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2015-2016高中数学 2.1.5平面上两点间的距离学案 苏教版必修2



2.1.5

平面上两点间的距离

在一条直线型的河流 l 的同侧有两个村庄 A、B.现在要在河流旁边共建造一水厂 C 向两 个村庄供水, 要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短, 则水厂应当建在什么地方?我们知道 平面上两点间的连线的长中线段的长最短,那么,应当铺设的管道最短是多少?

1. P1(x1, y1), P2(

x2, y2)两点间的距离公式为: P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2. 特别,当直线 P1P2 垂直于 y 轴时,P1P2=|x2-x1|;当直线 P1P2 垂直于 x 轴时,P1P2 =|y2-y1|;当 P1,P2 中有一个是原点时,则有 OP= x21+y21_或 OP= x22+y22. 2.利用两点间的距离公式解决相关平面几何问题的基本步骤可归纳为:第一步,建立 坐标系用坐标表示有关的量;第二步, 进行有关代数运算; 第三步,把代数运算结果“翻译” 成几何关系.,

两点间的距离公式

P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为:P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2.
特别: 当直线 P1P2 垂直于 y 轴时, P1P2=|x2-x1|; 当直线 P1P2 垂直于 x 轴时, P1P2=|y2 -y1|;当 P1,P2 中有一个是原点时,则有 OP= x21+y21或 OP= x22+y22. 两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任意两已知坐标点间的距离, 公式的推 导体现解析几何中常用的数学思想方法——坐标法. 通过学习应当深刻理会用坐标法解决几 何问题的基本思路.

1

基 础 巩 固 知识点一 两点间距离公式的正用 1.已知点 A(1,3),B(2,6),则 AB 等于________. 解析:AB= (1-2)2+(3-6)2= 10. 答案: 10

2.三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(3,7)、B(5,-1)、C(-2,-5),则 AB 边 中线 CD 的长是________. 解析: 由中点公式求出 AB 边的中点 D 的坐标为(4, 3), 再由两点间的距离公式求出 CD. 答案:10

3.光线从点 A(-3,5)射到直线 l:3x-4y+4=0 以后,再反射到一点 B(2,15). (1)求入射线与反射线的方程; (2)求这条光线从 A 到 B 的长度. 解析:(1)设点 A 关于直线 l 的对称点为 A1(x0,y0),由直线 AA1 与已知直线垂直,且

AA1 中点也在直线上,则有 y0-5 4 ? ?x0+3=-3, ? x0-3 y0+5 ?3× 2 -4× 2 +4=0, ?
解得 x0=3,y0=-3,即 A1(3,-3).

y+3 x-3 于是反射光线方程为 = ,即 18x+y-51=0. 15+3 2-3
同理 B1(14,-1),入射光线方程为 6x+17y-67=0. (2)光线从 A 到 B 的长度,利用线段的垂直平分线性质,即得 AP+PB=A1P+PB=A1B= (3-2)2+(-3-15)2=5 13.

知识点二 两点间距离公式的逆用 4.已知点 M(a,0)到点 A(5,12)的距离为 13,则 a 的值为________. 解析:由两点间的距离公式得 (5-a)2+(12-0)2=13,解得 a=0 或 10.
2

答案:0 或 10

5.与两点 A(-2,2)、B(2,4)等距离,且在坐标轴上的点的坐标是________. 解析:设点 P(a,0)或(0,b)由两点间的距离公式计算.

?3 ? 答案:? ,0?和(0,3) ?2 ?

能 力 升 级 综合点一 两点间距离公式的综合应用 6.已知 A(5,2a-1)、B(a+1,a-4),则 AB 的最小值是________. 解析:由两点间的距离公式得

AB= (a-4)2+(a-4-2a+1)2= 2a2-2a+25=
7 2 答案: 2

2 ? 1? 49 7 2. 2?a- ? + ≥ 2 2 ? 2?

7.光线从点 A(-3,5)射到 x 轴上,经反射以后经过点 B(2,10),则光线从 A 到 B 的 距离为________. 解析: A(- 3, 5) 关于 x 轴对称点 A′(-3 ,- 5),故 A 到 B 的距离即为 A′B = (2+3)2+(10+5)2= 250=5 10. 答案:5 10 8.过点 P(2,1)作直线 l 交 x,y 正半轴于 A,B 两点,当 PA·PB 取到最小值时,求直 线 l 的方程. 解析:设直线 l 的方程为:y-1=k(x-2)(k≠0), 1 ? 1 ? 令 y=0,解得 x=2- ;令 x=0,解得 y=1-2k.∴A?2- ,0?,B(0,1-2k).

k

?

k

?

∴PA·PB=

?1+ 1 ?(4+4k2)= ? k2? ? ?

1? ? 8+4?k2+ ?≥ 8+4×2=4. k 2? ? 当且仅当 k2=1 即 k=±1 时,PA·PB 取到最小值.又根据题意 k<0,∴k=-1. 所以直线 l 的方程为:x+y-3=0.

综合点二 两点间距离公式在几何证明题中的应用
3

9.已知△ABC 的三个顶点坐标为 A(-3,1)、B(3,-3)、C(1,7).求证:△ABC 为等 腰直角三角形. 证明:根据两点间距离公式可得:

AB= (-3-3)2+(1+3)2=2 13, BC= (3-1)2+(-3-7)2=2 26, CA= (-3-1)2+(1-7)2=2 13,
∴AB=CA,且 AB2+CA2=BC2. 故△ABC 为等腰直角三角形.

综合点三 两点间距离公式在实际生活中的应用 10.甲船在某港口东 50 km,乙船在同一港口的东 14 km,南 18 km 处,那么甲、乙两 船的距离是________. 解析:以某港口为坐标原点建系后得甲船坐标为(50,0),乙船坐标为(14,-18),由 两点间距离公式得甲、乙两船的距离为 (50-14)2+(0+18)2=18 5. 答案:18 5 km

11.已知 0<x<1,0<y<1. 求 证 : x2+y2 + x2+(1-y)2 + (1-x)2+y2 + (1-x)2+(1-y)2 ≥ 2 2,并求等号成立的条件. 证明:设四边形 OABC 是正方形,O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1),设 P(x,y) 为 正 方 形 内 一 点 , 如 下 图 , PO =

x2+y2 , PA =

(1-x)2+y2 , PB =

(1-x)2+(1-y)2,PC= x2+(1-y)2,

OB= 2,AC= 2.
因为 PO+PB≥BO,PA+PC≥AC, 所以 PO+PB+PA+PC≥BO+AC, 即 x2+y2+ x2+(1-y)2+ (1-x)2+y2+ (1-x)2+(1-y)2≥2 2.当 且仅当 PO+PB=BO,且 PA+PC=AC 时,等号成立.此时点 P 既在 OB 上,又在 AC 上,因此, 1 点 P 是正方形的中心,即 x=y= . 2

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