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高二数学讲义 四点共圆(一)5



高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆(一)
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一、知识要点:
1. 判定“四点共圆”的方法: (1)若对角互补,则四点共圆; (2)若线段同一侧的两点对线段的张角相等,则四点共圆; (3)圆的割线定理成立,则四点共圆; (4)圆的相交弦定理成立,则四点共圆; 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现, 这类问题一般有两种形式: 一是以“四 点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题 铺平道路.

二、例题精析:
例 1. 在梯形 ABCD 中,AB∥ DC,AB>CD,K,M 分别在 AD,BC 上,∠ DAM =∠ CBK. C D 求证:∠ DMA=∠ CKB. (第二届袓冲之杯初中竞赛)
K A · M · B

1

例 2. 给出锐角△ABC,以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC′及其延长线交于 M, N.以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB′及其延长线将于 P,Q.求证:M,N,P,Q 四点共圆. (第 19 届美国数学奥林匹克) A N
Q C′ P B K M B′ C

例 3.A、B、C 三点共线,O 点在直线外, O1,O2,O3 分别为△OAB,△OBC, △OCA 的外心.求证:O,O1,O2, O1 O3 四点共圆. (第 27 届莫斯科数学奥林匹克)
A

O





O3 B

O2 C

2

三、精选习题:
1.⊙ 1 交⊙ 2 于 A,B 两点,射线 O1A 交⊙ 2 于 C 点,射线 O2A O O O 交⊙ 1 于 D 点.求证:点 A 是△BCD 的内心. O

2.△ABC 为不等边三角形.∠ 及其外角平分线分别交对边中垂线于 A1,A2;同 A 样得到 B1,B2,C1,C2.求证:A1A2=B1B2=C1C2.

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3.设点 M 在正三角形三条高线上的射影分别是 M1,M2,M3(互不重合). 求证:△M1M2M3 也是正三角形.

四、拓展提高:
4.⊙ 过△ABC 顶点 A,C,且与 AB, O BC 交于 K,N(K 与 N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于 B 和 M.求证:∠ BMO=90° . (第 26 届 IMO 第五题)
A K B M N G O C

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高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆(一)
例 1. 分析:易知 A,B,M,K 四点共圆.连接 KM, 有∠ DAB=∠ CMK.∵ DAB+∠ ∠ ADC =180° , ∴ CMK+∠ ∠ KDC=180° . 故 C,D,K,M 四点共圆 ? ∠ CMD=∠ DKC. 但已证∠ AMB=∠ BKA, ∴ DMA=∠ ∠ CKB. 例 2. 法 1: P, Q, C , C ? 四点共圆,
PK ? KQ ? C?K ? KC ,
M , N , B, B? 四点共圆,
MK ? KN ? BK ? KB? ,

因为 ?BC?C ? ?BB?C ? 90? , 所以 B, B?, C , C ? 四点共圆,
C ?K ? KC ? BK ? KB?

所以 MK ? KN ? PK ? KQ , 所以 M,N,P,Q 四点共圆. 法 2:设 PQ,MN 交于 K 点,连接 AP,AM. 欲证 M,N,P,Q 四点共圆,须证 MK· KN=PK· KQ, 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) =(PB′-KB′)·(PB′+KB′) 或 MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ① 不难证明 AP=AM,从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2 =(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2. ② 由② 即得① ,命题得证. 例 3.分析:作出图中各辅助线.易证 O1O2 垂直平分 OB,O1O3 垂直平分 OA.观 1 察△OBC 及其外接圆, 立得∠ 2O1= ∠ 2B=∠ OO OO OCB.观察△OCA 及其外 2 1 接圆,立得∠ 3O1= ∠ 3A=∠ OO OO OCA. 2 由∠ 2O1=∠ 3O1 ? O,O1,O2,O3 共圆. OO OO
5

利用对角互补,也可证明 O,O1,O2,O3 四点共圆,请同学自证. 1.提示:设法证明 C,D,O1,B 四点共圆,再证 C,D,B,O2 四点共圆,从而知 C,D,O1,B,O2 五点共圆. 2. 提示:设法证∠ ABA1 与∠ ACA1 互补造成 A,B,A1,C 四点共圆;再证 A, A2, C 四点共圆, B, 从而知 A1, 2 都是△ABC 的外接圆上, A 并注意∠ 1AA2=90° A . 4.分析:这道国际数学竞赛题,曾使许多选手望而却步.其实,只要把握已知条 件和图形特点,借助“四点共圆”,问题是不难解决的. 连接 OC,OK,MC,MK,延长 BM 到 G.易得∠ GMC= ∠ BAC=∠ BNK=∠ BMK.而∠ COK=2· BAC=∠ ∠ GMC+ ∠ BMK=180° CMK, -∠ ∴ COK+∠ ∠ CMK=180° C,O,K,M 四点共圆. ? 在这个圆中,由 OC=OK ? OC=OK ? ∠ OMC=∠ OMK. 但∠ GMC=∠ BMK, 故∠ BMO=90° . 法2 蒙日定理

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