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22.2二次函数与一元二次方程的关系课件上课用


二次函数

与 一元二次方程的关系

温故知新
(1)一次函数y=x+2的图象与x轴的交点为 一元一次方程x+2=0的根为________ (2) 一次函数y=-3x+6的图象与x轴的交点为 一元一次方程-3x+6=0的根为________. 思考:一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点与一元一 次方程kx+b=0的根有什么关系? 一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标就是一 元一次方程kx+b=0的根 .

.

探究一
函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点为 .

方程x2-2x-3 =0的根是

.

你发现了什么? (1)二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标就 是当y=0时一元二次方程ax2+bx+c=0的根 (2)二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解 决

例题精讲
1. 求二次函数y=x2+4x-5与x轴的交点坐标 解:令y=0,则x2+4x-5 =0 解之得,x1= -5 ,x2 = 1 ∴交点坐标为:(-5,0)(1,0) 结论一:

若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2,则抛物
线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 .

思考:函数y=-x2+6x-9和y=2x2+3x+5与x轴的交 点坐标是什么?试试看!

探究二、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个 数能不能用一元二次方程的知识来说明呢?

Y

b2-4ac<0

b2-4ac=0

b2-4ac>0

O

X

结论:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明: 1、 b2-4ac >0 有两个不等的实数根 与x轴有两个交点。 一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c

2、 b2-4ac =0 有两个相等的实数根
与x轴有唯一公共点。

一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c

3、 b2-4ac <0 一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴没有公共点。

二、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上,则 a= ;若抛物线与x轴有两个交点,则a 的范围是 ; 2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一 个交点,则a的范围是 。 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 (-2,0),(3,0),则p= ,q= 。

4、判断下列各抛物线是否与x轴相交,如果 相交,求出交点的坐标。
(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8 (3)y=x2-4x+4

5、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象全部在x轴 下方的条件是( ) (A)a<0 b2-4ac≤0
(B)a<0 b2-4ac>0 (C)a>0 b2-4ac>0 (D)a<0 b2-4ac<0

联想:二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决,那么二次函数与一次函数的交点个 数又该怎么解决呢? 二次函数y=x2-2x-3和一次函数y=x+2有 交点吗?有几个?

例题精讲 3.二次函数y=x2-x-3和一次函数y=x+b有一 个公共点,求出b的值. 解:由题意,得
y=x2-x-3 y=x+b

消元,得 x2-x-3 =x+b 整理,得x2-2x -(3 + b) =0 ∵有唯一交点 ∴(-2)2 +4( 3 + b) =0 解之得,b =-4

2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
(1)若抛物线与x轴只有一个交点,求m的值. (2)若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点,求 m的值.

3、已知抛物线y=x2-(m2+8)x+2(m2+6).

求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不同
的交点,

四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2, 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A(x1,0 ), B( x2,0 )

2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。


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