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四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试数学(文)试题



资阳市高中 2014 级第一次诊断性考试

数 学(文史类)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填 写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案

写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。

? 2,,, 2 3 4? ,则 M ? N ? 1.已知集合 M ? ?x | ( x ? 2)( x ? 2) ? 0?,N ? ??3,
(A) ?3, 4? (C) ??2,, 3 4? 2.设 i 是虚数单位,则复数 (A) ?3 ? 4i 3. “ x ? 2 ”是“ (B) ??3,, 3 4? (D) ??3, ? 2,,, 2 3 4?

4 ? 3i ? i (B) 3 ? 4i

(C) 3 ? 4i

(D) ?3 ? 4i

1 1 ? ”的 x 2 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件 π 4.函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象的一条对称轴方程为 3 π π (A) x ? (B) x ? ? 12 12 π π (C) x ? (D) x ? ? 6 6 5.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a5 ? 16 , a2 ? 2 ,则公比 q ?
5 1 (C) 2 (D) 2 2 ? 2m) (m ? 0) 是角α 终边上的一 6.已知角α的顶点与原点O重合,始边与 x 轴的非负半轴重合, P(m, ? 点.则 tan(? ? ) 的值为 4 1 (A) 3 (B) 3 1 (C) ? (D) ?3 3
(A) 4 (B) 7.函数 y ? 2| x | ? x2 ? 2 的图象可能是

·1·

8.设 Sn , Tn 分别是等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和,若 a5 ? 2b5 ,则

S9 ? T9

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 9.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无 限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术, 利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框 图,则输出的 n 值为 (参考数据: 3 ? 1.732 , sin15? ? 0.2588 , sin 7.5? ? 0.1305 ) (A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 96 10.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则下列结论一定成立的是 (A) 若 a5 ? 0 ,则 a2017 ? 0 (B) 若 a6 ? 0 ,则 a2018 ? 0 (C) 若 a5 ? 0 ,则 S2017 ? 0

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 11.已知△ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且满足 OA ? 2OB ? 4OC ? 0 ,则 AB ? OA ? 15 7 (A) ? (B) ? 4 4 7 15 (C) (D) 4 4 ? ?) 上的函数,其导函数为 f ?( x) ,且不等式 x f ?( x) ? 2 f ( x) 恒成立, 12.已知 f ( x) 是定义在区间 (0, 则 (A) 4 f (1) ? f (2) (B) 4 f (1) ? f (2) (C) f (1) ? 4 f (2) (D) f (1) ? 2 f ?(2)

(D) 若 a6 ? 0 ,则 S2018 ? 0

·2·

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题、第 23 题为选考题,考生根据要求做答。 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘 出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.计算: lg 4 ? 2lg 5 ? ___________. ? x ≥ 0, ? 14.已知实数x,y满足不等式组 ? y ≥ ?2, 则 2 x ? y 的最大值是___________. ?2 x ? y ? 2 ≤ 0, ?
b ? 1) , 15. b 为正实数, 已知 a, 向量 m ? (a,4) , 向量 n ? (b, 若 m∥n, 则 a ? b 最小值为___________. 16. 已知数列 {an } 是以 t 为首项, 以 2 为公差的等差数列, 数列 {bn } 满足 2bn ? (n ? 1)an . 若对于 n ? N*

都有 bn ≥ b4 成立,则实数 t 的取值范围是___________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

? 1 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ? cos ? x ? (其中 ? ? 0 )的最小正周期为 π . 6 2 (Ⅰ) 求 ? 的值; ? (Ⅱ) 将函数 f ( x) 的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 6 ?] 上零点. 纵坐标不变,得到函数 g ( x) 的图象.求函数 g ( x) 在 [??,

18. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x≤0 时, f ( x) ? ( x ? 2)e? x ? 2(其中 e 是自然对数的底数, e=2.71828…) . (Ⅰ) 当 x>0 时,求 f ( x) 的解析式; 2] 时,方程 f ( x) ? m 有实数根,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ) 若 x ? [0,

·3·

19.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足
2c ? a b ? ,D 是 BC 边上的一点. cos A cos B (Ⅰ) 求角 B 的大小;

(Ⅱ) 若 AC=7,AD=5,DC=3,求 AB 的长.

20.(本小题满分12分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n?1 ? 2 ( n ? N* ). (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 令 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

21.(本小题满分 12 分)

a 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? (其中 a ? R ). x (Ⅰ) 若 f ( x) 在其定义域内为单调递减函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ) 是否存在实数a, 使得当 x ?[e,e2 ] 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 如果存在, 求a的取值范围,
如果不存在,说明理由(其中e是自然对数的底数,e=2.71828…).

请考生在 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时,请用 2B 铅 笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 ? 2 t, ?x ? 6 ? ? 2 (其中 t 为参数) 在平面直角坐标系中, 直线 l 的参数方程为 ? . 现以坐标原点为极点, 2 ? y? t ? ? 2 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 6cos? . (Ⅰ) 写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 过点 M (?1,0) 且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A , B 两点,求 | AB | .

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | m ? x | (其中 m ? R ) . (Ⅰ) 当 m ? 3 时,求不等式 f ( x) ≥ 6 的解集; (Ⅱ) 若不等式 f ( x) ≥ 8 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

·4·

资阳市高中 2014 级第一次诊断性考试 数学参考答案及评分意见(文史类)
一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A 9.B 10.C 11.C 12.B 二、填空题 13.2;14.6;15.9;16. [?18, ?14] . 三、解答题 ? 1 1 17.(Ⅰ) f ( x) ? 2sin(? x ? ) ? cos ? x ? ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos2 ? x ? 6 2 2 3 1 ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) . 2 2 6 2? 由最小正周期 T ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ? ,得 ? ? ? . · 2? ? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(2x ? ) ,将函数 f ( x) 的图象向左平移 个单位, 6 6 ? ? ? 得到图象的解析式 h( x) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) , 6 6 6 ? 将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 g ( x) ? sin( x ? ) . 6 ? ? 由 x ? ? k ?,k ? Z ,得 x ? k ? ? , 6 6 ? ?? ?] 时,函数 g ( x) 的零点为 ? 和 故当 x ? [??, .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 6 6 18.(Ⅰ) 当 x≤0 时, f ( x) ? ( x ? 2)e ? x ? 2 , 当 x>0 时,则-x<0 时, f (?x) ? (? x ? 2)e x ? 2 , 由于 f ( x) 奇函数,则 f ( x) ? ? f (? x) ? ?[(? x ? 2)e x ? 2] , 故当 x>0 时, f ( x) ? ( x ? 2)e x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ) 当 x ? 0 时, f (0) ? 0 . 当 0 ? x ≤ 2 时, f ( x) ? ( x ? 2)e x ? 2 , f ?( x) ? ( x ? 1)e x ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减;在 (1, 2) 上单 调递增.则 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? 2 ? e , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 又 f (0) ? 0 , f (2) ? 2 ,故当 0 ? x ≤ 2 时, f ( x) ? [2 ?e,2] . 2] 时, f ( x) ? [2 ?e,2] , 综上,当 x ? [0, 所以实数 m 的取值范围是 [2 ?e,2] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19.(Ⅰ) 由
2c ? a b ? , cos A cos B

得 2c cos B ? a cos B ? b cos A ,即 2c cos B ? a cos B ? b cos A , 根据正弦定理, 2 sin C cos B ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ,· · · · · · · · · 4分 所以 cos B ?
2 ,又 0? ? B ? 180? , 2
·5·

所以 B ? 45? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ) 在△ADC 中,AC=7,AD=5,DC=3,

AD2 ? DC 2 ? AC 2 52 ? 32 ? 72 1 ? ?? , 2 AD ? DC 2?5?3 2 所以 ? ADC=120° , ? ADB=60° ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 在△ABD 中,AD=5, ? B=45° , ? ADB=60° ,
由余弦定理得 cos ?ADC ? 由正弦定理,得

AB AD , ? sin ?ADB sin B
5? 3 2 ? 5 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 2

AD ? sin ?ADB 5sin 60? ? ? 所以 AB= sin B sin 45?

20.(Ⅰ)由 Sn ? 2n?1 ? 2 , 当 n ? 1 时, a1 ? 22 ? 2 ? 2 , 当 n ≥ 2 , Sn?1 ? 2n ? 2 , 则 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2 ? (2n ? 2) ? 2n ,当 n=1 时, a1 ? 2 满足上式, 所以 an ? 2n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ), bn ? nan ? n ? 2n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 则 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n , 所以 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n?1 , 则 ?Tn ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 1? 2 ? (1 ? n)2n?1 ? 2 . ?
所以 Tn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

a a a ? x2 ? ax ? a 21.(Ⅰ) 由于 f ( x) ? a ln x ? x ? ,其中x>0, f ?( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x x2 只需 f ?( x) ≤ 0 在x>0时恒成立, ①当a≤0时, f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在(0,+∞)为减函数, ②当 a>0 时,由 f ?( x) ≤ 0 在 x>0 时恒成立,即 g ( x) ? ? x2 ? ax ? a ≤ 0 在 x>0 恒成立,

?4a ? a2 4a ? a2 , ? ?4 4 由 g ( x)max ≤ 0 得 ?4 ≤ a ≤ 0 ,这与 a>0 不符,舍去. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 综上所述,a的取值范围是 (??,0] . · 2 ? x ? ax ? a (Ⅱ) f ?( x) ? . x2 ]也为减函数, (ⅰ) 当a≤0时, f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在(0,+∞)为减函数,则在[e,e? a 1 · · · · · · · · · · · · · 5分 知 f ( x)max ? f (e) ? a ? e ? ? (1 ? )a ? e <0恒成立,不合题意,舍去. · e e
可知当 x>0 时, g ( x)max ?
a ? a 2 ? 4a (ⅱ) 当a>0时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? .列表得 2
·6·

2 2 a ? a 2 ? 4a (0, a ? a ? 4a ) ( a ? a ? 4a ,+∞) 2 2 2 f ?( x) 0 + - f ( x) ↗ 极大值 ↘ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

x

e2 a ? a 2 ? 4a ]上单调递减, ,此时 f ( x) 在[e,e? ≤ e ,即 a ≤ e ?1 2 a 1 1 1 e2 ?2e 知 f ( x)max ? f (e) ? a ? e ? ? (1 ? )a ? e ,而 (1 ? )a ? e ≤ (1 ? ) ?e ? ? 0, e e e e e ?1 e ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 于是 f ( x)max <0恒成立,不合题意,舍去. ·
①若 ②若

e2 a ? a 2 ? 4a 时, ? e ,即 a ? e ?1 2

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a , ∞) + 上为减函数, 此时 f ( x) 在(e, ) 上为增函数,在( 2 2 ? f (e) ? 0, ]恒有 f ( x) ? 0 恒成立,则必有 ? 要使在[e,e? 2 ? f (e ) ? 0, ? e2 e4 a ? a ? ? , a ? e ? ? 0 , ? ? ? ? e ? 1 e3 ? e 2 e · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10分 则? 所以 ? 4 ?a ? e . ? 2a ? e 2 ? a ? 0, ? ? e2 ? 2e2 ? 1 ? e2 e2 e4 e4 由于 e3 ? e2 ? (2e2 ? 1) ? e3 ? 3e2 ? 1 ? 0 ,则 ,所以 b ? . ? 3 2 ? 2 e ?1 e ? e 2e ? 1 e ?1 e2 综上所述,存在实数 a ? ( · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 , ??) ,使得 f ( x) ? 0 恒成立. · e ?1 选做题 ? 2 t, ?x ? 6 ? ? 2 消去参数 t,得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 6 ? 0 . 22.(Ⅰ) 由 ? 2 ? y? t ? ? 2 又由 ? ? 6cos? 得 ? 2 ? 6? cos? ,

? x=? cos ?, 由? 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 y = ? sin ? ?

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 (Ⅱ) 过点 M (?1,0) 且与直线 l 平行的直线 l1 的参数方程为 ? 2 ? y? t. ? ? 2
将其代入 x2 ? y 2 ? 6 x ? 0 得 t 2 ? 4 2t +7 ? 0 , 则 t1 ? t2 ? 4 2,t1t2 ? 7 ,知 t1 ? 0,t2 ? 0 , 所以 | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 23.(Ⅰ) 当 m ? 3 时, f ( x) ≥ 6 即 | x ? 1| ? | x ? 3 |≥ 6 . ①当 x ? ?1 时,得 ? x ? 1 ? x ? 3 ≥ 6 ,解得 x ≤ ?2 ;
·7·

②当 ?1 ≤ x ≤ 3 时,得 x ? 1 ? x ? 3 ≥ 6 ,不成立,此时 x ? ? ; ③当 x ? 3 时,得 x ? 1 ? x ? 3 ≥ 6 成立,此时 x ≥ 4 . 综上,不等式 f ( x) ≥ 6 的解集为 {x | x ≤ ?2 或 x ≥ 4} . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ) 因为 | x ? 1| + | m ? x |≥| x ? 1 ? m ? x | = | m ? 1| , 由题意 m ? 1 ≥ 8 , 即 m ? 1 ≤ ?8 或 m ? 1 ≥ 8 , ? 9] ? [7, ? ?) . · 解得 m ≤ ?9 或 m ≥ 7 ,即 m 的取值范围是 (??, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·8·



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