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广西大学附属中学2013届高三数学(理)第四次月考试题



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考试时间:120 分钟

共 22 道题

不得使用计算器

注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必按要求将自己的姓名、班别、准考证号填、涂清楚。 2.对于第 I 卷,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 ......... 3.对于第Ⅱ卷,请用黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无 ........ 效。 .

第I卷

一.选择题(12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.若 A ? ?2,3, 4? ,B = {x|x=n·m, m、n∈A,m≠n},则集合 B 的元素个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2 . 若 直 线 x ? 2ay ? 1 ? 0 与 (a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平 行 , 则 a 的 值 为 ( ) 1 1 A. B. 或 0 C. 0 D. -2 2 2 3.已知函数 f ( x) ? ( x ? a )( x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是 ( )

4 . 已 知 p : ? x | 2 x ? 3 ? 1? , ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件

q : ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0? , 则 ?p 是 ?q 的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ? 5. 由函数 f ( x) ? sin 2 x的图象得到g ( x) ? cos(2 x ? )的图象, 需要将f ( x) 的图象 ( 6 ? ? A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 3 6 ? ? C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 6 1 1 6. 已知 x ? 0, y ? 0 , x+3y=1, 则 ? 的最小值是 ( x 3y
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A. 2 2 B.2 n 7. 函数 y ? sin x cos nx 的导数为 A. n sin n ?1 x cos nx C. n sin n x cos(n ? 1) x

C.4
n

D. 2 3 ( )

B. n sin x cos nx D. n sin n ?1 x cos(n ? 1) x 8.已知 S n 是等差数列 ( ) D.120

{a n } 的前 n 项和,且 S11 ? 35 ? S 6 , 则S17 的值为 A.117 B.118 C.119
2 2

9. 直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是

() A. ?3 ? m ? 1

B. ?4 ? m ? 2

C. 0 ? m ? 1

D. m ? 1

10.若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上有且仅有三个不同点到直线 l : y ? kx 的距离为

2 2
( ) B.





k?

2? 3 1 C. ? D. ?1 2 2 ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? 3 3 11.在 ?ABC 中, AB ? BC ? 3, ?ABC 的面积 S ?ABC ? [ , ] ,则 AB 与 BC 夹角的取值范 2 2 围 是 ( )

A. 2 ? 3

? ? A. [ , ] 4 3

? ? B. [ , ] 6 4

? ? C. [ , ] 6 3

? ? D. [ , ] 3 2

12. 若 函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?b 在区间 (??, 0] 上为减函数,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 1 D. a ? 1

第Ⅱ卷 二.填空题(4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.不等式 x ? 1 ? x 的解集为___________.
2
2 2 2 2

14.已知两点 P (4, ?9) , Q( ?2,3) ,则直线 PQ 与 y 轴的交点分有向线段 PQ 的比为

??? ?

.

15.已知两圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 2 和 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? R 2 相交于 P,Q 两点,若点 P

坐标为 ?1, 2 ? ,则点 Q 的坐标为 16.若数列 {an } 满足

.

1 1 ? ? d ( n ? N ? , d 为常数),则称数列 {an } 为调和数列, an ?1 an

?1? 已知数列 ? ? 为调和数列,且 x1 ? x2 ? ? ? x20 ? 200 ,则 x1 ? x20 ? ? xn ? x5 ? 0, x16 ? 0, 则x5 ? x16 的最大值为 .

,若

三.解答题(第 17 题 10 分,第 18-22 题每题 12 分,共 70 分. 解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
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17 . 本 题 满 分 10 分 ) ?ABC 中 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 向 量 ( ?? ? ? ?? B m ? (2sin B , ? 3), n ? (cos 2 B , 2 cos2 ? 1) ,且 m / / n . 2 (Ⅰ)求锐角 B 的大小; (Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值.

18. (本题满分 12 分)

??? 2 ???? ??? ? ? 已知定点 M (0, 2), N (0, ?2), Q(2, 0) ,动点 P 满足 m PQ ? MP ?NP ? 0 , (m ? R) .
(1)求动点 P 的轨迹方程,并说明轨迹的形状; ???? ??? ? (2)当 m ? 0 时,求 2MP ? NP 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) 市政府为招商引资,决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年 A 型产品出 厂价为每件 60 元,年销售量为 11.8 万件.第二年,当地政府开始对该商品征收 税率为 p%(0<p<100,即销售 100 元要征收 p 元)的税收,于是该产品的出厂价 上升为每件

8000 元,预计年销售量将减少 p 万件. 100 ? p

(Ⅰ)将第二年政府对该商品征收的税收 y(万元)表示成 p 的函数,并指出这个 函数的定义域; (Ⅱ)要使第二年该厂的税收不少于 16 万元,则税率 p%的范围是多少? 20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? b 1 ? x 2 ( x ? 0) ,且函数 f ( x)与g ( x) 的图象 关于直线 y ? x 对称,又 f ( 3) ? 2 ? 3, g (1) ? 0 . (1)求 f ( x) 的值域; m ?1 3 (2)已知命题 p : f (m 2 ? m) ? f (3m ? 4) 和 q : g ( ,求满足复合命题 p且q )? 4 4 为真命题的实数 m 的范围. x 21. (本题满分 12 分)函数 f ( x) 是定义在 ? 0,1? 上,满足 f ( x) ? 2 f ( ) 且 f (1) ? 1 ,在 2 1 1 ? ? 每个区间 ? i , i?1 ? ? i ? 1, 2,3,?? 上,y ? f ( x) 的图象都是平行于 x 轴的直线的一部 ?2 2 ? 分. 1 1 1 (1)求 f (0) 及 f ( ) , f ( ) 的值,并归纳出 f ( i ) ? i ? 1, 2,3,?? 的表达式; 2 4 2 1 1 ( 2 ) 设 直 线 x ? i , x ? i ?1 , x 轴 及 y ? f ( x) 的 图 象 围 成 的 矩 形 的 面 积 为 2 2 ai ? i ? 1, 2,3,?? ,求 a1 , a2 及 lim(a1 ? a2 ? ? ? an ) 的值.
n ??

22.(本题满分 12 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 经过点 1, 3 . (1)求圆 C 的方程; (2)是否存在经过点 ? ?1,1? 的直线 l ,它与圆 C 相交于 A、B 两个不同点,且满足
???? 1 ??? ? ? ? 3 ??? OM ? OA ? OB ( O 为坐标原点)关系的点 M 也在圆 C 上,如果存在,求出 2 2
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?

?

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直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由.

三.解答题

17. 解: (1)? m // n ? 2 sin B (2 cos 2

?

?

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2


? sin 2 B ? ? 3 cos 2 B
? 2B ? 2? 3 ?B ?

tan 2 B ? ? 3 又 ? B 为 锐 角 ? 2 B ? ?0, ? ?

?
3

…………5 分

(2)? B ?

?
3

, b ? 2,由余弦定理 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 得 a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 0 2ac

又? a 2 ? c 2 ? 2ac 代入上式得: ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立。 )

S ?ABC ?

1 3 )………10 分 ac sin B ? ac ? 3 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立。 2 4

???? ??? ? ??? ? 18 解: (1)设动点 P( x, y ) ,则 MP ? ( x, y ? 2) , NP ? ( x, y ? 2) , PQ ? (2 ? x, ? y )

??? 2 ? ???? ??? ? PQ ? (2 ? x) 2 ? y 2 , MP?NP ? x 2 ? y 2 ? 4
? (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) y 2 ? 4mx ? 4m ? 4 ? 0

若 m ? 1 ,方程为 x ? 1 ,表示过点 ? 2, 0 ? ,且平行于 y 轴的直线;

2 2m 2m 2 ? 2 ? 若 m ? 1 ,方程为 ( x ? , 0) 为圆心,以 ) ? y2 ? ? ? ,表示以 ( m ?1 m ?1 m ?1 ? m ?1 ?
为半径的圆。 (2)当 m ? 0 时,方程为 x 2 ? y 2 ? 4

2

???? ??? ? ? 2 MP ? NP ? 40 ? 12 y 又? ?2 ? y ? 2 ,则所求范围为 ? 4,8?
19.解:依题意,第二年该商品年销售量为(11.8-p)万件,年销售收入为

8000 (11.8-p) 100 ? p

万元, 政府对该商品征收的税收 y=

8000 (11.8-p)p%(万元) 100 ? p

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故所求函数为 y=

80 (11.8-p)p 100 ? p

? ? p?0 ? ? 由 ? 11.8 ? p ? 0 得定义域为 ? 0,11.8 ? ………………6 分 ? 8000 ? ? 60 ? ?100 ? p
(II)解:由 y≥16 得

80 (11.8-p)p≥16 100 ? p

化简得 p2-12p+20≤0,即(p-2)(p-10) ≤0,解得 2≤p≤10. 故当税率在[0.02,0.1]内时,税收不少于 16 万元. ………………12 分

1 1 1 1 1 1 21.解: (1) f (0) ? 0 , f ( ) ? , f ( ) ? ,归纳出 f ( i ) ? i ? i ? 1, 2,3,?? 2 2 4 4 2 2 1 1 1 1 1 (2)当 i ? x ? i ?1 时, f ( x) ? i ?1 , a1 ? , a2 ? 2 2 2 2 8 1 ai ? 2i ?1 ? i ? 1, 2, 3,?? 2 1 1 所以 ?an ? 是首项为 ,公比为 的等比数列 2 4
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则 lim(a1 ? a2 ? ? ? an ) =
n ??

2 3

22、解: (1) C : x ? y ? 4
2 2

(2)若直线 l 的斜率存在,求出 l : x ? y ? 2 ? 0 ;若直线 l 的斜率不存在,点 M 不在圆,综上 l : x ? y ? 2 ? 0

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