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高中数学解析几何练习题



23. 设抛物线 设动直线 直径的圆记为圆 . (1)求 的值;

的焦点为 与抛物线相切于点

, 点

, 线段

的中点在抛物线上. , 以 为

, 且与抛物线的准线相交于点

(2)证明:圆 与 轴必有公共点; (3)在坐标平面上是否存在定点 ,使得圆

若不存在,说明理由. 24.设动点 P(x,y)(x≥0)到定点 F ? 离大

恒过点

?若存在,求出

的坐标;

?1 ? , 0 ? 错误!未找到引用源。的距离比到 y 轴的距 ?2 ?

1 错误!未找到引用源。.记点 P 的轨迹为曲线 C. 2

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A(1,0),且圆心 M 在 P 的轨迹上,BD 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,当 M 运动时 弦长 BD 是否为定值?说明理由; (3)过 F ?

?1 ? , 0 ? 错误!未找到引用源。作互相垂直的两直线交曲线 C 于 G、H、R、S,求 ?2 ?

四边形 GRHS 面积的最小值. 25.已知抛物线 C 顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为

3 2 错 2

误!未找到引用源。,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 2 2 2 2 26.已知圆 C 与两圆 x +(y+4) =1,x +(y-2) =1 外切,圆 C 的圆心轨迹方程为 L,设 L 上的 点与点 M(x,y)的距离的最小值为 m,点 F(0,1)与点 M(x,y)的距离为 n. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程. (2)求满足条件 m=n 的点 M 的轨迹 Q 的方程. (3)在(2)的条件下,试探究轨迹 Q 上是否存在点 B(x1,y1),使得过点 B 的切线与两坐标轴 围成的三角形的面积等于错误!未找到引用源。.若存在,请求出点 B 的坐标;若不存在, 请说明理由. 27. 已知直线 y=-2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程. (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方程. 28.如图,直线 l : y ? x ? b(b ? 0) ,抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) ,已知点 P (2, 2) 在抛
2

物线 C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为

3 2 . 4

试卷第 1 页,总 2 页

(1)求直线 l 及抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(2,1) 的任一直线(不经过点 P )与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,直线 AB 与 直线 l 相交于点 M ,记直线 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 .问:是否存 在实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. 29.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为双曲线 两条曲线都经过点 M (2, 4) . (1)求这两条曲线的标准方程; (2)已知点 P 在抛物线上,且它与双曲线的左,右焦点构成的三角形的面积为 4,求 点 P 的坐标.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,且 a 2 b2

试卷第 2 页,总 2 页

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参考答案 23. (1) (2)见解析 (3)存在

【解析】 试题分析: (1)判断抛物线的焦点位置,得到焦点坐标,利用中点坐标公式得到 FA 的中点坐标带入抛 物线即可求的 P 的值. (2)直线与抛物线相切,联立直线与抛物线,判别式为 0 即可得到 k,m 之间的关系,可以 用 k 来替代 m,得到 P 点的坐标,抛物线准线与直线的方程可得到 Q 点的坐标,利用中点坐 标公式可得到 PQ 中点坐标,计算中点到 x 轴距离与圆半径(PQ 为直径)的大小比较即可判断 圆与 x 轴的位置关系(点线距离小于或者等于半径,即相交或者相切). (3) 由(2)可以得到 PQ 的坐标(用 k 表示), 根据抛物线对称性知点 在 轴上, 设点 坐 标为 ,则 M 点需满足 ,即向量内积为 0,即可得到 M 点的坐标,M 点的

坐标如果为常数(不含 k),即存在这样的定点,如若不然,则不存在. 试题解析: ( 1 )利用抛物线的定义得 ,故线段 的中点的坐标为 ,代入方程得

,解得



2分 ,从而抛物线的准线方程为 3分

(2)由(1)得抛物线的方程为



得方程



由直线与抛物线相切,得

4分



,从而

,即



5分



,解得



6分



的中点

的坐标为

圆心

到 轴距离



答案第 1 页,总 9 页

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∵ 所圆与 轴总有公共点. (或 由 , 8分 ,以线段 为直径的方程为:





,所圆与 轴总有公共点). (3)假设平面内存在定点 设点 坐标为 , 满足条件,由抛物线对称性知点 10 分 在 轴上,

9分

由(2)知









得,

所以

,即



13 分

所以平面上存在定点

,使得圆

恒过点

.

14 分

证法二:由(2)知





的中点

的坐标为

所以圆

的方程为
答案第 2 页,总 9 页

11

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分 整理得 上式对任意 均成立, 12 分

当且仅当

,解得

13 分

所以平面上存在定点

,使得圆

恒过点

.

14 分

考点:抛物线 直线与抛物线的位置关系 圆与直线的位置关系 向量内积 2 24.(1) y =2x (2) BD=2,即弦长 BD 为定值 (3)8 【解析】 解:(1)由题意知,所求动点 P(x,y)的轨迹为以 F ? l:x=-

?1 ? , 0 ? 错误!未找到引用源。为焦点,直线 ?2 ?

1 2 错误!未找到引用源。为准线的抛物线,其方程为 y =2x. 2

(2)是定值.解法如下:设圆心 M ?
2

? a2 ? , a ? 错误!未找到引用源。, ? 2 ?

? a2 ? 2 半径 r= ?1 ? ? ? a 错误!未找到引用源。, 2 ? ?
? a2 ? a2 ? 2 2 ? 1 ? x ? 圆的方程为 ? ? 错误!未找到引用源。+(y-a) =a + ? ? 错误!未找到引用源。, 2 ? 2 ? ? ?
令 x=0,得 B(0,1+a),D(0,-1+a), ∴BD=2,即弦长 BD 为定值. (3)设过 F 的直线 GH 的方程为 y=k ? x ?
2 2

? ?

1? ? 错误!未找到引用源。,G(x1,y1),H(x2,y2), 2?

? 1? ? k2 ?y ? k ? x ? ?, 2 2 2 2 由? 错误!未找到引用源。得 k x -(k +2)x+ 错误!未找到引用源。=0, ? ? 4 ? y 2 ? 2 x, ?
∴x1+x2=1+

2 1 错误!未找到引用源。,x1x2= 错误!未找到引用源。, 2 4 k

∴|GH|= 1 ? k 2 错误! 未找到引用源。 ·

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 错误!未找到引用源。=2+

2 k2

答案第 3 页,总 9 页

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错误!未找到引用源。, 2 同理得|RS|=2+2k . S 四边形 GRHS=

1? 2 ? 1 ? ? 2 未找到引用源。 (2+2k )= ? 2 ? k 2 ? 2 ? 2 错误! 未找到引用源。 ? 2 ? 2 ? 错误! 2? k ? k ? ?

≥8(当且仅当 k=±1 时取等号). ∴四边形 GRHS 面积的最小值为 8. 25.(1) x =4y 【解析】 解:(1)∵抛物线 C 的焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 源。, ∴
2

(2) y=

1 9 错误!未找到引用源。x0x-y0 (3) 2 2

3 2 错误!未找到引用 2

?c ? 2 2

错误!未找到引用源。=
2

3 2 错误!未找到引用源。,得 c=1, 2

∴F(0,1),即抛物线 C 的方程为 x =4y. (2)设切点 A(x1,y1),B(x2,y2),

1 错误!未找到引用源。x, 2 1 ∴切线 PA:y-y1= x1(x-x1), 2 1 1 2 2 有 y= 错误!未找到引用源。x1x- x1 错误!未找到引用源。+y1,而 x1 错误!未找到引用 2 2
由 x =4y 得 y′=
2

源。=4y1,

1 x1x-y1, 2 1 同理可得切线 PB:y= 错误!未找到引用源。x2x-y2. 2
即切线 PA:y= ∵两切线均过定点 P(x0,y0),

1 1 错误!未找到引用源。x1x0-y1,y0= x2x0-y2, 2 2 1 由此两式知点 A,B 均在直线 y0= 错误!未找到引用源。xx0-y 上, 2 1 ∴直线 AB 的方程为 y0= 错误!未找到引用源。xx0-y, 2 1 即 y= 错误!未找到引用源。x0x-y0. 2
∴y0= (3)设点 P 的坐标为(x′,y′), 由 x′-y′-2=0, 得 x′=y′+2,
2 2 则|AF|·|BF|= x1 ? ? y1 ? 1? 错误!未找到引用源。· x2 ? ? y2 ? 1? 错误!未找到引用 2 2

答案第 4 页,总 9 页

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源。 = 4 y1 ? ? y2 ? 1? 错误!未找到引用源。· 4 y2 ? ? y2 ? 1? 错误!未找到引用源。
2 2

=

? y1 ? 1?

2

错误!未找到引用源。·

? y2 ? 1?

2

错误!未找到引用源。

=(y1+1)·(y2+1) =y1y2+(y1+y2)+1.

? x 2 ? 4 y, ? 由? 错误!未找到引用源。 1 ? ? y ? x x ? y ? ? 2
得 y +(2y′-x′ )y+y′ =0, 2 2 有 y1+y2=x′ -2y′,y1y2=y′ , 2 2 ∴|AF|·|BF|=y′ +x′ -2y′+1 2 2 =y′ +(y′+2) -2y′+1 =2 ? y? ?
2 2 2

? ?

1?2 9 ? + 错误!未找到引用源。, 2? 2
1 3 错误!未找到引用源。,x′= 错误!未找到引用源。时, 2 2

当 y′=-

即 P?

9 ?3 1? , ? ? 时,|AF|·|BF|取得最小值 错误!未找到引用源。. 2 ?2 2?
2

26.(1) y=-1 (2) x =4y (3) 存在 点 B 的坐标为(2,1)或(-2,1),理由见解析 【解析】(1)两圆的半径都为 1,两圆的圆心分别为 C1(0,-4),C2(0,2), 由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线,C1C2 的中点为(0,-1),直 线 C1C2 的斜率不存在,故圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线,其方程为 y=-1,即圆 C 的圆 心轨迹 L 的方程为 y=-1. (2)因为 m=n,所以 M(x,y)到直线 y=-1 的距离与到点 F(0,1)的距离相等,故点 M 的轨迹 Q 是 以 y=-1 为准线,以点 F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,错误! 未找到引用源。 =1,即 p=2, 2 所以,轨迹 Q 的方程是 x =4y. 2 (3)假设存在点 B 满足条件.由(2)得 y=错误!未找到引用源。x ,y'=错误!未找到引用源。 x,所以过点 B 的切线的斜率为 k=错误!未找到引用源。x1, 切线方程为 y-y1=错误!未找到引用源。x1(x-x1). 令 x=0 得 y=-错误!未找到引用源。+y1, 令 y=0 得 x=-错误!未找到引用源。+x1. 2 因为点 B 在 x =4y 上,所以 y1=错误!未找到引用源。, 故 y=-错误!未找到引用源。,x=错误!未找到引用源。x1, 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S=错误!未找到引用源。|x||y|=错误!未找到引用源。|错误!未找到引用源。x1||-错误! 未找到引用源。|=错误!未找到引用源。|错误!未找到引用源。|, 所以错误!未找到引用源。|错误!未找到引用源。|=错误!未找到引用源。,解得|x1|=2, 所以 x1=±2. 当 x1=2 时,y1=1,当 x1=-2 时,y1=1,所以点 B 的坐标为(2,1)或(-2,1).
答案第 5 页,总 9 页

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27.(1) x =2y(x≠0) (2) 错误!未找到引用源。x-y-1=0 或错误!未找到引用源。x+y+1= 【解析】(1)设点 P 的坐标为(x,y),则点 Q 的坐标为(x,-2). ∵OP⊥OQ,∴当 x=0 时,P,O,Q 三点共线,不符合题意,故 x≠0.当 x≠0 时,得 kOP· kOQ=-1,即错 2 误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。=-1,化简得 x =2y, 2 ∴曲线 C 的方程为 x =2y(x≠0). (2)∵直线 l2 与曲线 C 相切,∴直线 l2 的斜率存在. 设直线 l2 的方程为 y=kx+b, 2 由错误!未找到引用源。得 x -2kx-2b=0. ∵直线 l2 与曲线 C 相切, 2 ∴Δ =4k +8b=0,即 b=-错误!未找到引用源。. 点(0,2)到直线 l2 的距离 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) ≥错误!未找到引用源。×2 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。. 当且仅当错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 k=±错误!未找到引用源。时, 等号成立.此时 b=-1. ∴直线 l2 的方程为错误!未找到引用源。x-y-1=0 或错误!未找到引用源。x+y+1=0.
2 28. (1)直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y ? 2 x . (2)存在且 ? ? 2

2

【解析】 试题分析: (1)把点 P 的坐标带入抛物线方程即可求出抛物线方程,而直线 l 方程的求解有两种方法, 法 1,可以考虑求出既与抛物线相切,又与直线 l 平行的直线,该直线与直线 l 的距离即为抛 物线上的点到直线 l 的最短距离,进而可以求的相应的 b 值。 法二,可以设抛物线上任意一点 为(

t2 t2 , t ) ,列出点 ( , t ) 到直线 l 的距离公式,再利用二次函数的最值即可得到相应的 b 2p 2p

值。 (2)直线 AB 经过点 Q 且不经过 P,所以直线 AB 斜率存在且利用点斜式设出直线方程,联立 直线与抛物线方程,得到关于 A,B 横坐标或者纵坐标的韦达定理,进而利用 AB 直线的斜率表 示 PA,PB 直线的斜率,再联立直线 AB 与直线 l,用 AB 直线斜率表示 PM 直线的斜率,得到

k1 , k2 , k3 关于 AB 直线斜率的表达式,带入 k1 ? k2 ? ? k3 即可求的 ? 的值.
试题解析: (1) (法一) 点 P (2, 2) 在抛物线 C 上, ? p ? 1 . 2分

设与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线 l ? 方程为 y ? x ? m ,

由?

? y ? x ? m, ? y ? 2 x,
2

得 x ? (2m ? 2) x ? m ? 0 ,
2 2

? ? (2m ? 2)2 ? 4m2 ? 4 ? 8m ,

答案第 6 页,总 9 页

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? 由 ? ? 0 ,得 m ?

1 1 ,则直线 l ? 方程为 y ? x ? . 2 2 两直线 l 、 l ? 间的距离即为抛物线 C 上的点到直线 l 的最短距离,

b?
?有

1 2 3 2 ? ,解得 b ? 2 或 b ? ?1 (舍去) . 4 2
6分

? 直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2x .
(法二) 点 P (2, 2) 在 抛 物 线 C 上 , 2分

? p ?1 , 抛 物 线 C 的 方 程 为

y2 ? 2x .

设M(

t2 , t( ) t ? R) 为抛物线 C 上的任意一点,点 M 到直线 l 的距离为 d ? 2

t2 ?t ?b 2 2

,根

t2 1 据图象,有 ? t ? b ? 0 ,? d ? [(t ? 1)2 ? 2b ? 1] , 2 2 2
t ? R ,? d 的最小值为

2b ? 1 3 2 2b ? 1 ,由 ,解得 b ? 2 . ? 4 2 2 2 2
2

因此,直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y ? 2 x .

6分

(2) 直线 AB 的斜率存在,? 设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2k ? 1 , 由?

? y ? kx ? 2k ? 1, ? y ? 2 x,
2

得 ky 2 ? 2 y ? 4k ? 2 ? 0 ,

设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

2 2 ? 4k , y1 y2 ? , k k
9分

k1 ?

y1 ? 2 y ?2 2 2 ? 12 ? , k2 ? , x1 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?2 2

2 2 ? +8 2( y1 ? y2 ) ? 8 2 2 4k ? 2 k ? k1 ? k2 ? ? ? ? ? 2 ? 4 k 2 y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 3 ? 2? ? 4 k k
10 分 由?

.

? y ? kx ? 2k ? 1, 2k ? 1 4k ? 1 得 xM ? , yM ? , k ?1 k ?1 ? y ? x ? 2,
答案第 7 页,总 9 页

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4k ? 1 ?2 2k ? 1 , ? k3 ? k ? 1 ? 2k ? 1 3 ?2 k ?1

13 分

? k1 ? k2 ? 2k3 .
因此,存在实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 成立,且 ? ? 2 . 14 分

考点:抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系,切线方程,点到直线距 离,最值问题 x2 y2 ?1 ? ?1 ? ? ?1; 29. (1) y 2 ? 8 x , (2) ? , 2 ? 或 ? , ?2 ? . 12 ? 8 2 8 2 ? 8 ?2 ? ?2 ? 【解析】 试题分析: (1)可以先利用待定系数法可以先求抛物线方程 y 2 ? 8 x ,然后利用定义法或待 定系数法求出双曲线方程
x2 12 ? 8 2 ? y2 8 2 ?8 ?1;

(2)先利用三角形的面积是 4,求出点 p 的纵坐标是 yP ? ?2 ,再利用点 P 在抛物线上,求 出横坐标 xP ?

1 即可. 2

试题解析: (1)∵抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 经过点 M (2, 4) , ∴ 42 ? 2 p ? 2 ,解得 p ? 4 , ∴抛物线的标准方程为 y 2 ? 8 x . ∴抛物线的焦点为 (2,0) ,∴双曲线的焦点为 F1 (?2,0), F2 (2,0) . 法一:∴ MF1 ? (2 ? 2)2 ? 42 ? 4 2 ∴ 2a ? MF1 ? MF2 ? 4 2 ? 4 , , MF2 ? (2 ? 2)2 ? 42 ? 4 , 5分 3分

a ? 2 2 ? 2, a2 ? 12 ? 8 2 .

∴ b2 ? c2 ? a2 ? 4 ? (12 ? 8 2) ? 8 2 ? 8 . ∴双曲线的标准方程为
x2 12 ? 8 2 ? y2 8 2 ?8 ?1.

8分

法二: a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 ,∵双曲线经过点 M (2, 4) ,∴ 解得
a 2 ? 12 ? 8 2 , b2 ? 8 2 ? 8 .
x2 12 ? 8 2 ? y2 8 2 ?8 ?1.

4 16 ? ?1 , a 2 b2

5分

∴双曲线的标准方程为

8分

(2)设点 P 的坐标为 ( x p , y p ) ,由题意得,
答案第 8 页,总 9 页

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1 SD PF1F2 ? F 1 F2 ? yP ? 2 ? yP ? 4 ,∴ yP ? ?2 , 2 1 ?1 ? ?1 ? ∵点 P 在抛物线上,∴ xP ? ,∴点 P 的坐标为 ? , 2 ? 或 ? , ?2 ? . 2 ?2 ? ?2 ?
考点:(1)双曲线的标准方程;(2)抛物线的标准方程.

11 分 14 分

答案第 9 页,总 9 页



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