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江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19:坐标系与参数方程



【推荐】 江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 19: 坐标系与参数方程

一、解答题 错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)选修 4-4:坐标系与参数方程
?
2

已知在极坐标系下,圆 C:p= 2cos( ? ? M 到直线 l 距离的最大值.

/>
)与直线 l: ? sin( ? ?

?
4

)= 2 ,点 M 为圆 C 上的动点.求点

【答案】

错误!未指定书签。 . (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)(选修 4—4:坐标系 与参

数方程) 在平面直角 坐标系 xOy 中,椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的右顶点为 A ,上顶点为 B , 点 P 是第一象限内在椭圆

16

4

上的一个动点,求 ?PAB 面积 S 的最大值.
【答案】

错误!未指定书签。 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)(选修 4—4:坐标系

与参数方程) 已知直线的参数方程 ?
? x ? 2?t ? ? y ? 1? ? 3t

(为参数),圆 C 的极坐标方程: ? ? 2 sin ? ? 0 .

(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)在圆 C 上求一点 P ,使得点 P 到直线的距离最小.
【答案】

错误!未指定书签。 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的极坐标方程为
? cos ? ? 3? sin ? ? 3 ,直线 l 的参数方程为 ?
2 2 2 2

? x ? ? 3t , ? ?y ?1? t ?

(t 为参数,t∈R).试在曲线 C 上求一点 M,使

它到直线 l 的距离最大.
【答案】解:曲线 C 的普通方程是
x
2

? y ?1
2

3

直线 l 的普通方程是 x ? 设点 M 的直角坐标是 (
3 cos ? ?

3y ?

3?0

3 cos ? , sin ? ) ,则点

M 到直线 l 的距离是
π 4 ) ?1

d ?

3 sin ? ? 2

3

3 ?

2 sin(? ? 2

因为 ? 当 sin(? 此时

2? π 4

2 sin(? ?

?
4

)? π 4

2

,所以
π 2
2 2

?

) ? ?1 ,即 ? ?
6 2

? 2kπ ?

( k ? Z),即 ? ? 2kπ ?

3π 4

( k ? Z)时,d

取得最大值.

3 cos ? ? ?

, sin ? ? ?

.

综上,点 M 的极坐标为 (

2,

7π 6

) 时,该点到直线

l 的距离最大

注 凡给出点 M 的直角坐标为 (?

6 2

,?

2 2

) ,不扣分.

错误!未指定书签。 . (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)[选修 4—4 :
? 2 ? r cos ? , ?x ? ? ? 2 (? ? 2 ? y ? ? ? r sin ? ? 2 ?
si n (? ?

坐标系与参数方程]在平面直角坐标系

xOy

中,圆 C 的参数方程为

为参

数, r

? 0 ) ,以 O

为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ?

?
4

) ? 1,



圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值.

【答案】因为圆 C 的参数方程为

? 2 ? r cos ? , ?x ? ? ? 2 ? 2 ? y ? ? ? r sin ? ? 2 ?

( ? 为 参 数 , r ? 0 ), 消 去 参 数 得 ,

? ? 2 ? 2 ? 2 ?x? ? ??y? ? ? r ? r ? 0 ? ,所以圆心 C ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?

2

2

? 2 2 ? ,? ?? ? ? 2 2 ? ? ?

,半径为 r ,

因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin (? ?

? 4

) ? 1 ,化为普通方程为 x ? y ?

2

,

?

2 2

? 2

2 2

?

2 ? 2

圆心 C 到直线 x ? y ?

2

的距离为 d ?

,

又因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ? 2 ? 1
错误!未指定书签。 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)选修 4—4:坐标系与参数方

程 π π 已知圆 C 的极坐标方程为 ρ =4cos(θ - ),点 M 的极坐标为(6, ),直线 l 过点 M,且与圆 C 相切,求 l 6 6 的极坐标方程.
【答案】选修 4—4:坐标系与参数方程

解 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系, 则圆 C 的直角坐标方程为(x- 3) +(y-1) =4, 点 M 的直角坐标为(3 3,3) 当直线 l 的斜率不存在时,不合题意. 设直线 l 的方程为 y-3=k(x-3 3), 由圆心 C( 3,1)到直线 l 的距离等于半径 2.
2 2



|2 3k-2| =2 k2+1

解得 k=0 或 k= 3. 所以所求的直线 l 的直角坐标 方程为 y=3 或 3x-y-6=0 π 所以所求直线 l 的极坐标方程为 ρ sinθ =3 或 ρ sin( -θ )=3 3
错误!未指定书签。 . (连云港市 2012-2013 学年度第一 学期高三期末考试数学试卷)

【答案】C.

解:曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x +y -4x=0, 2 2 即(x-2) +y =4 直线 l 的普通方程方程为 y=x-m, 则圆心 到直线 l 的距离 d= 4-( 14 2 2 )= , 2 2

2

2

|2-0-m| 2 所以 = ,即|m-2|=1,解得 m=1,或 m=3 2 2
错误!未指定书签。 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)(选修 4—4:坐

标系与参数方程) 已知曲线 C 的参数方程 ?
?x ? ? 2 cos ? ,

? y ? 2 s in ? ?

( ? 为参数),直线 l 的极坐标方程: ? s in (? ?

?
4

) ? 1 .直线 l 与

曲线 C 交于 M , N 两点,求 MN 的长.

【答案】

错误!未指定书签。 . (江苏省盐 城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)(选修 4-4:坐标系与参数

方程) 已知圆 C 的参数方程为 ?
? x ? cos ? ? y ? sin ? ? 2

( ? 为参数),以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ,求直线 l 截圆 C 所得的弦长.

【答案】圆 C 的方程为 x ? ( y ? 2 ) ? 1 ;直线 l 的方程为 x ? y ? 1 .
2 2

故所求弦长为 d ?

0 ? 2 ?1 2

?

2

[来源:学科网]

错误!未指定书签。(南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试 题)(选修 4—4:坐标系与参 .

数方程) 在极坐标系中, A 为曲线 ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? 0 上的动点, B 为直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 7 ? 0 上的
2

动点, 求 AB 的最小值.

【答案】解:圆的方程可化为

? x ? 1?

2

?y ?4
2

,所以圆心为

? ?1, 0 ? ,半径为 2

又直线方程可化为 x ?

y?7?0

d ?

?1 ? 7 2

?4 2

所以圆心到直线的距离
2

,故 ( AB)min

? 4 2 ?2

错误!未指定书签。(扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)C. 选修 4 - 4:坐标系与 .

参数方程 已知椭圆 C :

x

?

y

2

? 1 与 x 正半轴、 y 正半轴的交点分别为 A, B ,动点 P 是椭圆上任一

16

9

点,求 ?PAB 面积的最大值.

【答案】 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 解:依题意 A(4, 0) , B (0, 3) , AB ? 5 ,直线 AB : C.

x 4

?

y 3

? 1,

即 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 设点 P 的坐标为 (4 cos ? , 3sin ? ) ,则点 P 到直线 AB 的距离是
| 3 ? 4 cos ? ? 4 ? 3sin ? ? 12 | 5 12 5
12( 2 ? 1) 5

d ?

?

|

2 sin(? ?

?
4

) ? 1| ,

当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d max ?

,

所以 ?PAB 面积的最大值是 S ?

1 2

AB ? d max ? 6( 2 ? 1)

错误!未指定书签。(常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)选修 4—4:坐标系与参数方程 .

已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?
?

?

??

?? ? ? ? ?1 ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos ? ? ? ? , 3? 4? ?

判断两曲线的位置关系.
【答案】选修 4—4:坐标系与参数方程

解: 将曲线 C1 ,???C2 化为直角坐标方程得:
C1 :?? x ?
2

3y ? 2 ? 0 ,
2

C2 :? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0

即 C2 :?? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,
2 2

圆心到直线的距离 d ?

1? 1 ?
2

3?2

? 3?

?
2

3? 2

3

?

2,

∴曲 线 C1与C2 相离.
错误!未指定书签。(徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)选修 4-4:坐标系与参数方 .

程[来源:学科网 ZXXK] 在极坐标系中,已知直线 2 ? co s ? + ? sin ? + a ? 0 ( a ? 0 ) 被圆 ? ? 4 sin ? 截得的弦长为 2 ,求 a 的值. 【答案】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 2 x + y + a ? 0 , 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x 2 + y 2 ? 4 y ,即 x 2 + ( y ? 2 ) 2 ? 4 因为截得的弦长为 2 ,所以圆心 (0 , 2 ) 到直线的距离为 4 ? 1 ?
3

,

, [来源:学科网 ZXXK]



2+ a 5

?

3

,因为 a ? 0 ,所以 a ? 1 5 ? 2

错误!未指定书签。(镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)(选修 4—4:坐标系与参数方程) .

求圆 ? ? 3cos ? 被直线 ?

? x ? 2 ? 2t , ? y ? 1 ? 4t

(是参数截得的弦长.

【答案】解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:

? ? 3cos ? 即: x 2 ? y 2 ? 3 x ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
2

3

9 4

;

? x ? 2 ? 2t , 即: 2 x ? y ? 3 , ? ? y ? 1 ? 4t ,

2? d ?

3 2

?0?3 ? 0,
2

2 ? ( ?1)
2

即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为 3
错误!未指定书签。(扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)选修 4-4:坐标系 .

与参数方程 在平面直角坐标 x O y 中,已知圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? 4 ,圆 C 2 : ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 4 . (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐 标系中,分别求圆 C 1 , C 2 的极坐标方程及这两个圆的交点 的极坐标; (2)求圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程.[来源:Z*xx*k.Com]
【答案】 【解】(1)圆 C 1 的极坐标方程为 ? = 2 , 圆 C 2 的极坐标方程为 ? ? 4 co s ? ,
? ? ? 2, ? ? ? 4cos?
π 3

由?

得 ? = 2, ?

? ?

,故圆 C 1, C 2 交点坐标为圆

? 2, π ? ,? 2, ? π ? 3 3

(2)由(1)得,圆 C 1, C 2 交点直角坐标为 (1, 故圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程为 ?
? x ? 1, ? ? y ? t (? ?

3 ),(1, ?

3)

,

3 ≤ t≤

3 ).

注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣 2 分.



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