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命题及其关系、充分条件与必要条件 知识点与题型归纳



●高考明方向 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一, 考查形式以选择题为主,试题多为中低档题目, 命题的重点主要有两个: 一是命题及其四种形式, 主要考查命题的四种形式及命题 的真假判断; 二是以函数、数

列、不等式、立体几何中的线面关系等为 背景考查充要条件的判断, 这也是历年高考命题的重中之 重.命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题,考 查考生的逆向思维.

一、知识梳理《名师一号》P4 知识点一 命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断 为假的语句叫假命题. 注意: 命题必须是陈述句,疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系.

(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性无关.

注意:(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定
原词语 否定词语 原词语 否定词语 原词语 否定词语 等于(=) 都是 不都是 至少有一个 一个也没有 大于(>) 至多有一个 至少有两个 任意两个 某两个 小于(<) 至多有 n 个 至少有 n+1 个 所有的 某些 是 或 且 任意的 某个 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是

知识点二 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念 (1)充分条件:

p?q
即只要有条件



p 是 q 的充分条件 p 成立就足够了,即有它即可。

p 就能充分地保证结论 q 的成立,

亦即要使 q 成立,有 (2)必要条件:

p?q

则q是

p 的必要条件

p ? q ? ?q ? ?p
即没有 q 则没有

p ,亦即 q 是 p 成立的必须要有的

条件,即无它不可。 (补充)(3)充要条件

p ? q且q ? p即 p ? q
则 “

p 、 q 互为充要条件(既是充分又是必要条件) p ”等

p 是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、

“ q 当且仅当

(补充)2、充要关系的类型 (1)充分但不必要条件 定义:若

p ? q ,但 q ? ? p,
p 是 q 的充分但不必要条件;



(2)必要但不充分条件 定义:若

q ? p ,但 p ? ? q,
p 是 q 的必要但不充分条件



(3)充要条件

定义:若

p ? q ,且 q ? p ,即 p ? q ,
p 、 q 互为充要条件;



(4)既不充分也不必要条件 定义:若

p? ? p, ? q ,且 q ?
p 、 q 互为既不充分也不必要条件.



3、判断充要条件的方法: 《名师一号》P6 特色专题 ①定义法;②集合法;③逆否法(等价转换法) . 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性 集合法----利用集合的观点概括充分必要条件 若条件 p 以集合 A 的形式出现,结论 q 以集合 B 的 形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判 断. (1)若 A ? B ,则 p 是 q 的充分但不必要条件

p 是 q 的必要但不充分条件 (3)若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件 (4)若 A ? ? B, ? B ,且 A ? 则 p 是 q 的既不必要也不充分条件
(2)若 B ? ? A ,则 (补充)简记作----若 A、B 具有包含关系,则 (1)小范围是大范围的充分但不必要条件 (2)大范围是小范围的必要但不充分条件

?

二、例题分析 (一)四种命题及其相互关系 例 1.(1) 《名师一号》P4 对点自测 1 命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题 是( ) A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数

答案

C

例 1.(2) 《名师一号》P5 高频考点 例 1 下列命题中正确的是( ) ①“若 a≠0,则 ab≠0”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题;

④“若 x- 3 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题. A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④

1 2

解析: ①中否命题为“若 a=0,则 ab=0”,正确; ②中逆命题不正确; ③中,Δ=1+4m,当 m>0 时,Δ>0,原命题正确, 故其逆否命题正确; ④中原命题正确故逆否命题正确. 答案 B 注意: 《名师一号》P5 高频考点 例 1 规律方法 在判断四个命题之间的关系时, 首先要分清命题的条件与结论, 再比较每个命题的条件与结论之间的关系. 要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为 原命题,也就相应的有了它的“逆命题” “否命题”“逆否命题”; 判定命题为真命题时要进行推理, 判定命题为假命题时只需举出反例即可. 对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手. 例 1.(3) 《名师一号》P4 对点自测 2 (2014· 陕西卷)原命题为“若 z1, z2 互为共轭复数, 则|z1| =|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断 依次如下,正确的是( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假

解析 易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真, 设 z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|, 但是 z1 与 z2 不是共轭复数,所以逆命题为假, 同时否命题也为假. 注意: 《名师一号》P5 问题探究 问题 2 四种命题间关系的两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题; 互为逆否命题的两个命题同真假. (2)当判断一个命题的真假比较困难时, 可转化为判断它的逆否命题的真假. 同时要关注“特例法”的应用. 例 2.(1)(补充)
(2011 山东文 5)已知 a,b,c∈R,命题“ 若 a ? b ? c =3,

则 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3”的否命题 是( ...
2 2


2

(A)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3 (B)若 a+b+c=3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 (C)若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3 (D)若 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3,则 a+b+c=3
[来源 XK]

【答案】A 【解析】命题“若 p ,则 q ”的否命题是:“若 ? p ,则 ? q ”
[来

例 2.(2)(补充) 命题:“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否定 是:________ ..

【答案】若 xy ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0 【解析】命题的否定只改变命题的结论。

注意: 命题的否定与否命题的区别

(二)充要条件的判断与证明 例 1.(1)(补充) (07 湖北) 已知 p 是 r 的充分条件而不是 必要条件,q 是 r 的充分条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的 必要条件。 现有下列命题: ① s 是 q 的充要条件; ② p 是q 的充分条件而不是必要条件;③ r 是 q 的必要条件而不是 充分条件; ④ ?p是?s 的必要条件而不是充分条件; ⑤r是 s 的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是( ) A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

答案:B 注意: s 1、利用定义判断充要条件 《名师一号》P6 特色专题 方法一 定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题 ——“若 p,则 q”与“若 q,则 p”的判断, 根据两个命题是否正确,来确定 p 与 q 之间的充要关系. p ? q 则 p 是 q 的充分条件;

p

r

q

q 是 p 的必要条件

2、利用逆否法判断充要条件 《名师一号》P6 特色专题 方法三 等价转化法 当所给命题的充要条件不好判定时, 可利用四种命题 的关系,对命题进行等价转换.常利用原命题与逆命题的

真假来判断 p 与 q 的关系.令 p 为命题的条件,q 为命题 的结论,具体对应关系如下: ①如果原命题真而逆命题假, 那么 p 是 q 的充分不必要条件; ②如果原命题假而逆命题真, 那么 p 是 q 的必要不充分条件; ③如果原命题真且逆命题真, 那么 p 是 q 的充要条件; ④如果原命题假且逆命题假, 那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性

例 1.(2)《名师一号》P6 特色专题 例 1 (2014· 北京卷)设{an}是公比为 q 的等比数列. 则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【规范解答】 若 q>1,则当 a1=-1 时,an=-qn-1,{an}为递减数列, 所以“q>1” ? / “{an}为递增数列”; 1 1 ?1? 若{an}为递增数列, 则当 an=-?2?n 时, a1=- , q= <1, ? ? 2 2 即“{an}为递增数列”?/“q>1”.故选 D.

例 1.(3)《名师一号》P6 特色专题 例 2 (2014· 湖北卷)设 U 为全集.A,B 是集合,则“存在 集合 C 使得 A ? C,B ? ?UC”是“A∩B= ? ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【规范解答】 如图可知,存在集合 C,使 A ? C, B ? ?UC,则有 A∩B= ? .若 A∩B= ? ,显然存在集合 C. 满足 A ? C,B ? ?UC.故选 C.

例 1.(4) 《名师一号》P4 对点自测 5 已知 p:-4<k<0,q:函数 y=kx2-kx-1 的值 恒为负,则 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:-4<k<0?k<0,Δ=k2+4k<0,函数 y=kx2-kx -1 的值恒为负,但反之不一定有-4<k<0,如 k=0 时, 函数 y=kx2-kx-1 的值恒为负,即 p?q,而 q? / p. 可用定义或集合法 注意: 3、利用集合法判断充要条件 《名师一号》P6 特色专题 方法二 集合法 涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关 的命题时, 一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间 的充要性.具体对应关系如下: 若条件 p 以集合 A 的形式出现,结论 q 以集合 B 的 形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判 断. (1)若 A ? B ,则 p 是 q 的充分但不必要条件

p 是 q 的必要但不充分条件 (3)若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件 (4)若 A ? ? B, ? B ,且 A ? 则 p 是 q 的既不必要也不充分条件
(2)若 B ? ? A ,则 (补充)简记作----若 A、B 具有包含关系,则 (1)小范围是大范围的充分但不必要条件 (2)大范围是小范围的必要但不充分条件 例 2.《名师一号》P5 高频考点 例 3 ?log2x,x>0, 函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的 ?2 -a,x≤0 充分不必要条件是( ) 1 1 A.a≤0 或 a>1 B.0<a< C. <a<1 D.a<0 2 2

?

?log2x,x>0, 解析 :因为 f(x)= ? x 有且只有一个零点 ?2 -a,x≤0 的充要条件为 a≤0 或 a>1.由选项可知,使“a≤0 或 a>1”成 立的充分条件为选项 D.

注意: 《名师一号》P5 高频考点 例 3 规律方法 有关探求充要条件的选择题,解题关键是: 首先,判断是选项“推”题干,还是题干“推”选项; 其次,利用以小推大的技巧,即可得结论. 务必审清题,明确“谁是条件”! 此题选项是条件!

练习:(补充) 已知 p : x ? 3 且 y ? 2 , q : x ? y ? 5 ,则 条件。

p 是q 的

答案: 既不充分条件也不必要条件 例 3.《名师一号》P6 特色专题 例 3 已知命题 p:关于 x 的方程 4x2-2ax+2a+5=0 的解集 至多有两个子集, 命题 q: 1-m≤x≤1+m, m>0, 若 ?p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

【规范解答】 ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件, ∴p 是 q 的充分不必要条件. 对于命题 p,依题意知 Δ=(-2a)2-4· 4(2a+5)=4(a2-8a-20)≤0, ∴-2≤a≤10, 令 P={a|-2≤a≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}, 由题意知 P ? Q ,

?

?m>0, ∴?1-m<-2, ?1+m≥10

?m>0, 或?1-m≤-2, ?1+m>10,

解得 m≥9.因此实数 m 的取值范围是{m|m≥9}. 注意:(补充) 凡结合已知条件求参数的取值范围 是求满足条件的等价条件即充要条件 练习:(补充) 已知 p : ?2 ? x ? 10; q :1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) . 若 ?p 是 ?q 的必要但不充分条件, 求实数 m 的取值范围. 解: ?p 是 ?q 的必要但不充分条件



q? ? p p? q 即 p 是 q 的充分但不必要条件 令 A ? ? x ? 2 ? x ? 10?

?p ? ? ?q



?q ? ?p

等价于

B ? ? x 1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0)?
则 即

?1 ? m ? ?2 解得 m ? 9 A? B ? ?1 ? m ? 10 所以实数 m 的取值范围是?m m ? 9? ?1 ? m ? ?2 注:A 是 B 的真子集,须确保 ? ?1 ? m ? 10
中的等号不同时取得 例 4. (补充) 求证:关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的 充要条件是 a≤1.

证明:充分性:当 a=0 时,方程为 2x+1=0 的根为 1 x=- ,方程有一个负根,符合题意. 2 当 a<0 时, Δ=4-4a>0, 方程 ax2+2x+1=0 有两个 1 不相等的实根,且a<0,方程有一正一负根,符合题意. 当 0<a≤1 时,Δ=4-4a≥0, 2 ? -a<0 ? 方程 ax2+2x+1=0 有实根,且? , 1 ? ?a>0 故方程有两个负根,符合题意. 综上:当 a≤1 时,方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 必要性:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 当 a=0 时,方程为 2x+1=0 符合题意. 当 a≠0 时, 方程 ax2+2x+1=0 应有一正一负根或两

? ?-2<0 1 个负根.则a<0 或? a ? ?1 a>0
解得 a<0 或 0<a≤1.

Δ=4-4a≥0 .

综上:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根,则 a≤1. 故关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条 件是 a≤1. 注意:(补充) 证明充要条件务必明确充分性和必要性并分别给予证明 练习:(补充)已知

f ( x) 是定义在 R 上的函数, 求证: f ( x ) 为增函数的充要条件是任意的
x1、x2 ? R, 且x1 ? x2恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

分析: 设 p:

x1、x2 ? R, 且x1 ? x2恒有

q : f ( x) 为增函数;证明 p 是 q 的充要条件,只需分别
证明充分性( 课后作业 计时双基练 P209 基础 1-11、培优 1-4 课本 P2-4 变式思考 1、2、3;对应训练 1、2、3 预习 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
补充作业: (2010 安徽)设数列 {an } 中的每一项都不为零,证明:数列 {an } 为 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 : 对 任 意 n? N
*

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

p ? q )和必要性( q ? p )即可。

,都有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 n . ? an an?1 a1an?1



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