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中档大题保分练(六)



中档大题保分练(六)
(推荐时间:50 分钟) 1. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴正半轴上,直线 AB 的 π 3π? 3π 倾斜角为 ,|OB|=2,设∠AOB=θ,θ∈? 2 ? , 4 ?. 4 (1)用 θ 表示点 B 的坐标及|OA|; 4 → → (2)若 tan θ=- ,求OA· OB的值. 3 解 (1)由题意,可得点 B 的

坐标为(2cos θ,2sin θ).

π π 3π 在△ABO 中,|OB|=2,∠BAO= ,∠B=π- -θ= -θ. 4 4 4 由正弦定理,得 |OB| |OA| = , π sin B sin 4

3π ? 即|OA|=2 2sin? ? 4 -θ?. → → → → (2)由(1),得OA· OB=|OA|· |OB|· cos θ 3π ? =4 2sin? ? 4 -θ?cos θ. π 3π? 4 因为 tan θ=- ,θ∈? ?2, 4 ?, 3 4 3 所以 sin θ= ,cos θ=- . 5 5 3π ? 3π 3π 2 ? 3? ? 2 2? 4 又 sin? ? 4 -θ?=sin 4 cos θ-cos 4 sin θ= 2 ×?-5?-?- 2 ?×5= 10 , 3 2 12 → → - ?=- . 故OA· OB=4 2× ×? 10 ? 5? 25 2. 如图, 已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 ABB1A1 是菱形,且∠A1AB=60° ,M 是 A1B1 的中点,MB⊥AC. (1)求证:MB⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1-BB1-C 的余弦值. (1)证明 ∵侧面 ABB1A1 是菱形,且∠A1AB=60° , ∴△A1BB1 为正三角形, 又∵点 M 为 A1B1 的中点,∴BM⊥A1B1, ∵AB∥A1B1,∴BM⊥AB,由已知 MB⊥AC, 又 AC∩AB=A,∴MB⊥平面 ABC.

(2)解

如图建立空间直角坐标系,

设菱形 ABB1A1 边长为 2, 得 B1(0,-1, 3),A(0,2,0),C( 3,1,0),A1(0,1, 3). → → 则BA1=(0,1, 3),BA=(0,2,0), → → BB1=(0,-1, 3),BC=( 3,1,0). 设面 ABB1A1 的法向量 n1=(x1,y1,z1), → → 由 n1⊥BA,n1⊥BA1 得,

?2y1=0, 令 x1=1,得 n1=(1,0,0). ? ?y1+ 3z1=0,
设面 BB1C1C 的法向量 n2=(x2,y2,z2), → → ?-y2+ 3z2=0, 由 n2⊥BB1,n2⊥BC得? ? 3x2+y2=0. 令 y2= 3,得 n2=(-1, 3,1), n1· n2 -1 5 得 cos〈n1,n2〉= = =- . |n1||n2| 1· 5 5 又二面角 A1-BB1-C 为锐角, 所以所求二面角的余弦值为 5 . 5

3. 某班体育课进行篮球投篮比赛,比赛规则如下:每位同学有 4 次投篮机会,其中一次在 三分线外投篮,投中得 3 分,不中不得分,其余 3 次在罚球线外投篮,每投中一次得 1 1 分,不中不得分,已知某位同学在三分线外投篮命中的概率为 ,且在比赛中得 6 分的 2 4 概率为 . 27 (1)求该同学在罚球线外投篮命中的概率; (2)求该同学参加比赛所得分数 X 的分布列及数学期望. 解 (1)设该同学在罚球线外投篮命中的概率为 p,在比赛中得 6 分需 4 次投篮全中,则

1 3 4 · p= , 2 27 2 解得 p= . 3 (2)X 的可能取值有 0,1,2,3,4,5,6, 1 ?1?3 1 则 P(X=0)= · = ; 2 ?3? 54 1 2 ?2?2 1 2 P(X=2)= · C · ·= ; 2 3 ?3? 3 9 1 1 2 ?1?2 1 P(X=1)= · C ·· = ; 2 3 3 ?3? 9

1 ?1?3 1 ?2?3 1 P(X=3)= · + · = ; 2 ?3? 2 ?3? 6 1 1 2 ?1?2 1 P(X=4)= · C ·· = ; 2 3 3 ?3? 9 1 2 ?2?2 1 2 P(X=5)= · C · ·= ; 2 3 ?3? 3 9 1 2?3 4 P(X=6)= ×? = . 2 ?3? 27 所以所求分布列为 X P 0 1 54 1 1 9 2 2 9 3 1 6 4 1 9 5 2 9 6 4 27

1 1 2 1 1 2 4 7 数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +5× +6× = . 54 9 9 6 9 9 27 2 4. 已知等比数列{an}满足 2a1+a3=3a2,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 + (2)若 bn=an+log2 ,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn-2n 1+47<0 成立的正整数 n 的最小 an 值. 解 (1)设等比数列{an}的公比为 q. ① ②

2 ? ? ?2a1+a3=3a2, ?a1?2+q ?=3a1q, ? ? 由 得 3 2 ?a2+a4=2?a3+2?, ? ? ?a1?q+q ?=2a1q +4,

由①,得 q2-3q+2=0,解得 q=1 或 q=2. 当 q=1 时,不合题意舍去; 当 q=2 时,代入②,得 a1=2.则 an=2· 2n 1=2n.


1 1 (2)因为 bn=an+log2 =2n+log2 n=2n-n, an 2 所以 Sn=b1+b2+b3+…+bn =2-1+22-2+23-3+…+2n-n =(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n) 2?1-2n? n?1+n? n+1 1 1 = - =2 -2- n- n2. 2 2 2 1-2 因为 Sn-2n 1+47<0,


1 1 + + 所以 2n 1-2- n- n2-2n 1+47<0, 2 2 即 n2+n-90>0,解得 n>9 或 n<-10. 又 n∈N*, 故使 Sn-2n 1+47<0 成立的正整数 n 的最小值为 10.




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