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高中高考数学:集合的基本知识



一.基本知识: 1.集合的概念:集合是一个不定义的概念,集合中的元素有三个特征:确定性、互异性、无序性. 2.一个 n 元集合(即由个元素组成的集合)有 2 个不同的子集,其中有 2 ? 1 个非空子集,也有 2 ? 1 个 真子集,非空真子集有 2 ? 2 个. 3.集合的运算律 (1)交换律: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ; (2)结合律: A

∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C ; (3)分配律: A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) , A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ; (4)0—1 律: A ∪ ? = A, A ∩ I = A, A ∪ I = I , A ∩ ? = ? ; (5)等幂律: A ∪ A = A, A ∩ A = A ; (6)吸收律: A ∪ ( A ∩ B) = A, A ∩ ( A ∪ B) = A ; (7)求补律: A ∪ (C A) = I , A ∩ (C A) = ? ; (8)求演律(摩根律) : C ( A ∪ B) = (C A) ∩ (C B), C ( A ∩ B) = (C A) ∪ (C B). 4.实数的子集与数轴上的点集之间可以互相转换,有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换, 对于方程、不等式的解集,要注意它们的几何意义. 5.有限集合所含元素个数(容斥原理) : 设 A, B, C 为有限集,则 (1)card ( A ∪ B) = card ( A) + card ( B) ? card ( A ∩ B) , (2)card ( A ∪ B ∪ C ) = card ( A) + card (B) +card (C )
n n n

集合的基本知识

n

I

I

I

I

I

I

I

I

二.注意事项
1.

—card ( A ∩ B) —card ( B ∩ C ) ? card (C ∩ A) + card ( A ∩ B ∩ C ).

三个特殊集合 ?,{?},{0} 之间的关系 正确的关系: ? ∈ {?} ; ? ? {?} ; ? ? {0} ; 0 ?{?} ;{?} 与{0} 没啥关系,错误的关系(略)

---1---

2.

关注集合的本质:
2 2

,是方程 x + 2 x ? 3 = 0 的解集,本质是 A = {1,?3} ; A = {x | x + 2 x ? 3 < 0} ,是不等式 x + 2 x ? 3 < 0 的解集,本质是 A = (?3,1) “区间” ; A = {x ∈ N | x + 2 x ? 3 < 0} ,是不等式 x + 2 x ? 3 < 0 的自然数解集,本质是 A = {?2,?1,0} ; A = { y ∈ N | y = ? x + 2 x + 1} ,是函数 y = ? x + 2 x + 1 的值域中的自然数,本质是 A = {0,1,2} ;
A1 = {x | x 2 + 2 x ? 3 = 0}
2

1

2

2

2

2

3

3

2

2

4

4

,是函数 y = x + 2 x ? 3 的定义域,是个数集,本质是 B = (?∞,?3] ∪ [1,+∞) ; B = { y | y = x + 2 x ? 3} ,是函数 y = x + 2 x ? 3 的值域,是个数集,本质是 B = [0,+∞) ; B = {x | y = ? x + 2 x } ,是函数 y = ? x + 2 x 的定义域,是个数集,本质是 B = [0,2] ; B = { y | y = ? x + 2 x } ,是函数 y = ? x + 2 x 的值域,是个数集,本质是 B = [0,1] ; C = {( x, y ) | y = x + 2 x ? 3} ,是抛物线 y = x + 2 x ? 3 上所有的点组成的集合,是个点集;
B1 = { x | y = x 2 + 2 x ? 3}
2 2 2 1 2 2

2

2

3

3

2

2

4

4

2

2

1

C2 = {( x, y ) | y = x 2 + 2 x ? 3} C3 = {( x, y ) | y = ? x 2

,是曲线 y = x + 2 x ? 3 上所有的点组成的集合,是个点集; + 2 x} ,是抛物线 y = ? x + 2 x 上所有的点组成的集合,是个点集;
2 2 2 2

,可怜的集合,里面就一个元素,就是“ y = ? x + 2 x ”这个式子; D = { y = x + 2 x ? 3, y = ? x + 2 x} ,比 D 好不了多少,就两个元素,你懂的! E = {( ?1,0), (0,0), (0,2), (3,?5)} ,是点集,里面含有四个元素,就是那四个点. 6 F = {x ∈ N | ∈ N } ,是个数集,本质是 F = {2,3,4} ; 5? x 6 F ={ ∈ N | x ∈ N } ,是个数集,本质是 F = {2,3,6} ; 5? x 6 F = {x ∈ N | ∈ N } ,是个数集,本质是 F = {0,3,4,5} ; 6?x 6 F ={ ∈ N | x ∈ N } ,是个数集,本质是 F = {1,2,3,6} ; 6?x G = {x | x ∈ {0,1}} ,本质就是 G = {0,1} ; G = {x | x ? {0,1}} ,是 {0,1} 的所有子集构成的集合,就是 G = {?,{0},{1},{0,1}} ;且 G ∈ G . 3. 注意以下等价关系 A ? B ? A ∩ B = A ? A ∩ B ? A (因为 A ∩ B ? A 一定成立,故) ? A ∪ B = B ? A ∪ B ? A (因为 A ∪ B ? A 一定成立,故) ? A ∩ C B = ? ? C A ∪ B = I (其中 I 表示全集) ? C A ? C B 当得到 A ? B 时,一定要分 A = ? 和 A ≠ ? 两大类解决问题! ( A 如果确定已经不是空集除外! )
D1 = { y = ? x 2 + 2 x }
2 2 1

1

1

2

2

3

3

4

4

1

1

2

2

1

2

I

I

I

I

---2---

举例: (1)已知 A = {x | m ? 2 < x ≤ 2m} , B = {x | ?1 ≤ x < 4} ,且 C A ∪ B = R ,求 m 的取值范围? 解:由 C A ∪ B = R ,两边取补集,得到 A ∩ C B = ? ,即 A 与 B 的补集的公共部分是空集. 就是 A ? B ,故 当 A = ? 时,等价于 m ? 2 < x ≤ 2m 无解,即有 m ? 2 ≥ 2m ,即得 m ≤ ?2 ;①
R R R

当 A ≠ ? 时,需要

?m ? 2 < 2 m ? ? m ? 2 ≥ ?1 ?2 m < 4 ?

解得:1 ≤ m < 2 ;②

由①②可得:所求 m 的取值范围是{m | m ≤ ?2 ,或1 ≤ m < 2 } . (2)已知 A = {x | m ? 2 < x ≤ 2m} , B = {x | 0 ≤ x < 3} ,且 C A ∩ B ≠ ? ,求 m 的取值范围? 解:当 C A ∩ B = ? 时,有 B ? A ,因为 B ≠ ? ,故有
R R

?m ? 2 < 0 ? ?3 ≤ 2m
R

≤ m < 2; 解得: 3 2

, 或 m ≥ 2} . 故当 C A ∩ B ≠ ? 时, m 的取值范围是{m | m < 3 2 4. 会数会写子集 (1)求满足条件{1, 2}? ≠ M ? {1, 2,3, 4,5} 的所有集合 M 共有几个? 解: M 中必有 1,2; 含不含 3,两种选择;同理含不含 4,5 各两种选择,共 2 × 2 × 2 = 8 个; 但是不能 3,4,5 都没有,去掉 1 种,故共 7 个满足条件. (2)写出满足条件{1, 2}? ≠ M ? {1, 2,3, 4,5} 的所有集合 M? 解:共 7 个,分别是 M = {1,2,3} ; M = {1,2,4} ; M = {1,2,5} ; M = {1,2,3,4} ; M = {1,2,3,5} ; M = {1,2,4,5} ; M 5. 要读懂题目条件 x + y =1 (1) 方程组 ? 的解集可以表示为( ) ? x ? y = ?1
1 2 3 4 5 6

7

= {1,2,3,4,5} .

?

( A) {x = 0, y = 1}

( B ) {0,1}

(C ) {(0,1)}

( D ) {( x, y ) | x = 0, y = 1}

x + y =1 解: ? 的解集,本质是直线 x + y = 1 与直线 x ? y = ?1 的交点,当然选择 C. ? x ? y = ?1 ?

? x = 0? ? ? 之所以不对,是因为不能保证 x = 0 与 y = 1 同时成立,写法不对;若写成 ? ?( x, y ) ? ? 也是对的. y = 1 ? ? ? ? ? (2) 已知集合 A = {0,?1,1,?2,2,3} , B = { y | y = x ? 1, x ∈ A} ,用列举法表示集合 B . 解:看清楚 B 中的 x ∈ A ,别忘了相同的元素只写一次! 故 B = {?1,0,3,8} (3) 已知 A = {0,1} , B = {2,3} , C = {x | x ? A} , D = { y | y ? B} ,求 C ∩ D . 解:弄清集合的本质: C = {x | x ? A} = {?,{0},{1},{0,1}} ; D = { y | y ? B} = {?, {2}, {3}, {2,3}} ; 故 C ∩ D = {?} .
D
2

---3---

(4) 已知集合 A = {x | mx + 3x + 1 = 0} 至多含有一个元素,求 m 的取值范围. 解:分情况: m≠0 9 m> ; 当 A = {x | mx + 3x + 1 = 0} = ? 时,需要 ? ,即 ? 4 ?? = 9 ? 4 m < 0 当 A = {x | mx + 3x + 1 = 0} 中只有一个元素时,再分 1? 当 m = 0 ,显然 A = {x | 3x + 1 = 0} = ? ?? ? ,满足条件; ? 3?
2 2 2

. 当 m ≠ 0 时,要使方程 mx + 3x + 1 = 0 两根重合,故 ? = 9 ? 4m = 0 ,得 m = 9 4 . 综上所述:得到 m 的取值范围是 m = 0 或 m ≥ 9 4
2

(5)已知:{x | x + px + q = 0} = {2} ,求 p, q. 解:{x | x + px + q = 0} = {2} 的意思是方程 x + px + q = 0 有重根(2 次)为 2,即两根都是 2; 2+ 2 = ?p 故用韦达定理可知: ? ,解得: p = ?4 , q = 4. ? 2× 2 = q
2 2 2

?

(6)设全集U = {1,2,3,4,5} ,若 A ∩ B = {2} , (C A) ∩ B = {4} , (C A) ∩ (C B) = {1,5} ,求 A, B . 略解:会画 Venn 图. (答案: A = {2,3} , B = {2, 4} )
U U U

6.

四个常考的题目 (1) 设集合 A = {x | x ? 2 x ? 3 = 0}, B = {x | ax ? 1 = 0} ,若 B ? A ,求实数 a 的值. 解: A = {3,?1} 有四个子集, B = {x | ax ? 1 = 0} 为方程 ax ? 1 = 0 的解构成的集合; 当 B = ? 时,方程 ax ? 1 = 0 无解,必有 a = 0 ; 当 B = {3} 时,方程 ax ? 1 = 0 有根为 3,即 3a ? 1 = 0 ,得 a = 1 ; 3 当 B = {?1} 时,方程 ax ? 1 = 0 有根为 ? 1,即 a × (?1) ? 1 = 0 ,得 a = ?1 ; , ?1 . 并且 B = A 不可能成立,故综上可得:实数 a 的值为 0, 1 3
2

(2) 集合 A = {x | ?2 ≤ x < 5}, B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m ? 1} ,且 B ? A ,求实数 m 的取值范围. 解:分情况: 当 B = ? 时,有 m + 1 > 2m ? 1 ,得到 m < 2 ; 当 B ≠ ? 时,有 综上可得:实数 m 的取值范围是 m < 3 . (一定要注意端点能不能相等这个问题! ! )
?m + 1 ≤ 2 m ? 1 ? ? m + 1 ≥ ?2 ?2 m ? 1 < 5 ?

,解得 2 ≤ m < 3 ,

---4---

(3)设集合 A = {x | x ? 2 x ? 8 = 0}, B = {x | x + ax + a ? 12 = 0} ,若 A ∪ B ≠ A ,求实数 a 的取值范围. 解: A = {x | x ? 2 x ? 8 = 0} = {4,?2} 解法一:正面思维: A ∪ B ≠ A ,即 B ? / A, 首先 B ≠ ? ,即方程 x + ax + a ? 12 = 0 要有解, 必须 ? = a ? 4(a ? 12) ≥ 0 ,解得: ? 4 ≤ a ≤ 4 ; 又当 ? 2 是方程 x + ax + a ? 12 = 0 的一根时,解得: a = 4 ,或 a = ?2 ; 当 4 是方程 x + ax + a ? 12 = 0 的一根时,解得: a = ?2 ; 故得 a = ?2 时,方程 x + ax + a ? 12 = x ? 2 x ? 8 = 0 有两根 4,?2 , 此时 B = {4,?2} ,不满足条件,故 a ≠ ?2 又 a = 4 时,方程 x + ax + a ? 12 = x + 4 x + 4 = 0 有重根 ? 2 , 此时 B = {?2} ,也不满足条件,故 a ≠ 4 综上所述:实数 a 的取值范围是 ? 4 ≤ a < 4 ,且 a ≠ ?2 . 解法二:反面思维:当 A ∪ B = A 时,即 B ? A . 由此求得 a 的取值范围,然后取其补集即可. 当 B ? A 时,因为 A = {x | x ? 2 x ? 8 = 0} = {4,?2} 有四个子集,故 当 B = ? 时,即方程 x + ax + a ? 12 = 0 无解, 必须 ? = a ? 4(a ? 12) < 0 ,解得: a < ?4 ,或 a > 4 ; 当 B = {4} 时,即方程 x + ax + a ? 12 = 0 有重根为 4, 4 + 4 = ?a 由韦达定理可知 ? ,此时无解; ? ?4 × 4 = a ? 12 当 B = {?2} 时,即方程 x + ax + a ? 12 = 0 有重根为 ? 2 , ? 2 + (?2) = ? a 由韦达定理可知 ? ,解得 a = 4 ; ? ?? 2 × (?2) = a ? 12 当 B = {4,?2} 时,即方程 x + ax + a ? 12 = 0 有两根为 ? 2,4 , ? 2 + 4 = ?a 由韦达定理可知 ? ,解得 a = ?2 ; ? ?? 2 × 4 = a ? 12 综上所述,当 A ∪ B = A 时,得到 a < ?4 , a = ?2 或 a ≥ 4 故原题中当 A ∪ B ≠ A 时,实数 a 的取值范围是 ? 4 ≤ a < 4 ,且 a ≠ ?2 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

(4)已知集合 A = {x | 1 < ax < 2} , B = {x | ?1 < x < 1} ,求满足 A ? B 的实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a = 0 时, A = ? ,满足 A ? B ; 1 2? (2)当 a > 0 时, A = ? ? x < x < ? . 又∵ B = {x | ?1 < x < 1} ,且 A ? B , a a
? ? 1 2 > 0 > ?1 成立,故只要 ≤ 1 成立即可,得 a ≥ 2 ; 易知已经有 a a 2 1? (3) 当 a < 0 时, A = ? ? x < x < ? . 又∵ B = {x | ?1 < x < 1} ,且 A ? B , a a ? ? 1 2 < 0 < 1 成立,故只要 ≥ ?1 成立即可,得 a ≤ ?2 ; 易知已经有 a a 综上所述,a 的取值范围是{a | a = 0 ,或 a ≥ 2 ,或 a ≤ ?2} .
---5---



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