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求解天体问题的金钥匙



求解天体问题的金钥匙
一、存在问题。 运用万有引力定律、牛顿运动定律、向心力公式等力学规律求解天体(卫星)运动一直 是高考命题频率较高的知识点。要重视这类问题分析的基本规律。解决本单元问题的原理及 方法比较单一,应该不难掌握,但偏偏有相当多的学生颇感力不从心,原因何在? 1、物理规律不到位,公式选择无标准。 2、研究对象找不准,已知求解不对应。 3、空间技术太陌生,物理

情景不熟悉。 4、物理过程把不准,物理模型难建立。 二、应对策略。 1、万有引力提供向心力。 设圆周中心的天体(中心天体)的质量为 M,半径为 R; 做圆周运动的天体(卫星)的质量为 m,轨道半径为 r,线速度为 v,角速度为ω ,周 期为 T,万有引力常数为 G。则应有:

G G

Mm v2 m = r2 r

① 0

r R

Mm 2 =m ? r ② 2 r Mm 2? 2 G 2 =m( )③ T r Mm G 2 =mg (g 表示轨道处的重力加速度) ④ r

注意:当万有引力比物体做圆周运动所需的向心力小时,物体将坐离心运动。 2、在中心天体表面或附近,万有引力近似等于重力。 G

Mm =mg0 R2

(g0 表示天体表面的重力加速度)
2

注意:在研究卫星的问题中,若已知中心天体表面的重力加速度 g0 时,常运用 GM=g0R 黄金代换式。 三、在一些与天体运行有关的估算题中,常存在一些隐含条件,应加以运用。 ①在地球表面物体受到的地球引力近似等于重力。 G ②在地球表面附近的重力加速度 g=9.8m\s 。 ③地球自转周期 T=24h ④地球公转周期 T=365 天。 ⑤月球绕地球运动的周期约为 30 天。 四、应用举例 1、天体的运动规律。
2

作为桥梁,可以把“地上”和“天上”联系起来。由于这种代换的作用巨大,此时通常称为

Mm ? mg R2

1

①由 G ②由 G

GM Mm v2 可得: v ? ? m 2 2 r r r
Mm ? m? 2 r 可得: ? ? GM 3 2 r r

r 越大,V 越小。

r 越大,ω 越小。

③由 G ④由 G

Mm ? 2? ? ? m? ? r 可得: T ? 2? r 3 2 r ?T ?

2

GM

r 越大,T 越大。

Mm GM ? ma向 可得: a向 ? 2 r 越大,a 向越小。 2 r r 1 ⑤E= EK+ EP= mv2+mgh 若高度增大则有其它形式的能转化为卫星的机械能, 故 E 增大。 2
1、设人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动,卫星离地面越高,则卫星的: ( ) A、速度越大 B、角速度越大 C、向心加速度越大 D、周期越长 2、三颗人造地球卫星 A、B、C 绕地球作匀速圆周运动,如图所示,已知 mA=mB<mC,则 三个卫星以下说法中正确的是( ) ① 线速度关系为 VA>VB> VC ② 周期关系为 TA<TB=TC B ③向心力大小关系为 FA=FB<FC A C 3 3 3 R R R 地球 ④半径与周期关系为 A2 = B2 = C2

TA

TB

TC

A、① ③ B、 ② ④ C、① ④ D、 ② ③ 3、若已知某行星绕太阳公转的半径为 r,公转的周期为 T,万有引力常量为 G,则由此可 求出( ) A.某行星的质量 B.太阳的质量 C.某行星的密度 D.太阳的密度 4、利用下列哪些数据,可以计算出地球的质量( ) A、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径 r 和周期 T. B、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径 r 和周期 v. C、已地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 r 和周期 T. D、已知地球的半径 R 和地面的重力加速度 g. 5、2002 年 3 月 25 日,我国成功地发射了“神舟 3 号”载人试验飞船,经过 6 天多的太 空运行,试验飞船收舱于 4 月 1 日顺利地返回地面。已知飞船在太空中运行的轨道是个椭 圆,地球的球心是椭圆的一个焦点,如图所示,飞船在运行是无动力飞行,只受到地球对 它的万有引力作用,在飞船从轨道的 A 点沿箭头方向运行到 B 点的过程中,有以下说法, 正确的是: ( ) r ①飞船的速度逐渐减小。 A ②飞船的速度逐渐增大。 R0 B ③飞船的机械能守恒。 ④飞船的机械能逐渐增大。 A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 6、 天文上曾出现几个行星和太阳在同一直线上的现象, 假 设地 球和火星绕太阳的运动可看做匀速圆周运动,周期分别是 T1 和 T2,它们绕太阳运动的轨道 基本在同一水平面内.若在某一时刻,地球和火星都在太阳的一侧,且三者在同一直线上, 那么再经过多长的时间,将再次出现这种现象?已知地球离太阳较近.
2

A、

T1 +T2 2

B、 T1 +T2

C、

T 21 +T 2 2 2

D、

T1T2 T1 -T2

7、侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面的高度为 h , 要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来, 卫星在通过 赤道上空时, 卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?已知地球的半径为 R ,地面处的重力加速度为 g ,地球自转的周期为 T 。 解:对地面附近的物体:

GMm? ? m?g R2



对侦察卫星:

GMm 4? 2 m( R ? h) ? 2 ( R ? h) 2 T卫



卫星绕地一周,经过处于白昼的赤道上空只能拍摄一次照片,故卫星一天拍摄照片的次 数为:

N?

T T卫



W

设卫星上的摄像机一次拍摄到的赤道上圆弧的长度为 L , 2? R ? NL 则有: ④ 由①②③④解得: L ?

4? 2 T

( R ? h) 3 g



0

2、地球同步卫星 说明: ①一般卫星与同步卫星运行轨道的区别: 由于卫星作圆周运动的向心力必须由地球给它 的万有引力来提供,所以所有的地球卫星包括同步卫星,其轨道圆的圆心都必须在地球的的 球心上。 ②同步卫星是跟地球自转同步,故其轨道平面首先必须与地球的赤道圆面相平行。又因 做匀速圆周运动的向心力由地球给它的万有引力提供,而万有引力方向通过地心,故轨道平 面就应与赤道平面相重合。 ③一般卫星的轨道平面、周期、角速度、线速度、轨道半径都在一定的范围内任取。而 同步卫星的周期、角速度、线速度、轨道半径都是确定的。二者的质量(动能、势能、机械 能)都不确定。 1、同步卫星是指相对地面不动的人造地球卫星(D ) A.它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择不同值 B.它可以在地面上任一点的正上方,但离地心的距离是一定的 C.它只能在赤道的正上方,但离地心的距离可按需要选择不同值 D.它只能在赤道的正上方,且离地心的距离是一定的。 2、可以发射一颗这样的人造地球卫星,使其圆轨道( CD ) A.当地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆 B.与地球上某一经线决定的圆是共面同心圆 C.与地球上赤道线是共面同心圆,且卫星相对地球表面静止 D.与地球上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地球表面是运动的 注意:人造卫星的轨道平面是不转动的,经线是转动的)
3

3(04 广西高考)某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者,他用天文望远镜 观察被太阳光照射的此卫星,试问,春分那天(太阳光直射赤道)在日落 12 小时内有多长 时间该观察者看不见此卫星?已知地球半径为 R, 地球表面处的重力加速度为 g,地球自转周 期为 T,不考虑大气对光的折射。 解析:设所求的时间为 t,用 m、M 分别表示卫星和地球的质量,r 表示卫星到地心的 距离,有:

G

mM 2? ? mr ( ) 2 2 r T



春分时,如图所示,圆 E 表示轨道,S 表示卫星,A 表示观察者,O 表示地心,由图可 以看出当卫星 S 绕地心 O 转到图示位置以后(设地球自转是沿图中逆时针方向) ,其正下方 的观察者将看不见它,据此再考虑对称性,有

r sin ? ? R

② S A ③ θ O 阳光

t?

2? T 2?

G

M ?g R2



t?
由以上各式解得

T

?

arcsin(

4? 2 R 1 )3 2 gT



3、天体的估算 1、九大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地认为都是圆,各星球半径和轨道半径如下表所示: 行星名称 星球半径 ×106m 轨道半径 ×1011m 水星 2.44 0.579 金星 6.05 1.08 地球 6.37 1.50 火星 3.39 2.28 木星 69.8 7.78 土星 58.2 14.3 天王 星 23.7 28.7 海 王 星 22.4 45.0 冥王 星 2.50 59.0

①由此表所列数据可以估算出冥王星的公转周期最接近于(D ) A、4 年 B、40 年 C、140 年 D、240 年 ②由此表所列数据可以估算出太阳的质量最接近于(B ) 24 24 A、5.98×10 ㎏ B、2.0×10 ㎏ 30 30 C、2.0×10 ㎏ D、5.98×10 ㎏ 2、2003 年 10 月 15 日,我国成功发射了第一艘载人宇宙飞船“神舟五号”酒泉卫星发射 5 中心发射成功,飞船进入预定轨道环绕地球飞行 14 圈用时 23h,行程 6.27×10 km.假设飞船 3 运行的轨道是圆形轨道。已知地球半径 R=6.4×10 km(引力常量 G 未知)求地球表面的重力 加速度? 3、火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的运速运周运动。已知火星 11 11 的轨道半径 r 火=1.5×10 m,地球的轨道半径 r 地=1.0×10 m,从如图所示的火星与地球星距 最近的时刻开始计时,估算火星再次与地球相距最近需多少地球年?(保留两位有效数字)

4

地球 太阳

火星

4、超重和失重 ① 人造地球卫星在发射过程中有一段向上加速运动 阶段,在返回地球时有一个减速阶段,这两个过程都处于超重状态。 ②人造地球卫星进入轨道作匀速圆周运动时,由于万有引力完全提供向心力,人造卫星 及内面的物体都处于完全失重状态. 1、在发射和回收人造地球卫星的过程中,超重状态不出现在( C) A、卫星加速度逐渐增大的上升初期。B、卫星加速度逐渐减小的上升末期。 C、卫星加速下降的回收阶段。 D、卫星减速下降的回收阶段。 2、人造卫星进入轨道作匀速圆周运动,卫星内的物体以下说法中正确的有( ) ① 处于完全失重状态,所受重力为零 ② 处于完全失重状态,但仍受重力作用 ③ 所受的重力就是维持它跟随卫星一起作匀速圆周运动所属的向心力 ④ 处于平衡状态,即所受外力为零 A.②③ B.①④ C.②④ D.③④ 3、人造地球卫星进入轨道做匀速圆周运动,下面说法中正确的是( ) A 卫星内的物体失重,卫星没有失重. B 卫星内的物体不再有重力作用. C 卫星内物体仍受重力作用. D 卫星内的物体没有重力作用而有向心力作用. 4、人造卫星进入轨道作匀速圆周运动,卫星内的物体以下说法中正确的有 ( ) ① 处于完全失重状态,所受重力为零② 处于完全失重状态,但仍受重力作用。 ③ 所受的重力就是维持它跟随卫星一起作匀速圆周运动所属的向心力。 ④ 处于平衡状态,即所受外力为零。 A.② ③ B.① ④ C.② ④ D③ ④ 5、航天飞机中的物体处于失重状态是指这个物体 A.不受地球的吸引力 B.地球吸引力和向心力平衡 C.对支持它的物体的压力为零 D.以上说法都不对 6、宇航员在绕地球做匀速圆周运动的航天飞机中,会处于完全失重状态中,则下述说 法中正确的是: ( ) A.宇航员仍受重力作用 B.宇航员受力平衡 C.重力仍产生加速度 D.重力正好为宇航员绕地球作匀速圆周运动提供所需的向心力 7、一宇宙飞船在离地面 h 的轨道上做匀速圆周运动,质量为 m 的物块用弹簧秤挂起, 相对于飞船静止,则此物块所受的合外力的大小为 .(已知地球半径为 R,地面 的重力加速度为 g) 6、 一地球卫星高度等于地球半径,用弹簧秤将一物体悬挂在卫星内,物体在地球表面受到 的重力为 98N,则此时弹簧秤的读数为________N,物体受到的地球引力___________N. 5、卫星的发射与回收 1、某人造地球卫星沿圆周运动,由于空气阻力,有关卫星的一些物理量将变化,以下判断正 确的是:( D ) A、向心加速度变小 B、线速度变小 C、角速度不变。D、运行周期变小 E、机械能变大。 说明:卫星的机械能若在向其它形式的能转化,则高度将会减小;而若有其它形式的能转 化为卫星的机械能,则其高度将会增大。
5

2、发射通讯卫星的常用方法是:先用火箭将卫星送入一级近地轨道运行,然后再适时开 动运载火箭,经过过渡轨道将其送入与地球自转同步的运动轨道,则变轨后与变轨前( ) A、机械能增大,动能减小 B、机械能减小,动能增大 C、机械能增大,动能增小 D、机械能减小,动能减小 3、进入地球轨道的末级火箭和卫星,由于火箭的燃料已经用完,将用于连接火箭和卫星 的爆炸螺栓炸开,将卫星和末级火箭外壳分开,火箭外壳被抛开,此后(B ) A、卫星将进入较低的轨道环绕地球旋转。B、卫星将进入较高的轨道环绕地球旋转。 C、卫星和火箭均在原轨道上,卫星在前火箭在后。D、以上均有可能。 4、宇宙飞船要与轨道空间站对接,飞船为了追上轨道空间站( ) A.只能从较低轨道上加速。 B.只能从较高轨道上加速 C.只能从空间站同一高度轨道上加速 D.无论从什么轨道上加速都可以 5、发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道 1,然后 3 经点火,使其沿椭圆轨道 2 运行,最后再次点火,将卫星送入同 2 步圆轨道 3。轨道 1、2 切于 Q 点,轨道 2、3 相切于 P 点,如图 P 1 Q 2 所示,则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时,以下说法 正确的是: ( ) A.卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率 B.卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度 C.卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度 D.卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点的加速度 6、宇航员在某一行星上以速度 v0 竖直上抛一个物体,经 t 秒后落回手中。已知该行星的 半径为 R。 ①若在该星球上离地高 h 处,以初速度 v0 平抛一物体,水平射程为多少? ②要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面,沿星球表面的抛出速度至少应为多大? 解析:当平抛物体的初速度不太大时,在平抛物体运动的范围内,地面可看作是水平的, 重力加速度的大小不变、方向始终垂直于水平面。如果平抛物体的初速度很大,其射程就会 很远,重力加速度的大小和方向就要变化,就不可能作平抛运动。 1、设在地面附近的重力加速度为 g,由于物体做竖直上抛运动: -V0=V0-gt 即 g=

2v0 ① t
0

R

若物体作平抛运动有: X=v0t ② h=

1 2 gt 2

③所以 x= hv0 t

2、要使物体不落回星球表面,就要求万有引力完全提供向心力,而在星球表面附近,重 力约等于万有引力。故: mg= m

v2 R



由①④得:v=

2Rv0 t

7、 宇宙中某星球的半径为地球的 2 倍,星球的质量为地球的 2 倍,若在该星球上发射一颗卫 星,使其环绕该星运动。问该卫星在该星附近轨道发射需最小速度是多少? 8、某物体在地面上的重力为 160N,现将它放置在卫星中,在卫星以加速度 a=

加速上升的过程中,当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为 90N 时,求此时卫星距地球
6

1 g 随火箭 2

表面有多远?(地球半径 R=6.4×10 km,取重力加速度 g=10m\s ) 解析:因为卫星在加速上升的过程中,卫星内的物体与卫星的相互挤压力小与其地面上重 力,故应该考虑由于高度的变化而引起的重力加速度的变化。 设此时火箭离地球表面的高度为 h,火箭受到的支持力为 N,物体受到的重力为 mg , 由牛顿第二定律得: ’ N-mg =ma 在 h 高处: G ① ② N


3

2

Mm ’ =mg 2 (R ? h)
Mm =mg R2

在地球表面处: G



mg’

由①②③得:h=R(

mg 4 -1)=1.92×10 km N - ma
3

9、 2003 年 10 月 15 日, 我国成功发射了第一艘载人宇宙飞船 “神舟五号” 。 火箭全长 58.3m、 起飞质量为 479.8×10 ㎏,火箭点火升空,飞船进入预定轨道。 “神舟五号”环绕地球飞行 14 圈用的时间是 21h。飞船点火竖直升空时,宇航员杨利伟感觉“超重感比较强” ,仪器显示 他对座舱的最大压力等于他体重的 5 倍。飞船进入预定轨道后,杨利伟还多次在舱内飘浮起 来。 假设飞船运行的轨道是圆形轨道。 (地球半径 R 取 6.4×10 km, 地面的重力加速度 g=10m\s , 计算结果取两位有效数字) 。 ①是分析宇航员在舱内 “飘浮起来” 的现象产生的原因? (完全失重) ②求火箭点火发射时,火箭的最大推力?(2.4×10 N) ③估算飞船运行轨道距离地面的高度? (3.2×10 m) mg
5 7 3 2

F

10、天文工作者观测到某行星的半径为 R,它有一颗卫星,轨道半径为 r,绕行星公转周 期为 T。若要在此行星的表面将一颗质量为 m 的卫星发射出去,使其绕该行星运转,求至少 应对卫星做多少功?设行星表面无任何气体,不考虑行星的自转。 11、天文工作者观测到某行星的半径为 R1,自转周期为 T1,它有一颗卫星,轨道半径为 R2,绕行星公转周期为 T2。若要在此行星的表面将一颗质量为 m 的卫星发射出去,使其绕 该行星运转,求至少应对卫星做多少功?(设行星表面无任何气体,万有引力恒量为 G) 11、设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务后,乘坐返回舱返回围绕火星作匀速运 周运动的轨道舱,如图所示。为了安全,返回舱与轨道舱对接时必须具有相同的速度。已知 返回舱与人的总质量为 m,火星表面的重力加速度为 g,火星的半径为 R,轨道舱到火星中 心的距离为 r,返回舱返回过程中需要克服火星引力做功 W=mgR(1-

R ) ,不计火星表面大 r

气对返回舱的阻力和火星自转的影响, 则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能 返回轨道舱?

7

解析:设轨道舱的质量为 m0,速率大小为 v。

G

Mm 0 v2 m = 0 r2 r



返回舱与人在火星附近。

Mm =mg r2 1 EK= mv2 2 R W=mgR(1- ) r G
E=EK+W

r 0 R

② ③ ④ ⑤ 由①②③④⑤得 E=mgR(1-

R ) 2r

12、阅读下列信息,并结合该信息解题。 开普勒在 1909-1919 年发表了著名的开普勒行星三定律: 第一定律:所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳在这个椭圆的一个 焦点上。开普勒第一定律又叫轨道定律。 第二定律:太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。开普勒第二定律又叫面积 定律。 第三定律:所有行星在椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。开普 勒第三定律又叫面积定律。 实践证明。开普勒三定律也适用于人造地球卫星。 如果人造地球卫星(或飞船)沿半径为 r 的圆形轨道绕地球运动,现卫星要返回地面,可 在 A 位置开动制动发动机,使卫星速度降低并转移到与地球相切于 B 点的椭圆轨道,从而 使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动, 如图所示。 问在这之后, 卫星经过多长时间着陆? (已知地球半径为 R,地球表面的重力加速度为 g) 解析:对近地小圆轨道有 mg = 即 GM=R2g 应用开普勒第三定律 对变速椭圆轨道 ①

GMm

R

2

r B ② ③
?(R ? r ) R R?r 2g
R?r 2g

R

A

T 2 4?2 = a 3 GMe
a=
R?r 2

对变速椭圆轨道应用①②③式可求 T =

显然,着陆时间为

t=

T 2

答案:

?(R ? r ) 2R

13、航天飞机是能往返于地球与太空间的载人飞行器。利用航天飞机可将人造卫星送入 预定轨道,也可以到太空维修出现故障的地球卫星。 ①乘航天飞机对在离地面高 h=800km 的圆形轨道上的人造卫星进行维修时,航天飞机的 速度与卫星的速度必须基本相同。已知地球的半径为 R=6400km,地球表面的重力加速度
8

g=9.8m\s ,试求维修卫星时航天飞机的速度? ②航天飞机无动力滑翔着陆, 当航天飞机的速度达到 54km\h 时从尾部弹出减速伞, 以使 减速飞机迅速减速。设航天飞机质量为 100t,弹出减速伞后在水平跑道上滑行的距离不超 过 300m,求打开减速伞后航天飞机受到的平均阻力至少为多大? 6、宇宙的探索 1、中子星是由密集的中子组成的星体,具有极大的密度。通过观察已知的某中子星的 自转角速度ω ,根据中子星并没有因为自转而解体的事实,人们可以推知中子星的密度。试 写出中子星最小密度的表达式? 解析:设中子星表面有一个质量为 m 的中子,则它随中子星一起做圆周运动的向心力 由它与中子星之间的万有引力提供。由题知: F 引≥F 向 又ρ = 即G

2

Mm 2 ≥m ? r ① 2 r


M 4?R 3

3

由①②式得:ρ ≥

3? 2 4?G

及密度的最小值ρ =

3? 2 。 4?G

2、 (03 全国)中子星是恒星演化过程的一种可能结果,它的密度很大。现有一中子星, 它的自转周期为 T=

1 s 。同该中子星的最小密度应是多少才难维持该星体的稳致因自转而 30


瓦解。计算时星体可视为均匀球体。 (引力常数 G=6.67× 10 11m3/) 解析:物体位于中子星赤道上时,随中子星自转所需的向心力最大,离新趋势最强,最 易挣脱引力而是中子星瓦解。 只有当赤道上的物体受到的万有引力大于或等于它随星体所需 的向心力时,中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为 ? ,质量为 M ,半径为 R,自转角速度为 ? ,位于赤道处的小块物 为 m,则有:

3? 4 34 ④ 代入数据解得 ? ? 1.27 ? 10 kg . M ? ?R 2 ? ③ 由以上各式得 ? ? 2 GT 3 3、假若地球的自转角速度可以增大,为使大量的地表水不致因角速度太大而被甩出,地 球自转的周期不得小于多少?(设水只受万有引力。地球平均密度 ρ=5.5× 103kg/m3,地球的 平均半径 R=6.4× 103km,G=6.67× 10-11N· m2/kg2。 ) 解析:在学习匀速圆周运动时,当外界提供的向心力 F 与物体作匀速圆周运动所需要的 向心力刚好吻合时,物体做稳定的匀速圆周运动。那么地球要保持自身的相对稳定,需要依 靠其自转使地球对其任何一部分的作用力恰好提供这一部分做圆周运动的向心力。 设在地球表面上任选一部分质量为 m 的水团,M、R 分别为地球的质量和半径。如图 1 所示,之所以该水团未被甩出去,是因为地球对它的万有引力刚好提供它随地球自转的向心 力:

GMm ? m? 2 R ① R2 2? ?? ② T

9

G
F 向=

Mm R2

2? mRω2= m( T )2R (1)
0

m

由于题目没有告诉地球的质量,所以,需进一步寻找关系:

4 3 ?R M=ρV=ρ 3

(2)

以上两式联立求解得:T

3? ?G =0.5×104s=5×103s=1.39h。

4、根据天文学家观测,月球半径为 R=1738km,月球表面的重力加速度约为地球表面 重力加速度的

1 ,月球表面在阳光的照射下温度可达 127C?,此时水蒸气分子的平均速度达 6

到 V0=2000m\s。试分析月球表面没水的原因。 (取地球表面的重力加速度 g=9.8m\s2) 解析:初看题目的已知条件与所问结果找不到直接联系的东西.但想到若月球表面有水, 则月球在转动的同时 ,月球表面的水团也在随月球转动 .由圆周运动知识可知 :做圆周运动的 物体,当外界提供的向心力 F 与物体作圆周运动所需要的向心力刚好吻合时,物体做稳定的 匀速圆周运动。若外界提供的向心力 F 小于物体作圆周运动所需要的向心力时,物体将做离 心运动而被甩出去. 设在地球表面上任选一部分质量为 m 的水团,M、R 分别为地球的质量和半径。如图 1 所示,之所以该水团未被甩出去,是因为地球对它的万有引力刚好提供它随地球自转的向心 力: 假定月球表面有水, 则这些水在 127C?时达到的平均速度 V0=2000 m\s 必须小于月球的 第一宇宙速度,否则这些水将不会落回月球表面,导致月球表面无水。取质量为 m 的某水 分子。

v Mm G 2 =m 12 R R
G Mm =mg 月 R2 1 g 月= g 6

2

(1) (2) (3) 0

ω m

由①②③得:V1=

g 月R

=1700m\s <V 即以 2000m\s 速度运动的水分子已脱离月球

表面,也即月球表面无水。 5、 (03 江苏高考)据美联社 2002 年 10 月 7 日报道,天文学家在太阳系的 9 大行星之 外,又发现了一颗比地球小得多的新行星,而且还测得它绕太阳公转的周期约为 288 年. 若 把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆,问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍 . (最后结果可用根式表示) 解析:设太阳的质量为 M;地球的质量为 m0 绕太阳公转的周期为 T0,太阳的距离为 R0,公转角速度为 ? 0 ;新行星的质量为 m ,绕太阳公转的周期为 T,与太阳的距离为 R, 公转角速度为 ? ,根据万有引力定律和牛顿定律,得
10

G

Mm ? m? 2 R R2 2?

G

Mm0 2 ? m0? 0 R0 2 R0 2?

T?

?
R T ? ( )3 R0 T0
2

T0 ?

?0


由以上各式得

已知 T=288 年,T0=1 年

R ? 44(或3 2882 ) R0

6、 “黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊的天体,它的密度极大,对周围物 质(包括光子)有极强的吸引力。根据爱因斯理论,光子是有质量的,光子到达黑洞表面时 也将被吸入,最多恰能绕黑洞表面做圆周运动,它自身发出的光子也不能向外射出,人们无 法用光学方法观察到它,故称它为“黑洞” ,根据天文观测,银河系中心可能有一个黑洞, 距该可能黑洞 6.0 ╳ 1012m 远的星体正以 2.0 ╳ 106m/s 的速度绕它旋转,取 G=6.7 ╳ 10-11N.m2/kg2,试估算该黑洞的质量和半径。 (取两位有效数字) 解析:黑洞作为一个特殊的天体一直受到人们的广泛关注,种种迹象表明它确实 存在于人的视野之外由于黑洞的特殊性,一定要抓住其“黑”的原因,即光子也逃不 出它的约束,光子绕黑洞作匀周运动时,它的轨道半径就是黑洞的最大可能半径。 根据爱因斯坦理论,光自有质量,所以黑洞对光子的引力就等于它做匀速匀周运动 的向心力。设黑洞的质量为 M,光子的质量为 m,光速为 c,R 为黑洞的可能最大半径。则:

G

Mm c2 =m R2 R2



银河系中的星体绕黑洞旋转时,也认为做的是匀速匀周运动,其向心力为二者之间的万 ‘ 有引力。设该星体的质量为 m ,r 为轨道半径。则:

G

Mm v2 =m r2 r



( ) r=3×10 m 由①②式得:R=
8

v c

2

7、假设火星与地球都是球体,火星的质量与地球的质量之比为 M 火/M 地=p,火星的半径与 地球的半径之比为 R 火/R 地=q,那么火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为 多少? 解析:在星球表面,如果不考虑星球的自转,万有引力等于重力。

G

M火m R火
2

=mg 火

① G

M地m R地
2

=mg 地



由①/②得:

g火 g地

=

p q2

11



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