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高中文科数学数列部分典型例题



高中文科数学数列典型例题
1.(裂项求和)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn ?

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

2.(取对运算)已知等比数列 {an } 中, a2 , a3 , a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且 a1 ? 64, 公比q ? 1 (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ? log2 an ,求数列 {|b n |}的前n项和Tn .

3.已知数列 ?a n ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 S n ?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,

⑴设数列 bn ? a n ?1 ? 2a n (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

), a1 ? 1 ,

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?c n ?是等差数列; 2n ⑶求数列 ?a n ? 的通项公式及前 n 项和。
⑵设数列 c n ?

4.数列 ?a n ? 中, a1 ? 8, a 4 ? 2 且满足 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ⑴求数列 ?a n ? 的通项公式; ⑵设 S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n | ,求 S n ;

n? N*

1 (n ? N * ), Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,是否存在最大 的整数 m , n(12 ? a n ) m 使得对任意 n ? N * ,均有 Tn ? 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。 32
⑶设 bn =

5. 已知 S n 是数列 { an } 的前 n 项和,并且 a1 =1,对任意正整数 n , S n?1 ? 4an ? 2 ;设

bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,3,?).
(I)证明数列 {bn } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; (II)设 Cn ?

bn 1 , Tn为数列 { } 的前 n 项和,求 Tn . 3 log2 Cn?1 ? log2 Cn? 2

6.(数列与三角函数、不等式联系)已知 ? 为锐角,且 tan? ? 函数 f ( x) ? x tan 2? ? x ? sin( 2? ?
2

2 ?1 ,
1 , a n ?1 ? f (a n ) . 2

?
4

) ,数列{an}的首项 a1 ?

⑴ 求函数 f ( x) 的表达式; ⑵ 求证: a n ?1 ? a n ;

7. (数列与概率问题联系) 某人抛掷一枚硬币, 出现正面、 反面的概率均为 .构造数列 {a n } , 使得 a n ? ?

1 2

?1 ?? 1

(当第 n次出现正面时 ) , 记S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n (n ? N * ). (当第 n次出现反面时 )

(I)求 S4=2 的概率; (II)若前两次均出现正面,求 2 ? S 6 ? 4 的概率.



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