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圆锥曲线中的定点问题



圆锥曲线中的定点问题的处理
思考(1) : 1.过定圆 C 上任意一点 A 作两条互相垂 直的弦 PA,QA,则直线 PQ 是否过定点? P A

Q 2.过圆锥曲线上的一点 A 呢?

一、垂直相交弦的定点问题
1.过曲线顶点的垂直相交弦
x2 ? y 2 ? 1 的右顶点 A?2,0? 任意作两条互相垂直 4 的弦 PA, QA ,求证:直线 PQ 过定点.

例 1. 过椭圆

? 1?a ? b ? 0? 交于 a2 b2 不同的两点 P , Q , 若以 PQ 为直径的圆过右顶点, 求证: 直线 PQ

变式(1) :直线 l : y ? kx ? m 与椭圆

x2

?

y2

(不过顶点)过定点.

直线 PQ 过定点 ? ?

? a 3 ? ab 2 ? a ?b
2 2

? ,0 ? ?. ?

变式(2) :过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的顶点任意作两条互相垂 直的弦 OP, OQ ,求证:直线 PQ 过抛物线的对称轴上的一定点.

? 1?a ? b ? 0? 的右顶点 A 任意作两 a2 b2 条互相垂直的弦 PA, QA ,求证:直线 PQ 过定点.

变式(3) :过双曲线

x2

?

y2

2. 过曲线上任意一点的垂直相交弦
? 1?a ? b ? 0? 上任意一点 A?x 0 , y 0 ? 任意作 a2 b2 两条互相垂直的弦 PA, QA ,则直线 PQ 是否过定点呢?

思考:过椭圆

x2

?

y2

证 明 : 设 直 线 PQ : y ? kx ? n ? km , 定 点 ?m, n ? , 则
? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 2 ? b 2 ? a 2 k 2 x 2 ? 2a 2 k ?n ? km ?x ? a 2 ?n ? km ? ? b 2 ? 0 ?a b ? y ? kx ? n ? km ?

?

?

?

?

设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y 2 ? ,则
x1 ? x 2 ? ? 2a 2 k ?n ? m ? b ?a k
2 2 2

x1 x 2 ?

a 2 ?n ? km ?2 ? b 2 b ?a k
2 2 2

?

?,
?

又 PM ? PN ? ?x1 ? x0 ??x2 ? x0 ? ? ? y1 ? y0 ?? y 2 ? y0 ? ? 0 , 可得
2 2 k 2 a 2 x0 ? b 2 x0 ? 2?n ? km?a 2 x 0 k ? ?n ? km? a 2 ? b 2 2

? 2?n ? km?b y0 ? b ? ?a b ? 0 即 2 2 k 2 a2 x0 ? b2 x0 ? 2a2mx0 ? m2a2 ? m2b2 ? 2k na2 x0 ? mna2 ? mnb2 ? mb2 y0
2 2 2 x0 2 y0 2 2

?

?

?

?

?

?

?b ? ? a b ? 2nb y0 ? n a ? b ? 0 因为定点与 k 的值无关, 2 2 ?m 2 a 2 ? b 2 ? 2a 2 mx0 ? a 2 x 0 ? b 2 x0 ?0 ? ? 2 2 2 2 所以 ?na x 0 ? mn a ? b ? mb y 0 ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ?n a ? b ? 2nb y 0 ? b x 0 ? y 0 ? a b ? 0 ? b2 ? a2 x0 ?m ? ? 2 ? a ? b2 解方程得 ? .即得证. 2 2 ?n ? b ? a y 0 ? a2 ? b2 ?

2

?

2 x0

2 y0

?

2 2

2

2

?

?

2

2

?

?

?

?

?

? ? ?

?

?

?

结论:
1. 过抛物线 y ? 2 px 上任意一点 A?x0 , y 0 ? 作两条互相垂直的弦
2

OP, OQ ,则直线 PQ 过一定点.

? 1?a ? b ? 0? 上任意一点 A?x 0 , y 0 ? 作两条互 a2 b2 相 垂 直 的 弦 PA, QA , 则 直 线 PQ 过 定 点

2. 过双曲线

x2

?

y2

? b2 ? a2 ? b2 ? a2 ?. D? ? x , ? b 2 ? a 2 0 b 2 ? a 2 y0 ? ? ?

3.过非曲线上点的垂直相交弦问题
x2 1 ? y 2 ? 1 于 A, B 两 例 2. 已知过点 P (0,? ) 的直线 l 交椭圆 2 3 点,是否存在定点 M,使得以 AB 为直径的圆过点 M?

练习: 1.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB, CD ,设
AB, CD 的中点分别为 M , N ,求证:直线 MN 过定点.

(二)非垂直相交弦的定点问题的处理
x2 ? y 2 ? 1 于 A, B 两点, 2 设点 B 关于 x 轴的对称点 C (与 A 不重合) , 求证: AC 过定点.

例 3. 已知过点 F (1,0) 的直线 l 交椭圆

y

C

A

o

F
B

T x

【经典回放】

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 1.(2010 江苏 18 改编)已知椭圆 9 5
M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y 2 ? , 其中 y1 ? 0, y 2 ? 0 , 求证: 直线 MN 必过 x
A, B , 设 过 T ?9, m ??m ? 0? 的 直 线 TA, TB 与 椭 圆 交 于

轴上的一定点(其坐标与 m 无关) .

y M

T
B
x

A

o
N



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