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高二数学讲义 四点共圆(一)5

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高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆（一）
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一、知识要点：
1. 判定“四点共圆”的方法: （1)若对角互补，则四点共圆； （2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆； （3）圆的割线定理成立，则四点共圆； （4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现， 这类问题一般有两种形式： 一是以“四 点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题 铺平道路.

二、例题精析：
例 1. 在梯形 ABCD 中，AB∥ DC，AB＞CD，K，M 分别在 AD，BC 上，∠ DAM ＝∠ CBK. C D 求证：∠ DMA＝∠ CKB. （第二届袓冲之杯初中竞赛）
K A · M · B

1

例 2. 给出锐角△ABC，以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC′及其延长线交于 M， N.以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB′及其延长线将于 P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆. (第 19 届美国数学奥林匹克) A N
Q C′ P B K M B′ C

例 3．A、B、C 三点共线，O 点在直线外， O1，O2，O3 分别为△OAB，△OBC， △OCA 的外心.求证：O，O1，O2， O1 O3 四点共圆. (第 27 届莫斯科数学奥林匹克)
A

O

？

？

O3 B

O2 C

2

三、精选习题：
1．⊙ 1 交⊙ 2 于 A，B 两点，射线 O1A 交⊙ 2 于 C 点，射线 O2A O O O 交⊙ 1 于 D 点.求证：点 A 是△BCD 的内心. O

2．△ABC 为不等边三角形.∠ 及其外角平分线分别交对边中垂线于 A1，A2；同 A 样得到 B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.

3

3．设点 M 在正三角形三条高线上的射影分别是 M1，M2，M3(互不重合). 求证：△M1M2M3 也是正三角形.

四、拓展提高：
4．⊙ 过△ABC 顶点 A，C，且与 AB， O BC 交于 K，N(K 与 N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于 B 和 M.求证：∠ BMO=90° . (第 26 届 IMO 第五题)
A K B M N G O C

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高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆（一）
例 1. 分析：易知 A，B，M，K 四点共圆.连接 KM， 有∠ DAB＝∠ CMK.∵ DAB+∠ ∠ ADC ＝180° ， ∴ CMK+∠ ∠ KDC＝180° . 故 C，D，K，M 四点共圆 ? ∠ CMD＝∠ DKC. 但已证∠ AMB＝∠ BKA， ∴ DMA＝∠ ∠ CKB. 例 2. 法 1： P, Q, C , C ? 四点共圆，
PK ? KQ ? C?K ? KC ，
M , N , B, B? 四点共圆，
MK ? KN ? BK ? KB? ，

因为 ?BC?C ? ?BB?C ? 90? ， 所以 B, B?, C , C ? 四点共圆，
C ?K ? KC ? BK ? KB?

所以 MK ? KN ? PK ? KQ ， 所以 M，N，P，Q 四点共圆. 法 2：设 PQ，MN 交于 K 点，连接 AP，AM. 欲证 M，N，P，Q 四点共圆，须证 MK· KN＝PK· KQ， 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′) 或 MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ① 不难证明 AP=AM，从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2 =(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2. ② 由② 即得① ，命题得证. 例 3．分析：作出图中各辅助线.易证 O1O2 垂直平分 OB，O1O3 垂直平分 OA.观 1 察△OBC 及其外接圆， 立得∠ 2O1= ∠ 2B=∠ OO OO OCB.观察△OCA 及其外 2 1 接圆，立得∠ 3O1= ∠ 3A=∠ OO OO OCA. 2 由∠ 2O1=∠ 3O1 ? O，O1，O2，O3 共圆. OO OO
5

利用对角互补，也可证明 O，O1，O2，O3 四点共圆，请同学自证. 1．提示：设法证明 C，D，O1，B 四点共圆，再证 C，D，B，O2 四点共圆，从而知 C，D，O1，B，O2 五点共圆. 2． 提示：设法证∠ ABA1 与∠ ACA1 互补造成 A，B，A1，C 四点共圆；再证 A， A2， C 四点共圆， B， 从而知 A1， 2 都是△ABC 的外接圆上， A 并注意∠ 1AA2=90° A . 4．分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条 件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接 OC，OK，MC，MK，延长 BM 到 G.易得∠ GMC= ∠ BAC=∠ BNK=∠ BMK.而∠ COK=2· BAC=∠ ∠ GMC+ ∠ BMK=180° CMK， -∠ ∴ COK+∠ ∠ CMK=180° C，O，K，M 四点共圆. ? 在这个圆中，由 OC=OK ? OC=OK ? ∠ OMC=∠ OMK. 但∠ GMC=∠ BMK， 故∠ BMO=90° . 法2 蒙日定理

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