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2013高一数学必修1教师用书:第1部分 第二章 2.1 2.1.3 函数的单调性



理解教材新知

第 二 章
函 数

2.1.3

2.1 函 数

函 数 的 单 调 性

考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练

观察下列函数图象

问题1:从图象上看,自变量x增大时,函数f(x)的


如何变化?

提示:甲图中,函数f(x)的值随x增大而增大.
乙图中,函数f(x)的值随x增大而减小. 丙图中,在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小; 在y轴右侧,函数f(x)的值随x的增大而增大.

问题2:甲、乙两图中,若x1<x2,f(x1)与f(x2)的大小关系是

什么?
提示:甲图中,若x1<x2,则f(x1)<f(x2); 乙图中,若x1<x2,则f(x1)>f(x2). 问题3:丙图中若x1<x2,f(x1)<f(x2)自变量x属于哪个区间? 提示:[0,+∞).

设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A,如果取区 间M中的 任意 两个值x1,x2,改变量Δ x=x2-x1>0 , 则当 Δ y=f(x2)-f(x1)>0 时,就称函数y=f(x)在区间M

上是增函数,如图(1);当 Δ y=f(x2)-f(x1)<0 时,就称
函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图(2).

如果函数y=f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数,

就说y=f(x)在这个区间M上具有 单调性 (区间M称为单调
区间).

(1)函数单调性定义的理解 一是任意性,即“任意取x1,x2”,不能取两个特殊值; 二是x1,x2有大小,通常规定Δ x=x2-x1>0;三是x1,x2 同属于定义域的某个子区间. (2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,即单

调区间是定义域的子集.如函数y=x2的定义域为R,当
x∈[0,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,0)时是减函数.

[例 1]

4 证明:函数 f(x)=x+x在(2,+∞)上是增函数.

[思路点拨]

函数解析式和区间已给出,要证明函

数是增函数,只需用定义证明即可.

[精解详析]

任取 x1,x2∈(2,+∞),

且 x1<x2,则 Δx=x2-x1>0, 4 4 Δy=f(x2)-f(x1)=x2+ -x1- x2 x1 4?x1-x2? =(x2-x1)+ x1x2 x1x2-4 =(x2-x1) . x1x2 ∵2<x1<x2,∴x2-x1>0,x1x2>4, x1x2-4>0, 4 ∴Δ y>0,∴函数 f(x)=x+x在(2,+∞)上是增函数.

[一点通] 利用定义证明函数单调性的步骤如下:

1.证明:函数f(x)=2x2+4x在(-∞,-1]上是减函数. 证明:设x1<x2≤-1,则Δx=x2-x1>0, Δy=f(x2)-f(x1)=(2x+4x2)-(2x+4x1) =2(x-x)+4(x2-x1) =2(x2-x1)(x1+x2+2).

∵x1<x2≤-1,x1+x2+2<0,∴Δy<0.
∴f(x)在(-∞,-1]上是减函数.

x 2.利用定义判断 f(x)= 在区间(0,+∞)上的单调性. x+2
解:任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,则 x2-x1>0, x2 x1 Δy=f(x2)-f(x1)= - x2+2 x1+2 x2?x1+2?-x1?x2+2? = ?x2+2??x1+2? 2?x2-x1? = . ?x1+2??x2+2?

∵x1<x2 且 x1,x2∈(0,+∞), ∴x2-x1>0,x1+2>0, x2+2>0,∴Δy>0, x ∴f(x)= 在区间(0,+∞)上是增函数. x+2

[例2] 画出函数y=-x2+2|x|+1的图象并写出函数的单调 区间.
[ 思路点拨 ] → 求单调区间 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象

[精解详析]

2 ? ?-x +2x+1, y=? 2 ? - x -2x+1, ?

x≥0, x<0,



2 ? ?-?x-1? +2, y=? 2 ? ?-?x+1? +2,

x≥0, x<0.

函数图象如图所示,单调增区间为 (-∞,-1],[0,1], 单调减区间为[-1,0],[1,+∞).

[一点通]

利用函数图象确定函数的单调区间,具体做

法是:先化简函数解析式,然后画出它的草图,最后根据函
数定义域与草图的位置、状态,确定函数的单调区间. 注意:当单调性相同的区间多于一个时,用“和”“或” 连接, 不能用“∪”连接.

3.函数y=|x|在区间[-1,1]上的增区间为________.

答案:[0,1]

4.求下列函数的单调区间: 5 (1)y=x; (2)y=x2-2x-3.

解:(1)函数的单调减区间是(-∞,0),(0,+∞);

(2)y=x2-2x-3的对称轴方程是x=1,并且开口向上,
所以其单调减区间是(-∞,1],单调增区间是(1,+

∞).

5.作出函数

? ?-x-3 f(x)=? 2 ? ? x - 2 ? +3 ?

?x≤1?, 的图象, 并指 ?x>1?

出函数的单调区间.
? ?-x-3, 解:f(x)=? 2 ? ??x-2? +3,

?x≤1?, 的图象如图所示. ?x>1?

由图象可知:函数的单调减区间为(-∞,1]和(1,2];单 调增区间为[2,+∞).

[例3]

(12分)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,

且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值范围. [思路点拨] 不等式f(1-a)<f(2a-1)为抽象不等式,不

能直接解.考虑到函数的单调性,可将函数值的不等关系转 化为自变量取值的不等关系,即转化为具体不等式来求解.

[精解详析] 解得 0<a<1.

? ?-1<1-a<1, 由题意可知? ? ?-1<2a-1<1,

(2 分) (4 分)



又 f(x)在(-1,1)上是减函数, 且 f(1-a)<f(2a-1), 2 ∴1-a>2a-1,即 a< . 3 2 由①②可知,0<a< , 3 2 即所求 a 的取值范围是(0, ). 3 ② (8 分) (11 分) (12 分)

[一点通]

解决此类与抽象函数有关的变量的取值范

围问题,关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转 化为熟悉的不等式.若函数y=f(x)在区间D上是增函数, 对任意x1∈D ,x2∈D,且f(x1)<f(x2),则有x1<x2; 若函数y=f(x)在区间D上是减函数,对任意x1 ∈D , x2∈D,且f(x1)<f(x2),则有x1>x2.但需要注意的是,不要 忘记函数的定义域.

6.若函数y=f(x)在R上为增函数,则f(-3)与f(-π) 的大小关系是________.

答案:f(-3)>f(-π)

1 7.函数 y=-x+1 在区间[ ,2]上的最大值是( 2 1 A.- 2 1 C. 2 B.-1 D.3

)

1 解析:y=-x+1 在 R 上单调递减,故在[ ,2]上的最大 2 1 1 值为- +1= . 2 2

答案:C

8.已知函数f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减函数, 求实数a的取值范围.

解:∵f(x)=x2-2(1-a)x+2
=[x-(1-a)]2+2-(1-a)2,

∴f(x)的减区间是(-∞,1-a].
又∵已知f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴1-a≥4,即a≤-3. ∴所求实数a的取值范围是(-∞,-3].

(1)函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的 性质.这个子集可以是整个定义域,也可以是定义域

的真子集.
(2)若x1>x2,f(x1)>f(x2),则函数y=f(x)是单调增函 数;若x1>x2,f(x1)<f(x2),则函数y=f(x)是单调减函数, 即若(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0),则函数y=f(x)是增(减) 函数.

(3)如果一个函数有多个单调增(减)区间,这些增(减) 区间应该用逗号隔开 (即“局部”)或用“和”来表示,而 不能用并集的符号“∪”连接(并完之后就成了“整 1 体”).例如 f(x)=x的单调减区间可以写成(0,+∞),(- ∞,0)(或者写成(0,+∞)和(-∞,0)),但不能写成(-∞, 0)∪(0,+∞).



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