, b ? ?

? ? a ? b ? C ? ? ? // ? a // ? , b // ? ? ?
推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线,那么这两 个平面平行。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

a , b ? ? , c, d ? ?

? ? a ? b ? C , c ? d ? D ? ? ? // ? ? a // c, b // d ?
性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
符号语言表述为: 图形语言表述为:

? // ? ? ? ? a // ? a ? ??
3. 夹角、距离与垂直 (1)两条异面直线的夹角 ? :过空间任一点作两条直线分别和两条异面直线平行,这两条 直线所成的锐角或直角就是两条异面直线的夹角。夹角为直角时,称两条直线互相垂 直。 (其中 ? ? (0,

?
2

])

两直线异面的判定:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线 是异面直线。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

A ??, B ?? ? ? l ?? ? ? 直线 AB 与 l 是异面直线 ? A?l ?
(2)直线和平面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个 平面垂直。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

35

? ? m?n ? B ??l ?? l ? m, l ? n ? ?
此外还有:

m, n ? ?

a // b ? ??b ?? , a ? ??

? // ? ? ??a ? ? a ? ??
性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的的两个平面平行。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

a ? ?? ? ? a // b b ??? a ??? ? ? ? // ? a ? ??
(3)三垂线定理及其逆定理 三垂线定理(先垂射影后垂斜线):在平面内一条直线,如果和平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也和这条斜线垂直。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

? ? b ?? ? ??a ?b b在平面?的射影为c ? ? a?c ?
三垂线定理的逆定理(先垂斜线后垂射影):在平面内一条直线,如果和平面的一条斜 线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

a ??

? ? b?? ? ??a ?c a?b ? b在平面?的射影为c ? ?
(4)直线和平面所成的角 ? 是直线和其在平面内的射影的夹角。 (其中 ? ? [0,

a ??

?
2

])

(5)以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角( ? ) 。其中 ? ? [0, ? ]
36

(6)垂线段和斜线段长定理:从平面外一点 向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影 .. 相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长 的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短。 (7)最小角原理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的 一切角中最小的角。 (8)平面和平面垂直的判定定理和性质定理 两个平面垂直的定义: 两个平面所成的二面角是

?
2

(或90 ?) 时,称两个平面互相垂直。

两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么两个平面 互相垂直。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

a ? ?? ??? ? ? a ? ??
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

? ?? ? ? ? ? ? b? ? ??a ? ? a ?? ?
a?b ? ?
推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面。 符号语言表述为: 图形语言表述为:

? ?? ? ? ? ?? ??l ?? ? ? ? ? l? ?
(8)距离:本章主要介绍了点到平面,直线和平面,平面和平面,两条异面直线的距离。 求距离主要运用向量的数量积运算、正弦定理和余弦定理 (勾股定理)。 .................. 另附:求角: (步骤------Ⅰ:找或作角;Ⅱ:证;Ⅲ:计算) ?异面直线所成角的求法: 1 平移法:平移直线,构造三角形; ○ 2 补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系。 ○ 3 向量法,转化为两直线方向向量的夹角。 ○ ?直线与平面所成的角: ①直接法(利用线面角定义) ; ②先求斜线上的点到平面距离 h,与斜线段长度作比,得 sin ? 。 3 向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。 ○
37

?二面角的求法: ①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点) ,作出平面角,再求解; ②三垂线法:由一个半平面内一点作(或找)另一个半平面的垂线,用三垂线定 理或逆定理作出二面角的平面角,再求解; ③面积射影定理 cos ? ?

S? (平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ? ,它们 S 所在平面所成锐二面角的为 ? );

4 向量法,转化为两个半平面法向量的夹角。 ○ 注:对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法; 求距离: (步骤------Ⅰ.找或作垂线段;Ⅱ.求距离) ?两异面直线间的距离:一般先作出公垂线段,再进行计算,或转化为点到面的 距离,进行求解。 ?点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解。 ?点到平面的距离。 1 垂面法:借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键) ○ ,再求解; 2 ○等体积法; 3 向量法: d ? ○

| AB ? n | |n|



?球面距离: (步骤) (Ⅰ)求线段 AB 的长; (Ⅱ)求球心角∠AOB 的弧度数 ? (AB 所在大圆的圆心角的弧度数) ; (Ⅲ)求劣弧 AB ? ? ? R 的长。 4. 直观图的一种画法:斜二测画法
1 .在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴交于点 O ,画直观图时,把它们画成 ○

对应的 x ? 轴和 y ? 轴,两轴交于点 O ? ,使 ?x ?O?y ? ? 45? ,它们确定的平面表示水平 平面;
2 .已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x ? 轴或 y ? 轴的线 ○

段;
3 .已知图形中平行于 ○

x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于 y 轴的线段,

长度为原来的一半。 5. 棱柱、棱锥与多面体 1 按侧棱和底面分类:斜棱柱(侧棱与底面不垂直)和直棱柱(侧棱与底面垂直) (1)棱柱:○ 2 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。 ○ 3 特殊的四棱柱分类: ○ {四棱柱} ? {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}。 {直四棱柱} ? {平行六面体}={直平行六面体}。
38

四棱柱

底面是 平行四边形

平行六面体

侧棱垂直 底面

直平行六面体

底面是 矩形

长方体

底面是 正方形

正四棱柱

侧面与 正方体 底面边长相等

(2)棱锥: 1 两个基本性质:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共点的三角形。 ○ 2 正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。 ○ (3)表(侧)面积与体积公式: 柱体:①表面积: S ? S 侧 ? 2S 底 锥体:①表面积: S ? S侧 ? S 底 ②体积: V ? S 底 h ②体积: V ?

1 S底h 3

(4)正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

6. 球 (1)用一个平面去截一个球,截面是圆面,球的截面有以下性质: 1 球心和截面圆心的的连线垂直于截面; ○
2 球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系: d ? R ? r ○
2 2 2

(2)纬度为 ? 的纬线圈所在的小圆半径为: R cos ? ( R 为地球的半径) 。 (3)两点的球面距离:经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
2 (4)球的表面积公式: S ? 4?R ;球的体积公式: V ?

4 3 ?R 。 3

7. 常用结论: (1)从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠BOC 上 的射影在∠BOC 的平分线上; (2)三余弦公式:cos? ? cos?1 cos ? 2;(其中 ? 为平面 ? 内一条直线 a 与平面外一 条直线 b 所成的角,? 1 为直线 b 与平面 ? 所成的角,? 2 为直线 b 在平面 ? 的射 影与直线 a 所成的角。 ) (3)正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的:
1 高:h ? ○

6 6 6 a ;②球心把高分成 3:1;③内切球半径: a ;外接球半径: a ; 3 12 4

(4)最小角定理的应用
39

已知两异面直线 a , b 所成的角为 ? ,过定点的直线 l 与 a , b 所成的角都是 ? ,

? 时,这样的直线有 1 条; 2 2 ? ? ?? ②当 ? ? ? 时,这样的直线有 2 条; 2 2 ? ?? ③当 ? ? 时,这样的直线有 3 条; 2 ? ?? ? ? ? ? 时,这样的直线有 4 条。 ④当 2 2
①当 ? ? 或 (注:如果没说直线过定点,若存在 1 条,则存在无数条。 ) 变形题:已知平面 ? 与 ? 所成的二面角为 80 ? ,P 为 ? 、 ? 外一定点,过点 P 的一 条直线与 ? 、 ? 所成的角都是 30 ? ,则这样的直线有且仅有:4 条。 (5)三棱锥 P ? ABC 中, O 为点 P 在面 ABC 上的射影: ①若 PA ? PB ? PC ,则 O 为 ?ABC 的外心。 ②若 P 到 ?ABC 三边的距离相等,则 O 为 ?ABC 的内心。 ③若 PA, PB, PC 与底面所成的线面角相等,则 O 为 ?ABC 的外心。 ④若三侧面与底面所成的二面角相等,则 O 为 ?ABC 的内心。 ⑤若 PA, PB, PC 两两垂直,则 O 为 ?ABC 的垂心。 (6)球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长; (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长; 正方体的棱切球 的直径是正方体的面对角线长;正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。 (7)求多面体体积的常规方法是什么?(割补法、等积变换法) 8.空间向量相关知识点: (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b (b ? 0), a // b 的充要条件 是存在实数 ? , .... 使 a ? ?b ( ? 唯一) 。 (2)共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实 数 x, y 使 p ? xa ? yb 。 ( 3 ) 空 间 向 量 的 夹 角 及 其 表 示 : 已 知 两 非 零 向 量 a, b , 在 空 间 任 取 一 点 O , 作

?

? ? ?

? ? ?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

?

? ?

40

??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? OA ? a, OB ? b , 则 ?A O B 叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 , 记 作 ? a, b ? ; 且 规 定
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?? a, b ?? ? ,显然有 ? a, b ??? b , a ? ;若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直, 2 ? ? 记作: a ? b ;
(4)证明平行方面的公式:线线平行、线面平行、面面平行
1 线线平行: AB ? ? CD ? AB // CD ○

或 AB ? (a, b),CD ? (c, d ) , ad ? bc ? 0 ? AB // CD

AB ? x1 CD ? y1 CE ? ? CD ? ? ? ? 2 线面平行: CE ? ? ○ ? ? AB // ? ? CD ? CE ? C ? AB ? ? ? ?
? ? AB ? n ? 0? ? 或 ? ? AB // ? ,其中 n 为平面 ? 的法向量 AB ? ? ? ?
3 面面平行: m ? ?n ? ? // ? ,其中 n , m 分别为平面 ? , ? 的法向量 ○

?

?

? ?

(5)垂直:线线垂直、线面垂直、面面垂直
1 线线垂直: AB ? CD ? 0 ? AB ? CD ○

? ? n?a ? 0 ? ? ? ? n ?b ? 0 ? ? 2 线面垂直: a ? ? ○ ?? n ?? ? b ?? ? a ? b ? A? ?
3 面面垂直: m ? n ? 0 ? ? ? ? ,其中 n , m 分别为平面 ? , ? 的法向量 ○

? ?

? ?

(6)角:线线角、线面角、面面角(角记为 ? )

? ? | a ?b | 1 线线角: cos? ? ○ ? ( ? ? (0,90?] ) ? | a |?|b |
41

2 线面角: ○

? | AB ? n | ? sin ? ? ? ( AB 为直线 AB 的方向向量, n 为平面 ? 的法向 | AB | ? | n |

量)( ? ? [0,90?] )
3 面面角: n , m 分别为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ○

? ?

? ? ? ? n?m 先计算 cos ? n, m ?? ? 最后依据题目判断二面角的平面角为锐角 ? ?k, | n |?| m|
还是钝角, 若 ? 为锐角 , 则c 若? 为 os ? ?| c os ? n, m ?|?| k | ,? ? arccos| k | ; .. 钝角 ,则 cos? ? ? | cos ? n, m ?|? ? | k | , ? ? arccos( ? | k |) ? ? ? arccos| k | ..
4 距离:点 B 到面 ? 的距离 d ,其中 n 为平面 ? 的法向量, B ? ? , A ? ? 则有: ○

? ?

? ?

?

? | AB ? n | d? ? |n|
2 2 2 此外若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 | AB |? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 ) 。

其它距离问题均可转化为点与面的距离进行求解。

十、排列、组合和二项式定理
1.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 。 2. 分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn 。
m 3.排列数公式 An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

n! * ( n , m ∈N ,且 m ? n )。 (n ? m)!

n 当 m ? n 时: An ? n! ,规定 0! ? 1 。
m 4.组合数公式 C n =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! = = ( n ? N * , m ? N ,且 m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am
m m n?m m?1 m = Cn ;(2) C n + Cn = Cn Cn ?1

0 m ? n )。规定: Cn ?1

5.组合数的两个性质(1)

6.排列与组合的共同点,就是“都要从 n 个不同元素中,任取 m 个元素” ,而不同点就是排 列“按照一定的顺序排成一列” ,而组合却是“不论怎样的顺序并成一组。 ”因此, “有序 ” .. 与“无序 ”是区别排列与组合的重要标志。 .. m m 7.排列数与组合数的关系是: An 。 ?m ! ? Cn
42

8.含有可重元素 的排列问题: ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是: 设重集 S 有 k 个不同元素 a1 , a2 ,?, ak ,其中限重 复数为 n1 , n2 ,?, nk ,且 n ? n1 ? n2 ? ? ? nk , 则 S 的排列个数等于 n ?

n! 。例 n1!n2 !...nk !

如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个 1!2! 3! 数?其排列个数 n ? ? 1 。 3! 9.几个常用组合数公式:
0 1 2 n Cn ?C n ?C n ? ? ? Cn ?2 n

0 2 4 1 3 5 Cn ?C n ?C n ?? ?C n ?C n ?C n ?? ?2n?1 0 2 n ?m n ?m Cm ?C m?1 1?C m? 2 ? ?C n ?C n?1

m m m m?1 Cm m ?C m?1?C m? 2 ? ?C n ?C n?1

k ?1 kCk n ? nCn?1

1 k 1 k ?1 C n? C n ?1 k ?1 n ?1

10. 常用的证明组合等式的方法: i. 裂项求和法。 如:
1 2 3 n 1 n ?1 1 1 ? ? ?? ? 1? ? ? ) (利用 2! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 1)! n! ( n ? 1)! n!

ii. 导数法。 iii. 数学归纳法。

iv. 倒序求和法。

m?1 m 3 3 3 v. 递推法(即用 C m 。如: C 3 Cn ?C n?4 n ?C n ?C n ?1 递推) 3 ?C 4 ?C 5 ? ? 1。
0 2 1 2 2 n vi. 构造二项式法。 如: (Cn 。 ) ?(Cn ) ? ?? (Cn n ) ?C 2n

证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ? x) n ? (1 ? x) 2n 其中 x n 的系数,左边为
0 1 n ?1 2 n?2 n 0 0 2 1 2 n 2 ,而右边 ?C 2 n 。 Cn ?C n n ?C n ?C n ?C n ?C n ? ??C n ?C n ? (C n ) ?(C n ) ? ?? (C n )

n

11.排列、组合的综合问题: I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法。 ②排除法。③捆绑法:相邻问题。④插空法:元素不相邻问题。 ⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般 元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位 置。即采用“先特殊后一般”的解题原则。 ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全排列有
m An n 种, m(m ? n) 个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能

取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其
43

中 m 个元素次序一定,共有

An n Am m

种排列方法。
n n C kn ?C ( k ?1)n n ?C n

⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有

Ak k



⑧隔板法:相同元素分给几个不同的人,要求每人至少一个元素。 ⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列,规定某 r 个元素必须包
?r 含在内,并且都排在某 r 个指定位置,则有 Arr Ak n?r 。

⑩指定元素排列组合问题。 II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略。 ②合理分类与准确分步策略。 ③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后 排列) 。 ④正难则反,等价转化策略。 ⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略。 ⑦定序问题除法处理策略。 ⑧分排问题直排处理的策略。 ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略。 ⑩构造模型的策略。 12.二项式定理:
0 n 0 1 n ?1 r n ?r r n 0 n 二项式定理: (a ? b) n ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n ab 。

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ?1项; ② ③
0 1 2 r 二项式系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n ,?,C n ,?,C n n;

每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列, b 的升幕排列展开;

r n?r r ④ (a ? b) n 展开式中的第 r ?1 项为: T r ?1?C n a b (0 ? r ? n, r ? Z ) 。

二项式系数的性质: ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数 最大。 ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第

n ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大。 2
44

n

II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第
n ?1 2 n n ?1 2 最大。 n

n ?1 n ?1 ? 1 项,它们的二项式系数 项和第 2 2

C

?C

③系数和:通常实施附值法。如取 x ? 0,?1 等。 13. 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。二项式系数最大项为中间一项或两项; 展开式中系数最大项的求法为用解不等式组 ?

? Tr ?1 ? Tr 来确定 r 。 ?Tr ?1 ? Tr ? 2

十一、概率与统计
1.等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,且所有结果出现的可能性 都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 么事件 A 的概率 P(A) ?

1 ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那 n

m 。 n

2.①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。如果事件 A 、 B 互斥,那么事件 A + B 发生(即 A 、B 中至少有一个发生)的概率,等于事件 A 、B 分别发生的概率和, 即 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ,推广: P(A 。 1?A2 ?? ?An ) ? P(A 1) ? P(A 2 ) ? ? ? P(A n) ②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件 叫对立事件。 ...............
互斥 对立

注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A)? P(A) ? P(A? A) ? 1 。

ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件。 ③相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响。这样 的两个事件叫做相互独立事件。若 A, B 相互独立,则 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ;又若

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ,则 A, B 相互独立。
推广: 若事件 A1 ,A 2 , ?,A n 相互独立, 则 P(A1 ?A 2 ?A n ) ? P(A1 ) ? P(A2 ) ? P(An ) 。 注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B, A 与 B , A 与 B 也都相 互独立。 ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的。 iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验 来讲的多个事件,且 ....
45

这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不 是独立事件。 ④独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的 结果,则称这 n 次试验是独立的。 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在
k n ?k n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率为: P n (k) ?C k 。 n P (1 ? P)

3.对任何两个事件都有: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B) 。 4. 抽样方法: 简单随机抽样 (抽签法、 随机数表法) 、 系统抽样 (先分组, 后从每组取一个) 、 分层抽样(按比例抽取) 。 注意:不管哪一种抽样,每个个体被抽取到的概率都是

n , n, N 分别为样本容量与总 N

体容量。 5. 总 体 分 布 的 估 计 : 条 形 图 、 直 方 图 ( y 轴 的 单 位 是 : 频 率 / 组 距 ) 、总体密度曲线 ( x ? a与x ? b 与曲线围成图形的面积,就是总体在 ( a, b) 内取值的概率) 。 6. 回归直线方程一定通过点 ( x, y )

概率与统计(理科考生用)
1.设离散型随机变量 ? 可能取的值为: x1 , x 2 , ?, x i , ? , ? 取每一个值 x i (i ? 1,2,?) 的概 率 P(? ? x i ) ? p i ,则下表称为随机变量 ? 的概率分布,简称 ? 的分布列。
?
x1 p1 x2 p2

? ?

xi pi

? ?

P

分布列的性质:① p 1 ? 0, i ? 1,2, ?;

② p1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 ;

3 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 ○ ........

2.二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中这个 事件恰好发生 k 次的概率是: P(ξ ? k) ?C n p q
k k n ?k

[其中 k ? 0,1, ?, n, q ? 1 ? p ]。我

们称这样的随机变量 ? 服从二项分布,记作 ? ~ B(n, p) ,其中 n , p 为参数,并记
k n ?k Ck ? b(k, n, p) 。 np q

二项分布的判断与应用: ①二项分布,实际是 n 次独立重复试验,关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,
46

且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布。 ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又 只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列。 3.几何分布:“ ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验 时 事 件 A 发 生 记 为 A k , 事 件 A 不 发 生 记 为 A k , P(A k ) ? q , 那 么

P(ξ ? k) ? P(A1 A2 ?Ak ?1Ak ) 。 根 据 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 公 式 :

?q P(ξ ? k) ? P(A1 )P(A 2 ) ?P(A k ?1 ) P (k )A
率分布列。 ? P 1 q 2 qp 3
q p
2

k ?1

p (k ? 1,2,3, ?) 于是得到随机变量 ? 的概
? ?
q

k
k ?1

?
p

?

我们称 ? 服从几何分布,并记 g(k, p) ?q k ?1 p ,其中 q ? 1 ? p, 4.离散型随机变量 ? 的数学期望与方差: 离散型随机变量 ? 分布列
?
x1 p1 x2 p2

k ? 1,2,3?

? ?

xi pi

? ?

P

则期望为 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ?? ? x n p n ?? 则方差为 D? ? ( x1?E? )2p1?( x2 ?E? )2p2 ?? ? ( xn ?E? )2pn ?? ? E? 2 ? (E? )2
2 2 2 其中: E? 2 ? x1 p1 ? x2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?

注意:数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平,方差与标准差都反映了随机变量

? 取值的稳定与波动,集中与离散的程度。 D? 越小,稳定性越高,波动越小 。 .............
5.常见离散型随机变量 ? 的数学期望与方差: 1 二项分布: ? ~ B(n, p) ( p 为事件 A 在一次试验中发生的概率) ○

E? ? np

D? ? npq

2 几何分布:其分布列为 ? ~ q ( k , p ) ( p 为事件 A 在一次试验中发生的概率) ○
47

E? ?

1 p

D? ?

q p2

3 若 ? ? a? ? b ,则 E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b , D(? ) ? D(a? ? b) ?a 2 D? 。 ○ 6.正态分布:
1 正态分布与正态曲线:如果随机变量 ? 的概率密度函数为: f ( x ) ? ○

1 2? ?

e

?

( x?? )2 2? 2

( x ? R, ? , ? 为常数,且 ? ? 0 ) ,称 ? 服从参数为 ? , ? 的正态分布,用 ? ~ N (?,? 2) 表示。 f ( x ) 的表达式可简记为 N (?,? 2) ,它的密度曲线简称为正态曲线。
2 2 2 正态分布的期望与方差:若 ? ~ N (? ,? ) ,则 ? 的期望与方差分别为: E? ? ? , D? ?? 。 ○

3 标准正态分布:如果随机变量 ? 的概率密度函数为 ? ( x) ? ○

1 2?

e

?

x2 2

( x ? R) ,则称 ?

服从标准正态分布, 记为 ? ~ N (0,1) ,有 ? ( x) ? P(? ? x) ,? (? x) ? 1 ? ? ( x) 求出, 而 p(a ? ? ? b) 的计算法则是 P(a ? ? ? b) ? ? (b) ? ? (a) 。 正态分布与标准正态分布间的关系:若 ? ~ N (?,? 2) ,则 ? 的分布函数通常用 F ( x) 表 示,且有 P(ξ ? x) ? F(x) ? ? (

x ?μ )。 σ

“3 ? ”原则: (1) 假设检验是就正态总体而言的, 进行假设检验可归结为如下三步: ①提出统计假设, 统计假设里的变量服从正态分布 N (? ,? 2) ;②确定一次试验中的取值 a 是否落入范围

(? ? 3? , ? ? 3? ) ; ③ 做 出 判 断 : 如 果 a ? (? ? 3? , ? ? 3? ) , 接 受 统 计 假 设 . 如 果

a ? (? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设。
?“3 ? ” 原 则 的 应 用 : 若 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (?,? 2) , 则 ? 落 在

(? ? 3? , ? ? 3? ) 内的概率为 99.7% 亦即落在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的概率为 0.3%, 此为
48

小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即 ? 不服从正态分布) 。

十二、极限(理科考生用)
1. 第一数学归纳法:①证明当 n 取第一个 n0 时结论正确;②假设当 n ? k ( k ? N ? , k ? n0 ) 时,结论正确,证明当 n ? k ? 1 时,结论成立; 那么,根据①②对一切自然数 n ? n 0 时, P(n) 都成立。 注意: n ? k ? 1 时的证明,一定要用上假设当 n ? k 时成立的结论,否则错误。 2. 第二数学归纳法:设 P(n) 是一个与正整数 n 有关的命题,如果 ①当 n ? n 0 ( n0 ? N ? )时, P(n) 成立; ②假设当 n ? k ( k ? N ? , k ? n0 )时, P(n) 成立,推得 n ? k ? 1 时, P(n) 也成立; 那么,根据①②对一切自然数 n ? n 0 时, P(n) 都成立。 注意: n ? k ? 1 时的证明,一定要用上假设当 n ? k 时成立的结论,否则错误。 3.数列极限的表示方法:① lim an ? a ;②当 n ? ? 时, a n ? a 。
n??

4.几个常用极限:① lim C ? C ( C 为常数) ;② lim
n??
n ??

1 ? 0 (k ? 0, k是常数 ) nk



lim
n??

0 ?| q |? 1 ?0 ? q ? ?1 q ?1 ?不存在 | q |? 1或q ? ?1 ?
n

4 ○

lim
n ??

?0 (k ? a k n ? a k ?1 n ? ? ? a0 ? a k (k ?? t t ?1 bt n ? bt ?1 n ? ? ? b0 ? bt (k ?不存在 ?
k k ?1
n ?? n ??

? t) ? t) ? t)

5.数列极限的四则运算法则:如果 lim a n ? a, limb n ? b ,那么 ① lim(a n ?b n ) ? a ? b ;② lim(a n ?b n ) ? a ? b ;③ lim
n?? n??
n?? n??

n ??

an a ? (b ? 0) bn b

特别地,如果 C 是常数,那么 lim(C ?a n ) ? lim C ? lima n ? Ca 。
n??

6.数列极限的应用: 求无穷数列的各项和,特别地,当 0 ? q ? 1 时,
49

lim S
n ??

n

?

a1 (即无穷等比数列的 1? q

各项和为 S ?

a1 ) 。 1? q
?

(化循环小数为分数方法同上式,如 0. 3 ? 3 ?

1 1 1 0.1 1 ? 3? ? 3? ? ?? ? 3 ? ? ) 10 100 1000 1 ? 0.1 3

1 “ 7.常见的几类数列极限的类型和方法有:○

2 “ 分母有理化、因式分解约去一些项;○

? ”分子分母求和,再化简,转化为有极限; ?

0 ”型:分子、分母分别求和再化简(分子 0

3 “ ? ? ?” 4 已知极限值定参数: ○ :将其看作分母为 1 的分式,有理化,转化求极限;○ 1 ○ 2 也可以用分子分母求导后再求极限) 待定系数法。 (其中○ 。

8.

lim
x?x
0?

f ( x) ? lim f ( x) ? a ? lim f ( x) ? a
x?x
0?

x?x0

注:当 x ? x 0 时, f ( x) 是否存在极限与 f ( x ) 在 x0 处是否有定义无关,因为 x ? x 0 并不 要求 x ? x0 。 (当然, f ( x ) 在 x0 是否有定义也与 f ( x ) 在 x0 处是否存在极限无关。 所以函数 f ( x ) 在 x0 有定义是 lim f ( x) 存在的既不充分又不必要条件。当 f ( x ) 在
x ? x0

) x0 处有定义且 lim f ( x) 存在时, f ( x0 ) 不一定等于 lim f ( x) 。
x ? x0 x ? x0

9.函数极限的四则运算法则:如果 lim f ( x) ? a, lim g ( x) ? b ,那么
x ? x0 x ? x0

① lim ( f ( x) ? g ( x)) ? a ? b ;② lim ( f ( x) ? g ( x)) ? a ? b ;③ lim
x ? x0 x ? x0

x ? x0

f ( x) a ? (b ? 0) g ( x) b

特别地,如果 C 是常数,那么 lim (C ? f ( x)) ? C lim f ( x) ;
x ? x0 x ? x0

x ? x0

lim[ f ( x)]n ? [ lim f ( x)]n ( n ? N ? )
x ? x0

注:①各个函数的极限都应存在; ②四则运算法则可推广到任意有限个 极限的情况, 但不能 推广到无限个 极限的 情况。 ... .. ... ... 10.几个常用极限: ① lim

1 ? 0; x ?? x
x x ? ??

il ② lim a ? 0 (0< a <1) ;m
x ? ??

a x ? 0 ( a >1) ;
50

③ lim
x?0

sin x x ? 1 ? lim ? 1; x ? 0 x sin x
1

1 x ④ lim (1 ? ) ? e , lim(1 ? x) x ? e ( e ? 2.71828183 ?? ) 。 x ?? x ?0 x
11. 函数的连续性:函数 y ? f ( x) 在点 x ? x 0 处连续必须满足三个条件: ①函数 y ? f ( x) 在点 x ? x 0 处有定义;② lim f ( x) 存在;
x? x0

③函数 y ? f ( x) 在点 x ? x 0 处的极限值等于该点的函数值,即 lim f ( x) ? f ( x 0 ) 。
x? x0

12.函数 y ? f ( x) 在点 x ? x 0 处不连续(间断)的判定: 如果函数 y ? f ( x) 在点 x ? x 0 处有下列三种情况之一时,则称 x 0 为函数 y ? f ( x) 的不 连续点:① y ? f ( x) 在点 x ? x 0 处没有定义,即 f ( x 0 ) 不存在;② lim f ( x) 不存在;
x? x0

③ lim f ( x) 存在,但 lim f ( x) ? f ( x 0 ) 。
x? x0 x? x0

13. 零点定理: 设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 且 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么在开区间 (a, b) 内至少有函数 f ( x) 的一个零点,即至少有一点 x0 ( a < x0 < b )使 f ( x0 ) ? 0 。 14.最大、最小值定理:设函数 y ? f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,则 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上 有最大值和最小值。而函数 y ? f(x) 在区间 ( a, b) 上连续,却不一定有最大值或最小 值。 15. 若函数 f(x) 在某个区间内连续, 且 x0 是这个区间内的一个值, 则

lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x 0 ) 。

十三、导数(理科考生用)
1.导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切 线的斜率,也就是说,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ,切线 方程为: y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) 。 此外:物理学上的瞬时速度 v(t ) ? s ?(t ) ?

lim
?t ?0

?s s(t ? ?t ) ? s (t ) ? lim ,瞬时加速度 ?t ?t ?t ?0

51

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 。在经济学上:设 C 是成本, q 是产量, ?t ?t ?0 ?t ?t ?0 成本与产量的函数关系式为 C ? C (q) ,则 C ? C (q) 在点 (q, C (q )) 处的导数为边际成 a(t ) ? v ?(t ) ? lim
本。 2. f ( x ) 在 x0 处的导数:

f ?( x0 ) = lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 或 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x0 ?x x ? x0
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x

f ( x) 的导数: f ?( x) = lim
3. 求导数的四则运算法则:

(u ? v)? ? u ? ? v?

( f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x))? ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)
? vu ? ? v ?u ?u? ( v ? 0) ? ? ? v2 ?v?

(uv)? ? vu ? ? v?u ? (cv)? ? c?v ? cv? ? cv? ( c 为常数)
注:① u, v 必须是可导函数;

②若两个函数可导,则它们的和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的 和、差、积、商不一定不可导。 4. 复合函数的求导法则:函数 y ? f ( g ( x)) ,设 y ? f (u ) , u ? g ( x) ,则 y x ? y u ? u x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形。 5. 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处连续与在点 x 0 处可导的关系: ?函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处连续是 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件; ?如果 y ? f ( x) 点 x 0 处连续, 那么 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导, 是不成立 的。 例: f ( x) ?| x | ... 在点 x0 ? 0 处连续,但在点 x0 ? 0 处不可导。 注:①可导的奇函数,其导函数为偶函数;②可导的偶函数,其导函数为奇函数。 6. 几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数) (3) (sin x)? ? cos x (5) (ln x ) ? ? (2) ( x n )? ? nxn?1 ( n ? R )特别 ( x )? ? (4) (cosx)? ? ? sin x

?

?

?

1 2 x

1 1 x x x x ; (log a x ) ? ? log a e (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a x x 1 [ 2 [ f ( x )]? ? 0 注意:○ 0 lim f ( x)]? ? 0 ○
x ? x0

7. 函数的单调性:
52

?函数单调性的判定方法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则

y ? f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为减函数。
?常数的判定方法:如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 内恒 有 f ?( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为常数 . 函数。 注:① f ?( x) ? 0 是 f ( x) 递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2 x 3 在 (??,??) 上 并不是都有 f ?( x) ? 0 ,有一个点例外即 x ? 0 时 f ?( x) ? 0 ,同样 f ?( x) ? 0 是 f ( x) 递 减的充分非必要条件;②一般地,如果 f ?( x) 在某区间内有限个点处为零,在其余各点 均为正(或负) ,那么 f ( x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的。 (3)求函数单调区间的步骤:首先求出函数的定义域;其次对函数求导,确定导数在定 义域区间的正负号;最后作出判断(结果要写成区间的形式) 。 8. 极值的判别方法: (极值是指在 x 0 附近所有的 .....x ,都有 f ( x ) < f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是函数

f ( x) 的极大值,极小值同理) 。
当函数 f ( x ) 在点 x0 处连续时: ①如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值。 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号,而不是 f ?( x) =0 ,此外,函数


不可导的点也可能是函数的极值点 。 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不 确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同) 。 注①: 若点 x0 是可导 函数 f ( x ) 的极值点,则 f ?( x) =0。 但反过来不一定成立。对于 .. 可导函数,其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零。 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点。 ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点。 求函数极值的步骤:首先明确定义域;其次对函数求导,确定函数的不可导点与导数等 于 0 的点;最后确定在不可导点及导数为 0 的点左右两侧的导数符号,若为一正一负,则该 点为极值点。 9. 若函数 y ? f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上连续,在区间 ( a, b) 内可导,求最值的步骤如下:
53



(1)求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2)将 f ( x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最 小值。 10. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整个区间上对函数值进 行比较。

十四、复数(理科考生用)
1.复数的表示: z ? x ? yi , x, y ? R ;其中 x 为实部, y 为虚部。 2.复数 z 的性质: (1) i ? ?1 (注意 i 的周期性——周期为 4) 。
2

3.复数 z 与复平面上的点的关系: z ? x ? yi ? 点( x, y )是一一对应关系。所以复数 z 在哪个象限,则看对应的点在哪个象限即可。 4. 复数相等的充要条件: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ( a, b, c, d ? R ) 。 5. 复数 z ? a ? bi 的模: | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 。 6. 复数 z ? a ? bi 为实数的充要条件: b ? 0 或 z ? z ( z ? a ? bi 为 z 的共轭复数) 。 7. 复数 z ? a ? bi 为纯虚数的充要条件: a ? 0, 且b ? 0 或 z ? z ? 0且z ? 0 。 8. 数的概念扩展为复数后,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了,如不 等式性质、绝对值等,复数不能比较大小,除非这两个数都是实数。 9. 复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) c2 ? d 2 c2 ? d 2

复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法时加减法的分配律,实数的正整数指数幂运
n n 算也能推广到复数集中即:z m ? z n ? z n?m , ( z m ) n ? z nm , ( z1 ? z 2 ) n ? z1 ? z2 (m, n ? N ) ,

但要注意象 [(1 ? i) ] ? (1 ? i) 。 z2 ? x2 ? y2i )

1 4 4

4?

1 4

,在复数集中未定义分数的指数幂。

10.复平面上的两点间的距离公式 d ?| z1 ? z2 |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i ,
2

11.实系数一元二次方程的解:实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ①当 a, b, c ? R 时,若 ? >0,则有两个不等的实数根 x1, 2 ? 若 ? =0,则有两个相等的实数根 x1, 2 ? ?

?b? ? ; 2a

b ; 2a

54

? b ? | ? | ?i ( x1, 2 为共轭复数) 。 2a ②当 a, b, c 不全为实数时,不能用 ? 判断方程根的情况,可设 x ? a1 ? b1i 代入方程,由
若 ? <0,则有两个复数根 x1, 2 ? 复数相等的充要条件进行求解; ③不论 a, b, c 为何复数,韦达定理都成立。 12. 曲线方程的复数形式: ① z ? z 0 ? r :表示以 z0 为圆心, r 为半径的圆的方程。 ② z ? z 1 ? z ? z 2 :表示线段 z 1 z 2 的垂直平分线的方程。 ③ z ?z1 ? z ?z 2 ? 2a( a ? 0 且 2a ? z 1 z 2 ) :表示以 z 1 ,z 2 为焦点,长半轴长为 a 的椭圆的方程(若 2a ? z 1 z 2 ,此方程表示线段 Z 1,Z 2 ) 。 ④ z ? z 1 ? z ? z 2 ? 2a(0 ? 2a ? z 1 z 2 ) : 表示以 Z 1,Z 2 为焦点, 实半轴长为 a 的双 曲线方程(若 2a ? z 1 z 2 ,此方程表示两条射线) 。 13. 常用的结论:

i 2 ? ?1

i 4 n ?1 ? i

i 4 n ? 2 ? ?1

i 4 n ?3 ? ?i

i 4n ? 1

i n ?i n?1 ?i n?2 ?i n?3 ? 0, (n ? Z ) (1 ? i) 2 ? 2i (1 ? i) 2 ? ?2i
1? i ?i 1? i 1? i ? ?i 1? i

若 ? 是 1 的立方虚数根,即 ? ? ?

1 3 ? i ,则: 2 2
1 ? ? ?? 2 ? 0

? 3? 1

? 2? ?

??

1

?

? n ?? n?1?? n?2? 0(n ? Z )

14. 共轭复数的性质:

z?z
z ? z ? 2a , z ? z ? 2bi ( z ? a ? bi )

z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2

z ? z ?| z | 2 ?| z | 2
z1 ?z 2 ? z1 ? z 2

z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2

55

? z1 ? ?z ? 2

? z1 ?? ? z ( z2? 0 ) 2 ?

z n ? ( z) n

15.复数模的运算:

| z n |?| z | n

| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 |

|

z1 | z1 | |? z2 | z2 |

56



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