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《勾股定理的逆定理(2)》教学设计1


17.2 勾股定理的逆定理 第 2 课时
教学目标 一、知识与技能 能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题. 二、过程与方法 1.经历将实际问题转化为数学模型的过程,体会用勾股定理的逆定理解决实际 问题的方法,发展学生的应用章识. 2.在解决实际问题的过程中,体验解决问题的策略,发展学生的实践能力和创 新精神. 3.在解决实际问题的过程中,学会与人合作,并能与他人交流思维过程和结果, 形成反思的意识. 三、情感态度与价值观 1.在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验,锻炼克 服困难的意志,建立学习数学的自信心. 2.在解决实际问题的过程中,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问 题的习惯. 教学重点 教学难点 教具准备 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 活动 1 问题 1:小红和小军周日去郊外放风筝,风筝飞得又高又远,他俩很 想知道风筝离地面到底有多高,你能帮助他们吗? 问题 2:如下图所示是一尊雕塑的底座的正面,李叔叔想要检测正面的 AD 边和 BC 边是否垂直于底边 AB,但他随身只带了卷尺. 运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题. 多媒体课件.

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(1)你能替他想想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得 AD 的长是 30 厘米, AB 的长是 40 厘米, BD 的长是 50 厘米, AD 边垂直于 AB 边吗? (3)小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺,他能有办法检验 AD 边是否 垂直于 AB 边吗?BC 边与 AB 边呢? 设计意图: 通过对两个实际问题的探究, 让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆 定理在实际生活中的广泛应用,提高学生的应用意识,发展学生的创新精神和应 用能力. 在将实际问题转化为数学问题时,肯定要有一定的困难,教师要给学生充分 的时间和空间去思考,从而发现解决问题的途径. 师生行为: 先由学生自主独立思考,然后分组讨论,交流各自的想法. 教师应深入到学生的讨论中去,对于学生出现的问题,教师急时给予引导. 在此活动中,教师应重点关注学生, ①能否独立思考,寻找解决问题的途径. ②能否积极主动地参加小组活动,与小组成员充分交流,且能静心听取别人 的想法. ③能否由此活动,激发学生学习数学的兴趣. 生:对于问题 1,我们组是这样考虑的:小红拉着风筝站在原地,小军到风 筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝. 小红放线, 使线端到达他所站的位置,

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然后在线端做一记号,最后收回风筝,量出放出的风筝线的总长度 AB,再量出 小明和小军所站位置的两点间的距离 BC,利用勾股定理便可以求出 AB 的长度 (如下图所示)

生:对于问题 2,我们组是这样考虑的:李叔叔随身只带卷尺检测 AD,BC 是否与底边垂直,也就是要检测∠DAB=90° ,∠CBA=90° ,连接 BD 或 AC, 也就是要检测△DAB 和△CBA 是否为直角三角形.很显然,这是一个需要用勾 股定理的逆定理来解决的实际问题. 根据我们的分析,用勾股定理的逆定理来解决,要检测△DAB 是否为直角 三角形,即∠DAB=90° ,李叔叔只需用卷尺分别量出 AB,BD、DA 的长度, 然后计算 AB2+DA2 和 BD2,看他们是否相等,若相等,则说明 AD⊥AB,同理 可检测 BC 是否垂直于 AB. 师:很好,对于问题 2 中的第(2)个小问题,李叔叔已量得 AD,AB,BD 的 长度,根据他量出的长度能说明 DA 和 AB 垂直吗? 生:可以,因为 AD2+AB2=302+402=2500,而 BD2=2500,所以 AD2+ AB2=BD2.可得 AD 与 AB 垂直. 师:小明带的刻度尺长度只有 20 厘米,他有办法检验 AD 与 AB 边的垂直 吗? 生:可以利用分段相加的方法量出 AD,AB,BD 的长度. 生:这样做误差太大,可以 AB,AD 上各量一段较小的长度.例如在 AB

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边上量一小段 AE=8cm,在 AD 边上量一小段 AF=6cm,而 AE2+AF2=82+62 =64+36=100=102,这时只要量一下 EF 是否等于 10cm 即可. 如果 EF=10cm,EF2=100,则有 AE2+AF2=EF2,根据勾股定理的逆定理 可知△AEF 是直角三角形,∠EAF = 90° 即∠DAB = 90° 所以 AD⊥AB ;如果 EF≠10cm,则 EF2≠100,所以 AE2+AF2≠EF2,△AEF 不是直角三角形,即 AD 不垂直于 AB. 师:看来,同学们方法还真多,没有被困难吓倒,祝贺你们. 接下来,我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题. 二、讲授新课 活动 2 问题:[例 1]判断由线段 a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=15,b=8,c=17; (2)a=13,b=14,c=15; (3)求证:m2-n2,m2+n2,2mn(m>n,m,n 是正整数)是直角三角形的三 条边长. 设计意图: 进一步让学生体会用勾股定理的逆定理,实现数和形的统一,第 (3)题又让 学生从一次从一般形式上去认识勾股数,如果能让学生熟记几组勾股数,我们在 判断三角形的形状时,就可以避开很麻烦的运算. 师生行为: 先由学生独立完成,然后小组交流. 教师应巡视学生解决问题的过程,对成绩较差的同学给予指导. 在此活动中,教师应重点关注学生: ①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

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②能否发现问题,反思后及时纠正. ③能否积极主动地与同学交流意见. 生:根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两 条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 解:(1)因为 152+82=225+64=289, 172=289, 所以 152+82=172,这个三角形是直角三角形. (2)因为 132+142=169+196=365 152=225 所以 132+142≠152.这个三角形不是直角三角形. 生:要证明它们是直角三角形的三边,首先应判断这三条线段是否组成三角 形,然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长. (3)证明: m>n、m、n 是正整数 (m2-n2)+(m2+n2)=2m2>2mn, 即(m2-n2)+(m2+n2)>2mn 又因为(m2-n2)+2mn=m2+n(2m-n), 而 2m-n=m+(m-n)>0, 所以(m2-n2)+2mn>m2+n2 这三条线段能组成三角形. 又因为(m2-n2)2=m4+n4-2m2n2 (m2+n2)2=m4+n4+2m2n2 (2mn)2=4m2n2, 所以(m2-n2)2+(2mn)2 =m4+n4-2m2n2+4m2n2

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=m4+n4+2m2n2 =(m2+n2)2 所以,此三角形是直角三角形,m2-n2、2mn、m2+n2(m>n、m、n 是正整 数)这三边是直角三角形的三边. 师:我们把像 15、8、7 这样,能够成为三角形三条边长的三个正整数,称 为勾股数. 而且我们不难发现 m2-n2、m2+n2、2mn 也是一组勾股数,而且这组勾股 数由于 m 可取值的不同会得到不同的勾股数, 例如 m=2, n=1 时, m2-n2=22-12=3,m2+n2=22+12=5,2mn=2× 2× 1 =4,而 3、4、5 就是一组勾股数. 你还能找到不同的勾股数吗? 生:当 m=3,n=2 时,m2-n2=32-22=5,m2+n2=13,2mn=2× 3× 2= 12,所以 5、12、13 也是一组勾股数, 当 m=4,n=2 时,m2-n2=42-22=12,m2+n2=20,2mn=2× 4× 2=16, 所以 12、16、20 也是一组勾股数. …… 师:由此我们发现,勾股数组有无数个,而上面介绍的就是寻找勾股数组的 一种方法. 17 世纪,法国数学家费马也研究了勾股数组的问题,并且在这个问题的启 发下,想到了一个更一般的问题,1637 年,他提出了数学史上的一个著名猜想 ——费马大定理,即当 n>2 时,找不到任何的正整数组,使等式 xn+yn=zn 成 立,费马大定理公布以后,引起了各国优秀数学家的关注,他们围绕着这个定理 顽强地探索着,试图来证明它.1995 年,英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大 定理,解开了这个困惑世间无数智者 300 多年的谜.

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活动 3 问题:[例 2]“远航”号,“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航 行,“远航”号每小时航行 16 海里,“海天”号每小时航行 12 海里,它们离开港口 一个半小时后相距 30 海里,如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天” 号沿哪个方向航行吗? 设计意图: 让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用,从而树立远大理想,更进一 步体会数学的实用价值, 师生行为: 教师先鼓励学生根据题意画出图形,然后小组内交流讨沦,教师需巡视,对 有困难的学生一个启示,帮助他们寻找解题的途径. 在此活动中,教师应重点关注: ①学生能否根据题意画出图形. ②学生能否积极主动地参与活动. ③学生是否充满信心解决问题. 生:我们根据题意画出图形,(如下图),可以看到,由于“远航”号的航向已 知,如果求出两艘轮船的航向所成的角,就能知道“海天”号的航向了. 解:根据题意画出下图

PQ=16× 1.5=24, PR=12× 1.5=18,QA=30.

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因为 242+182=302,即 PQ2+PR2=QR2 所以∠QPR=90° 由“远航”号沿东北方向航行可知,∠QPS=45° ,所以∠RPS=45° ,即“海天” 号沿西北或东南方向航行. 三、巩固提高 活动 4 问题:A、B、C 三地两两距离如下图所示,A 地在 B 地的正东方向,C 地 在 B 地的什么方向?

设计意图: 进一步熟练掌握勾股定理的逆定理的应用. 师生行为: 由学生独立完成后,由一个学生板演,教师讲解. 解:BC2+AB2=52+122=169, AC2=132=169, 所以 BC2+AB2=AC2,即 BC 的方向与 BA 方向成直角,∠ABC=90° ,C 地应在 B 地的正北方向. 四、课时小结 活动 5 问题:谈谈这节课的收获有哪些?掌握勾股定理及逆定理,来解决简单的应 用题,会判断一个三角形是直角三角形.

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设计意图: 这种形式的小结,激发了学生的主动参与意识,调动了学生的学习兴趣,为 每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会. 师生行为: 教师课前可准备一组小卡片,卡片上写上针对这节课内容不同形式的小问 题,请同学们抽签回答. 板书设计 17.2 勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理一实际问题(判定直角三角形的形状) 2.勾股数组 3.在实际生活中的应用 活动与探究 1 如下图,在正方形 ABCD 中.E 是 BC 的中点,F 为 CD 上一点,且 CF=4 CD.求证:△AEF 是直角三角形.

过程:要证△AEF 是直角三角形,由勾股定理的逆定理,只要证 AE2+EF2 =AF2 即可. 利用代数方法(即勾股定理的逆定理)计算三角形的三边长,看它们是否是勾 股数,以判断三角形是否是直角三角形,这是解决几何问题常用的方法之一. 1 1 结果:设正方形 ABCD 的边长是 a,则 BE=CE=2 a,CF=4
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3 a,DF=4

a,在 Rt△ABE 中,由勾股定理得 1 5 AE2=AB2+BF2=a2+(2 a)2=4 a2 3 25 同理,在 Rt△ADF 中,AF2=AD2+DF2=a2+(4 a)2=16 a2, 1 1 5 在 Rt△CEF 中,EF2=CE2+CF2=(2 a)2+(4 a)2=16 a2 所以,AF2=AE2+EF2. 所以,△AEF 是直角三角形.

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