9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高一数学五月份竞赛试题



则 ?ABC 的取值范围为(


? 3?

2013-2014 学年学科竞赛 高一数学试题
2014 年 5 月 6 日 满分 150 分 用时 120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1. 某同学使用计算器求 50 个数据的平均数时, 错将其中的一个数据 150 输入为 15

, 那么由此求出的平均值与实际平均值的差是( A. 2 .7
2

? A. ? ?0, ? ? 6?

?

?? B. ? ?0, ?

?? C. ? ?0, ?
? 2?

? ?? D. ? ? 6, ? ? 3?

8.已知 k ? Z , AC ? (2,2) , AB ? (k ,2) , AB ? 5 ,则 ?ABC 是直角三角形的概率是 ( A.
1 9

) B.
2 9

C.

1 8

D.

1 4

9.已知 a ? R ,则函数 f ( x) ? 4x ? a ? 2x?1 ? 1( x ? 0) 的最小值是( A . 2a ? 2 B. 1 ? a 2



) D. ?0.3 )

B. ? 2.7

C. 3
2

?2a ? 2  (a ? ?1) C. ? 2 ?1 ? a   (a ? ?1)

?1 ? a 2   (a ? ?1) D. ? ?2a ? 2  (a ? ?1)

2.设集合 A ? {x | log 1 ( x ? 1) ? ?2} , B ? {x | 2x? x ? 1} ,则 A B 等于( A. {x | x ? 0, 或1 ? x ? 3} C . {x | ?1 ? x ? 0, 或1 ? x ? 3} B. {x | x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 1} )

? ? ? 10.已知 A 为 ?ABC 的最小内角,若向量 a ? (cos A,1), b ? ? 2sin( A ? ),1? ,则 a ? b 的 6 ? ?
取值范围是(
? 1 5? A. ? ? , ? ? 2 2?


? 1 5? B. ? ? , ? ? 2 2? ? 5? C. ? 2, ? ? 2? ? 5? D. ? 2, ? ? 2?

3.已知 sin ? ? sin ? ,则 ? 与 ? 的关系是( A. ? ? ? 或 ? ? ? ? ? C. ? ? (2k ? 1)? ? ? , k ? Z

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分. 11.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现两个正面一个背面的 概率是 12 . 如 图 执 行 右 面 的 程 序 框 图 , 那 么 输 出 的 S 值 为 . ). D. 5
1 ? f ( x) 1 ? f ( x)
开 始

B. ? ? 2k? ? ? , k ? Z D. ? ? k? ? (?1)k ? , k ? Z

S ? 0, i ? 1

4.将向量 a ? (3, 4) 按向量 b ? (1, 2) 平移得到向量 c ,则 | c |? ( A. 2 2 B. 2 13 C. 5

13.函数 f ( x) ? 3[sin x ] 的值域是 过实数 x 的最大整数)

. (其中 [ x] 表示不超
i ? 10?




2 f ( x ? 1) ? 5 . 已 知 函 数 f ( x) 满 足 f ( 1? ) , f( 1 ? )f
A. 3

( x ? N *) , 则

14. 已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 对任意 x ? R 都满足条
(x )+ f ( 4? x )= 0 与 f (x ? 2 ) ?f (x ? 2 )= 0 ,则对函数 件 f
y ? f ( x) ,下列结论中必定正确的是
1 S ? S ? ? i2 3

输出 S

( ? 2 f )    ? ( 3 ? f ) 的值为( ( 2 0 1 ) 2 )
B. 2 C. 1 ) D. 3
5 2

D . ?6

. (填上所

i ?i?2

结 束

6.函数 f ( x) ? ln | x ? 1| ? x ? 3 的零点个数为( A. 0 B. 1 C. 2

有正确结论的序号) ① y ? f ( x) 是奇函数; ③ y ? f ( x) 是周期函数;
高一数学第 1 页

② y ? f ( x) 是偶函数;

(12 题图)

7.记 O 为坐标原点,已知向量 OA ? (3,2) , OB ? (0, ?2) ,又有点 C ,满足 AC ? ,

④ y ? f ( x) 的图象是轴对称的.

15.若 n 为整数,关于 x 的方程 ( x ? 2011)( x ? n)2011 ? 1 ? 0 有整数根,则 n ? 16.函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 的值域是
4 ? 5 的解集为 sin 4 x 三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18. (本题满分 16 分) 已知函数



. 20. (本题满分 18 分)定义在正实数集上的函数 f ( x) 满足下列条件:
(0 ? a ? 1 ) ①存在常数 a ,使得 f (a) ? 1;

17. 方程 sin 4 x ?



?? ? ?? ? f ( x) ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? x ? ? sin ? x ? ? . 4? ? 4? ?
2

②对任意实数 m , 当 x ? R? 时,有 f ( xm ) ? mf ( x) . ⑴求证:对于任意正数 x, y , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ;

⑴求 f ( x) 的最小正周期和 f ( x) 的值域;

? ? ⑵若 x ? x0 ? 0 ? x0 ? ? 为 f ( x) 的一个零点,求 f (2 x0 ) 的值. 2 ? ?

?

⑵证明: f ( x) 在正实数集上单调递减;

19. (本题满分 17 分)如图,已知 O 为 ?ABC 的外心, a, b, c分别是 角 A、B、C 的对 边,且满足 CO ? AB ? BO ? CA 。 ⑴推导出三边 a, b, c 之间的关系式;

8 ⑶若不等式 f ? log2 a ? 4 ? x ? ? 2? ? f ? loga (4 ? x) ? ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

命题人:王慧鹏
tan A tan A 的值。 ? tan B tan C

⑵求

高一数学第 2 页

高一数学答卷页
二、填空题 11.________________ 13.________________ 14.________________ 16.________________ 17.________________ 三、解答题(16 分+17 分+18 分=51 分) 18.⑴ 15.________________ 20.⑴ 12.________________





⑶ 19.⑴


3 高一数学答卷页

高一年级数学竞赛答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ( 15 ? 150) ? 50 ? ?2.7 , 选 B. 1.解 : 求出的平均值 ? 实际平均值 ? 2.解:可得 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 0, 或x ? 1} ,所以 A B ? {x | ?1 ? x ? 0, 或1 ? x ? 3} ,选 C 3 .解 : 由于 sin? ? sin? , ? 与 ? 的终边位置相同或关于 y 轴对称 , 所以 ? ? 2k? ? ? , k ? Z 或
? ? (2k ? 1)? ? ? , k ? Z ,合并得 ? ? k? ? (?1)k ? , k ? Z .选 D.

x ? 0 ,? 2 x ? 1 ,? 当 a ? ?1 时, f ( x)min ? 1 ? a2 ,当 a ? ?1 时, f ( x)min ? 2a ? 2 .故选 D

? 10. 解: a ? b ? 2sin( A ? ) cos A ? 1 ? 3 sin A cos A ? cos 2 A ? 1 6
? 3 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? , 2 2 6 2

4.解:由向量平移的不变性可知 c ? (3, 4) ,? | c |? 5 .选 C
1? 1? f ( x ? 2) ? 1? 1? 1? 1? f ( x) 1 f ( x) ?? ,? f ( x ? 4) ? f ( x), ? f ( x) 的周期 T ? 4 f ( x) f ( x) f ( x)

? ? ? 5? 5 A ? (0, ]? 2 A ? ? ( , ]? a ? b ? [2, ] 故选 C 3 6 6 6 2 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分. 11 . 解 : 同 时 抛 掷 三 枚 均 匀 硬 币 出 现 的 等 可 能 基 本 事 件 共 有 8 种 , 其 中两个正面一个背面的情况有(正,正,背) , (正,背,正)与(背,正,正)三种,
故所求概率为 . 12.解: S ?
1 2 2 ?1 ? 3 ? 52 ? 72 ? 92 ? ? 55 . 3
1 ?3 ?

3 8

5. 解:

1 1 由已知条件,可求得 f (2) ? ?3 , f (3) ? ? , f (4) ? , 2 3

? 13.解: ?1 ? sin x ? 1 ,所以 ?sin x? 的所有可能取值为 ?1,0,1 ,从而 f ( x) 值域为 ? ? ,1,3? .

(x ? 2 ) ?f (x ? 2 )= 0 知 f ( x) 有周期 T ? 4 , (x ) ??f ( 4? x ) ? ? f (? x ) , 14. 解: 由f 于是 f 知 f ( x)

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 1 ,故 f (1) ? f (2) ? f (3) ?     ? f (2012) ? 1.

为奇函数,填①③. 15 .解:设 x ? x0 为方程的整数根,则 ( x0 ? 2011)( x0 ? n)2011 ? ?1 ,必有 ?
? x0 ? n ? ?1 得 n ? 2009 或 n ? 2013 . ? ? x0 ? 2011 ? 1 ? x0 ? n ? 1 或 ? x0 ? 2011? ? 1

6. 解: f ( x) ? 0 ? ln | x ? 1|? x ? 3 ,所以 f ( x) 的零点个数即函数 y ? ln | x ? 1| 与函数 y ? x ? 3 的交点的个数,作图可知有 3 个交点,选 D . 7.解:
AC ? 5 5 ,点 C 在以点 A 为圆心, 为半径的圆周上.可得 AB ? 5 ,如图可知, 2 2

当直线 BC 与圆周相切时, ?ABC 有最大值为

? ,当 A,B,C 三点共线时 ?ABC 有最小值 6

? ?? 为0,所以 ?ABC 的取值范围为 ?0, ? .选 A. ? 6?

16. 解:由函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 得: 当 x 的终边落在第一象限时,有 f (x)=sin2x∈(0,1]; 当 x 的终边落在第二象限时,有 f (x)=0; 当 x 的终边落在第三象限时,有 f (x)= ? sin2x∈[ ? 1,0); 当 x 的终边落在第四象限时,有 f (x)=0; 当 x 的终边落在两个坐标轴上时,有 f (x)=0. 综上所述, f (x)的值域是 [?1,1] .

8 . 解 : 由 AB ? 5 与 ABC 构 成 三 角 形 及 k ? Z 知 k ???4, ?3, ?2, ?1,0,1,3,4? , 可 得 . ;若 BC 与 B C? ( 2? k , 0 ) AC 与 AB 垂直,则 k ? ?2 ;若 AC 与 BC 垂直,则 k ? 2 (舍去)
1 AB 垂直 k ? 0 ,或 k ? 2(舍去) ;综上知,满足要求的 k 有2个,所求概率为 .故选 D. 4

17. 解:令 t ? sin 4 x ?[0,1] ,则 t 2 ? 5t ? 4 ? 0 ? (t ?1)(t ? 4) ? 0 ,? t ? 1 ,
?sin 4 x ? 1 ,? x ? k? ?

9. 解: f ( x) ? 4x ? a ? 2x?1 ? 1 ? (2x ? a)2 ? a2 ? 1 ,

?

? ? ? (k ? Z ) ,? 原方程的解集为 ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 2 2 ? ?

高一数学答案第 1 页

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分.
?? ? ?? 18.解:⑴ f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? ? x ? ? sin ? x ? ? 4 4
? ? ? ?

(2)
1 cxo?s 2 2

tan A tan A ? cos B cos C ? sin A sin ? B ? C ? ? sin A ? ?? ? ? ?? tan B tan C ? sin B sin C ? cos A sin B ? sin C ? cos A ? a2 ?2 b ? c2 ? a2 bc ? 2bc
2

12分

16分

?

? 1? c o s x2 ? 3 sin x 2? ? ? 2 2 ?

2

s xi n ?

2

2 ?? x c? os ? ? ? ?? 2

2

x ? sin 2

2 ? x co sn ? si x? 2 ? ? 3 ?

20.(本题满分 18 分) ⑴证明: x, y 均为正数,且 0 ? a ? 1 ,根据指数函数性质可知,总有实数 m, n 使得

?? 1 ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? .…………………………………………………..4 分 6? 2 ? 所以 f ( x) 的最小正周期 T ? ? ;……………………………..……….…..5 分

?? ? 3 5? 由 ?1 ? sin ? ? 2 x ? ? ? 1 ,得 f ( x) 的值域为 ? ? , ? .…………………..7 分 6 ? 2 2? ? ? ?? 1 ?? 1 ? ? ⑵ f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? ,由题设知 f ( x0 ) ? 0 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? ,….8 分 6 2 6 4 ? ? ? ?

x ? a m , y ? a n ,于是 f ?xy? ? f a m a n ? f a m?n ? ?m ? n? f ?a? ? m ? n ,..…2 分
又 f ? x ? ? f ? y ? ? f (am ) ? f (an ) ? mf (a) ? nf (a) ? m ? n , ? f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ..5 分 ⑵证明:任设 x1 , x2 ? R ? , x1 ? x2 ,可令 x1 ? x2 t ?t ? 1? , t ? a? (? ? 0) .……….7 分 则由⑴知 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x2t ? ? f ?x2 ? ? f ?x2 ? ? f ?t ? ? f ?x2 ?
? f ?t ? ? f ? a? ? ? ? f ? a ? ? ? ? 0 ,…………………………………………………..9 分

?

?

?

?

由 0 ? x0 ?

?
2

??

?
6

? 2 x0 ?

?
6

?

?? 5? ? ? ? ,结合 sin ? 2 x0 ? ? ? 0 知 ? ? 2 x0 ? ? 0 , 6? 6 6 6 ?

15 可得 cos ? .…………………………………………………..10 分 ? 2 x0 ? ? ? 6? 4 ?

??

?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? sin 2 x0 ? sin ? ? 2 x0 ? ? ? ? ? sin ? 2 x0 ? ? cos ? cos ? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 6? 6? ? ? ??
1 3 15 1 15 ? 3 ?? ? ? ? ? ,………………………...………..12 分 4 2 4 2 8

即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? .? f ( x) 在正实数集上单调递减;..………………………..10 分 ⑶解:令 loga (4 ? x) ? t ,原不等式化为 f ?t 2 ? 2? ? f ?8t ? ? 3 ,其中 t ? 0 .
? x? f ( x) ? f ( y) ? f ( x) ? f ( y ?1 ) ? f ? ? 且 f (a) ? 1(0 ? a ? 1) , ? y?

?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? cos 2 x0 ? cos ? ? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 6? 6? ? ? ??
? 15 3 1 1 3 5 ?1 ? ? ? ? ,……………………………..………..14 分 4 2 4 2 8

?? ?? ?? ? ? ? ? sin ? 4 x0 ? ? ? sin 2 x0 cos ? 2 x0 ? ? ? cos 2 x0 sin ? 2 x0 ? ? 6 6 6? ? ? ? ? ? 15 ? 3 15 3 5 ? 1 ? 1 ? 7 ? 3 5 ? ? ? ??? ? ? 8 4 16 8 ? 4?
7 ? 3 5 1 11 ? 3 5 ?? 1 ? ? ? ? f (2 x0 ) ? 2sin ? 4 x0 ? ? ? ? 2 ? ……….……..16 分 16 2 8 6? 2 ?

不等式可进一步化为 f ? 又由于单调递减,?

? t2 ? 2 ? 3 ? ? f ? a ? ,……………………….……..12 分 ? 8t ?

t2 ? 2 ? a3 对于 t ? 0 恒成立.……………………..13 分 8t

19.解:(1)取 AB、AC 的中点 E、F,则
CO ? AB ? (CE ? EO ) ? AB ? CE ? AB ? ? 1 2 ? a ? b2 ? 2 4分 1 CB ? CA ? CB ? CA 2

?

??

?

2 ? ? ? t2 ? 2 1 ? 2 ? ? 1 ,………………….……….…..15 分 ? ?? t ? ? 2 2 而 ? ? ? 2 2 8t 8 ?? t ? ? ? ?

且当 t ? 2 时 ?
? a3 ? 1 2 2

? t2 ? 2 ? 1 .……………………………………..16 分 ? ? ? 8t ?min 2 2
2 .…………………………..18 分 2

同理 BO ? CA ?

1 2 c ? a 2 ;所以 2a 2 ? b 2 ? c 2 ……………………………8 分 2
高一数学答案第 2 页

?

?

,又 0 ? a ? 1 ,终得 0 ? a ?



更多相关文章:
第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案08年5月整理的辅导资料
第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1,(满分 20 分)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前没行一段距离才能 停住.我们称这段距离为"...
高考试卷湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试(二)理科数学试卷
高考试卷湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试(二)理科数学试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。免费在线作业标准 100 分答案 湖北省襄阳五中 2015 届高三年级五月...
湖南省南县一中2014-2015学年高一下学期五月月考数学试题
湖南省南县一中2014-2015学年高一下学期五月月考数学试题_数学_高中教育_教育...19. (本小题满分 12 分) 从高一年级中抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩...
四川省营山县回龙中学2014-2015学年高一数学5月阶段测试题
四川省营山县回龙中学2014-2015学年高一数学5月阶段测试题_数学_高中教育_教育...那么 一个五棱柱对角线的条数共有( A.20 C.12 ) B.15 D.10 5.已知一...
河南省八市重点高中2015-2016学年高一数学5月联考试题(扫描版)
河南省八市重点高中2015-2016学年高一数学5月联考试题(扫描版)_数学_高中教育_教育专区。河南省八市重点高中 2015-2016 学年高一数学 5 月联考试题 (扫描版) ...
高中数学必修5月考试题(文)
高中数学必修5月试题(文)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 5...在为 8 27 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的...
杭西高2016年5月考高一数学试卷
杭西高 2016 年 5 月高一数学试卷一、选择题(每小题 4 分,共 10 小题) 1.若非零实数 a, b 满足 a>b,则 ( A.a >b 3 3 ) C.a >b 2 2...
重庆市第十一中学2015-2016学年高一数学5月月考试题 理
重庆市第十一中学2015-2016学年高一数学5月月考试题 理_数学_高中教育_教育...乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对某道解答题 (满分 13 乙组 7 8 1 ...
重庆市第十一中学2015-2016学年高一数学5月月考试题 理
重庆市第十一中学2015-2016学年高一数学5月月考试题 理_数学_高中教育_教育...乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对某道解答题 (满分 13 甲组 9 6 0 ...
重庆市第十一中学2015-2016学年高一数学5月月考试题文(新)
重庆市第十一中学2015-2016学年高一数学5月月考试题文(新)_数学_高中教育_教育专区。重庆十一中高 2018 级 5 月月考 数学试题(文科)考试时间:120 分钟 满分 ...
更多相关标签:
高一数学竞赛试题    全国高一数学竞赛试题    2014高一数学竞赛试题    高一英语竞赛试题    高一语文竞赛试题    高一化学竞赛试题    高一物理竞赛试题    高一英语能力竞赛试题    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图