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第9讲:三角函数训练22



三角函数巩固训练(二)
复习要点:1、任意角的三角比及诱导公式 2、同角三角比的关系及两角和与差、倍、半等三角公式的应用 3、正弦、余弦、正切与余切及

y ? Asin(?x ? ? ) 等三角函数的图象与性质

4、正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用 5、掌握异角化同角、复角化单角、升与降的处理意识,树立目的思维观点

/>
一、填空题 1、若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? 解:由 sin 2 A ?

2 ? ? 0, 知 cos A ? 0,? A ? (0, ) 3 2

2 , 则 sin A ? cos A ? 3



5 15 ? (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? sin 2 A ? , 从而 sin A ? cos A ? . 3 3

2? ) 的最小值为 。 3 3 1 1 1 1 2 解: y ? ??cos x ? 1? ? 2,? ? cos x ? ,? cos x ? ? ? y min ? ? 。 2 2 2 4
2、 y ? sin x ? 2 cos x(
2

?

?x?

3、设点 P 是函数 f ( x) ? sin wx 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距 离的最小值是

? , 则 f ( x) 的最小正周期为 4



解:函数 f ( x) ? sin wx 的图象的一个对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于

? ,故周期等于 ? . 4 1 2 4、 y ? sin 2 x ? sin x, x ? R 的值域是 。 2 1 1 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 ? ? 解: y ? sin 2 x ? sin x ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2


1 周期,等 4

?

?1 ? 2 1 ? 2 ? 1 2 ? ? sin(2 x ? ) ? ? , ?. 2 2 4 2 ? ? 2

5、已知 ? , ? ? ?

? 3 ? 12 ? 3? ? , ? ?, sin(? ? ? ) ? ? , sin(? ? ) ? , 则 cos( ? ? ) ? 4 5 4 13 ? 4 ?
3 2



解:? (? ? ? ) ? ( ? ,2? ), ( ? ?

?

? 3 )?( , ?) 4 2 4

1

4 ? 5 , cos(? ? ) ? ? . 5 4 13 ? ? ? ? ? cos(? ? ) ? cos?(? ? ? ) ? ( ? ? )? 4 4 ? ? ? cos(? ? ? ) ? ? cos(? ? ? ) cos(? ?

?

4 4 5 3 12 56 ? ? (? ) ? (? ) ? ? ? . 5 13 5 13 65

) ? sin(? ? ? ) sin(? ?

?
4

)

6、已知函数 f ( x) ? 2 sin wx( w ? 0) 在区间 ?? 于 。

? ? ?? , ? 上的最小值是 ? 2 ,则 w 的最小值等 ? 3 4?

解:因 y ? 2 sin wx( w ? 0) 在 ??

? ? ?? , ? 上取得最小值 ? 2 ,则依数形结合知 ? 3 4?

4 2? 3 Tmax ? ? , wmin ? ? . 3 Tmax 2
7、已知 ? , ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ), 则 tan ? ? 解: cos(? ? ? ) ? cos? 。

?? ? ? (? ? ? )?. 又因为 ? , ? 均为锐角, ?2 ?

?? ? ? ? ?? ?

?
2

? (? ? ? ),

?
4

, tg? ? 1.
sin 3? 13 ? , 则 tan 2? ? sin ? 5


8、设 ? 为第四象限的角,若 解:.

sin 3? sin(2? ? ? ) sin 2? cos? ? cos 2? sin ? tg 2? ? tg? ? ? ? sin ? sin(2? ? ? ) sin 2? cos? ? cos 2? sin ? tg 2? ? tg?

2 ? tg 2? 13 1 ? ? ,? tg 2? ? . 2 5 9 1 ? tg ?
又 ? 为第四象限角.

1 3 ? tg? ? ? , tg 2? ? ? . 3 4
9、函数 f ( x) ? sin x ? 2 sin x , x ? ?0,2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是 。
2 y

2

1

o

?

2?

x

解:如图, f ( x) ? ?

? 3 sin x, (0 ? x ? ? ) ?1 ? k ? 3. ?? sin x(? ? x ? 2? )
? ?? , 则当 ?OAB 的面积达 ? 2? ?
y B E A

10、在 ?ABO 中,O 为坐标原点, A(1, cos? ), B(sin? ,1),? ? ? 0, 到最大值时, ? ? 。

解: 因为 S ?AOB ? S ABCD ? S BCOE ? S ?OAD ? S ?OBE

(1 ? cos ? )(1 ? sin ? ) cos ? sin ? 1 1 ? sin ? ? ? ? ? sin 2? , 2 2 2 2 4 ? 1 所以当 ? ? , S ?AOB 达到最大值 . 2 2 ?
11 、 已 知 ?A B C的 三 个 内 角 A, B, C 成 等 差 数 列 , 且

O

C

D

x

AB ? 1, BC ? 4, 则边 BC 上的中线 AD 的长为
?



解:由角 A,B,C 成等差数列,则 B ? 60 .在 ?ABD 中, ?ABD ? 60? , AB ? 1, BD ? 2, 由余弦 定理得 AD2 ? 3, 故 AD ? 3 . 12、 (2007 年高考题) 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm , 秒针均匀地绕点 O 旋 转,当时间 t ? 0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A,B 两点间的距离 d (cm) 表示 成 t (s) 的函数,则 d ? _____,其中 t ??0, 60?
B C 5 O d A

2? t ? t ? 解:如图:在 ?BOA 中, ?BOA ? ; 60 30 ?t 要直角 ? BOC 中,求出: d ? 2 CB ? 10sin 60
且 t ??0, 60? 二、选择题 13、若 f (sin x) ? 3 ? cos 2 x, 则 f (cos x) ? ( )

(A) 3 ? cos 2 x (B) 3 ? sin 2 x (C) 3 ? cos 2 x (D) 3 ? sin 2 x 解: f (sin x) ? 3 ? cos2 x ? 3 ? (1 ? 2 sin x) ? 2 ? 2 sin x,
2 2

则 f (cosx) ? 2 ? 2 cos x ? 2 ? (1 ? cos2x) ? 3 ? cos2 x. 选取(C)
2

14、已知 f ( x) ? a sin x ? b cos x(a, b 为常数, a ? 0, x ? R) ,在 x ?

?
4

处取得最小值,则

3

函数 y ? f (

3? ? x) 是( ) 4

(A) 偶函数且它关于点 ?? ,0 ? 对称, (B)偶函数且它关于点 ?

? 3? ? ,0 ? 对称, ? 2 ?

(B) 奇函数且它关于点 ? 解: f ( x) ?

? 3? ? (D)奇函数且它关于点 ?? ,0 ? 对称。 ,0 ? 对称, ? 2 ?

a 2 ? b 2 ? sin(x ? ? ),

? 2 f ( ) ? ? a2 ? b2 ? (a ? b). 4 2
由?

?a ? b ? 0, ? f ( x) ? a sin(x ? ), 得 4 ? b ? 0,

3? 3? ? ? x) ? a sin( ? x ? ) ? a sin(? ? x) ? a sin x, 4 4 4 3? ? f( ? x ) 为奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称.选取(D) 4 f(
15 、 ?ABC 的 三 内 角 A, B, C 所 对 边 的 长 分 别 为 a, b, c 。 设 向 量

? ? ? P ? ?a ? c, b?, q ? ?b ? a, c ? a?, 若 p // q ,则角 C 的大小为(
(A)



? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

解:由 p // q 有 (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a), 得 c ? a ? b ? ab,
2 2 2

依余弦定理 cos C ?

1 ? , C ? . 选取(B) 2 3

2 16 、设 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边,则 a ? b(b ? c) 是 A ? 2 B 的

( ) (A) 充要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分而不必要条件(D)既不充分也不必要 条件 解:因 A ? 2 B, 则 sin A ? sin 2B, 即

sin A ? 2 sin B cos B, 由正弦定理有

4

a2 ? c2 ? b2 , 2ac ? a 2 c ? a 2 b ? ac2 ? b 3 , a ? 2b cos B ? 2b ? ? a 2 (c ? b) ? b(b ? c)(c ? b),
? b ? c 或 a 2 ? b(b ? c).
而当 b=c 时,则 A=2B=2C,有 2 B ? B ? B ? ? , 故 ?ABC 是等腰直角三角形 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 , 即 a 2 ? b(b ? c), 反过来,上述过程是可逆的. 选取(A) 。 三、解答题 17 、 ( 2007 年上海高考题)在 △ ABC 中, a, b, c 分别是三个内角 A, B, C 的对边.若

a ? 2, C ?

π B 2 5 , cos ? ,求 △ ABC 的面积 S . 4 2 5

4 3 解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
c a 10 1 1 10 4 8 ? ?c? , ? S ? ac? sin B ? ? 2 ? ? ? . 2 2 7 5 7 sin C sin A 7 3 18、 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列,且 cos B ? , 4 (1) 求 cot A ? cot C 的值; 3 解:由 cos B ? 得 4
由正弦定理得

3 7 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4
由 b ? ac 及正弦定理得 sin B ? sin A sin C.
2 2

于是 cot A ? cot C ?

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C

?

sin( A ? C ) sin B 1 4 7 ? ? ? 2 2 sin B sin B sin B 7

3 , 求 a ? c 值。 2 3 3 3 2 解:由 BA ? BC ? 得 ca ? cos B ? , 由 cos B ? , 可得 ca=2,即 b ? 2. 2 2 4
(2) 设 BA ?BC ?

5

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac ? cos B
2 2 2

得 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac ? cos B ? 5,

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,? a ? c ? 3
19 、已知 0 ? ? ? 的值。 解: 3 sin ? ? sin(2? ? ? ) ? 3 sin?(? ? ? ) ? ? ? ? sin?(? ? ? ) ? ? ?,

?
4

,0 ? ? ?

?
4

, 且 3 sin ? ? sin( 2? ? ? ), 4 tan

?
2

? 1 ? tan 2

?
2

, 求? ? ?

? 2 sin(? ? ? ) cos? ? 4 cos(? ? ? ) ? sin ? .
又? 0 ? ? ?

?
4

,0 ? ? ?

?
4

,? 0 ? ? ? ? ?

?
2

,

? cos(? ? ? ) cos? ? 0, 得 tg (? ? ? ) ? 2tg? .

又? 4tg

?
2

? 1 ? tg

2 ?

2

,?

2tg

?
2

1 ? tg 2

?
2
.

?

1 1 ,? tg? ? ,? tg (? ? ? ) ? 1, 2 2

又? 0 ? ? ? ? ?

?
2

,? ? ? ? ?

?
4

20、已知在 ?ABC 中,sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0, sin B ? cos2C ? 0. 求角 A, B, C 的 大小。 解: sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0, 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 0 所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0, 即 sin B(sin A ? cos A) ? 0 因为 B ? (0, ? ), 所以 sin B ? 0, 从而 cos A ? sin A ? tgA ? 1, A ? (0, ? ) ? A ? 从而 B ? C ?

?
4

,

3? 3? ? B) ? 0 , ,由 sin B ? cos2C ? 0, 得 sin B ? cos 2( 4 4 1 ? 5? 即 sin B ? sin 2B ? 0, ? sin B ? 2 sin B cos B ? 0, 由此得 cos B ? , B ? , C ? 2 3 12 ? ? 5? 所以 A ? , B ? , C ? 。 4 3 12
21 、 (2007 年高考题)设两个向量 a ? (? ? 2,? ? cos
2 2

? ) 和 b ? ? m, ? sin ? ? ,其中

? ?

m 2

? ?

? ? ? ?,m,? 为实数.若 a ? 2b ,求 的取值范围。
m

6



? ?? ? ? a ? 2b

? ? ? 2 ? 2m ? ?? 2 令 ? k , 则? ? mk , 于是有 2 ?? ? cos ? ? m ? 2sin ? m (1) ? km ? 2 ? 2m ? 2 2 2 (2) ?k m ? m ? 2sin ? ? cos ? 2 由(1)得m ? (3), 将(3)代入(2)并整理得 : 2?k 4k 2 2 ? ? ?(sin ? ? 1) 2 ? 2. 2 (2 ? k ) 2 ? k ? ?2 ? sin ? ? 1 ? 0, ??2 ? ?(sin ? ? 1) 2 ? 2 ? 2. ? 4k 2 2 ? (2 ? k ) 2 ? 2 ? k ? 2 ? ?? 2 2 ? 4k ? ? ?2 2 ? ? (2 ? k ) 2 ? k 解不等式组得 : ?6 ? k ? 1
22、 如图, 已知 ?ABC 是边长为 1 的正三角形,M , N 分别边上的点, 线段 MN 经过 ?ABC 的中心 G, 设 ?MGA ? ? (

?
3

?? ?

2? ). 3

(1) 试将 ?AGM , ?AGN 的面积(分别记为 S1 与 S 2 )表示为 ? 的函数; 解:因为 G 为边长为 1 的正 ?ABC 的中心,所以

AG ?

2 3 3 ? ? ? , ?MAG ? . 3 2 3 6

A

由正弦定理
N

GM sin

?
6

?

GA sin(? ? ? ?

?
6

, 得 GM ? )

3 6 sin(? ? ? ?

?
6

, )
B

G M D C

则 S1 ?

1 GM ? GA ? sin ? ? 2

sin ? 12 sin(? ?

?
6

(或 ?

1 6( 3 ? cot? )

).

)



GN sin

?
6

?

GA sin(? ?

?
6

, 得 GN ? )

3 6 sin(? ?

?
6

, )

7

则 S2 ?

1 GN ? GA ? sin(? ? ? ) ? 2

sin ? 12 sin(? ?

?
6

(或=

1 6( 3 ? cot? )

).

)

(2) 求 y ?

1 S1
2

?

1 S2
2

的最大值与最小值。

解: y ?

1 1 144 ? 2 ? 2 S1 S 2 sin 2 ?
?? ?

? ? ? ? 2 2 sin ( ? ? ) ? sin ( ? ? )? ? 72(3 ? cot2 ? ). ? 6 6 ? ?

因为

?
3

当? ?

?
2

2? ? 2? , 所以当 ? ? 或 ? ? 时,y 的最大值 ymax ? 240 ; 3 3 3

时,y 的最小值 y min ? 216.

自我练习题: 1. 已知 cos(? ? ? ) ?

A.

33 65

3 5 ? ? ,sin ? ? ? , 且? ? (0, ), ? ? (? , 0), 则 sin ? ? ( A ). 5 13 2 2 63 33 63 B. C. ? D. ? 65 65 65

2. 已 知 函 数 ( A ) 。

? ? ?? y?2 s? i x在 n ?? 上单调递增 , 则实数, ?的取值范围 是 ? 3 4? ?

? 3? A. ? 0, ? ? 2?

B. ? 0, 2?

C. ? 0,1?
?

? 3? D. ? 0, ? ? 4?
3? , 2) 平移后与函数 g ( x) 的图象重合,则 2

3. 函数 y ? sin x 的图象按向量 a ? (?

g ( x) 的函数表达式是(

D

) 。

A.cos x ? 2 C.cos x ? 2

B. ? cos x ? 2 D. ? cos x ? 2
) 。

4.函数 f ( x) ? x sin x ? a ? b(a, b ? R) 是奇函数的充要条件是( D

A.ab ? 0
5。若 0 ? ? ? ? ?

B.a ? b ? 0

C.a ? b

D.a2 ? b2 ? 0.
).

?
4

,sin ? ? cos ? ? a,sin ? ? cos ? ? b, 则有( A

A. a? b

B . a ?

b

.C a ?b 1

. D? ab 2.

8



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