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2014年高考一轮复习数学教案:13.1 导数的概念与运算



*第十三章
●网络体系总览
导数实 际背景 导数定义 导函数 基本导数公式 求简单函数的导数 导数的应用 导数几 何意义

导数

导数运算法则 判断函数 的单调性 判断函数的 极大(小)值 求函数的最大(小)值

●考点目标定位 1.理解导数的定义,会求多项式函数的导数. 2.理解导数的物理、几何意

义,会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬 时速度. 3.会用导数研究多项式函数的单调性,会求多项式函数的单调区间. 4.理解函数极大(小)值的概念,会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值, 会求一些简单的实际问题的最大(小)值. ●复习方略指南 在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重 概念、公式、法则在各方面的应用,应淡化某些公式、法则的理论推导. 课本只给出了两个简单函数的导数公式, 我们只要求记住这几个公式, 并会应用它们求 有关函数的导数即可. 从 2000 年高考开始,导数的知识已成为高考考查的对象,特别是导数的应用是高考必 考的重要内容之一,题型涉及选择题、填空题与解答题,要给予充分的重视.但是,本章内 容是限定选修内容, 试题难度不大, 要重视基本方法和基础知识; 做练习题时要控制好难度, 注意与函数、数列、不等式相结合的问题.

13.1
●知识梳理 1.用定义求函数的导数的步骤. (1)求函数的改变量Δ y; (2)求平均变化率

导数的概念与运算

?y . ?x
?x ?0

(3)取极限,得导数 f ? (x0)= lim

?y . ?x

2.导数的几何意义和物理意义 几何意义:曲线 f(x)在某一点(x0,y0)处的导数是过点(x0,y0)的切线斜率. 物理意义:若物体运动方程是 s=s(t) ,在点 P(i0,s(t0) )处导数的意义是 t=t0 处的

瞬时速度. 3.求导公式 - (c )? =0,(xn )? =n·xn 1(n∈N*). 4.运算法则 如果 f(x) 、g(x)有导数,那么[f(x)±g(x) ]? = f ? (x)±g′(x)[c·f(x) ]? = , ? (x). cf ●点击双基 1.若函数 f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δ x,1+Δ y) ,则 等于 A.4

?y ?x

B.4x

C.4+2Δ x

D.4+2Δ x2

解析:Δ y=2(1+Δ x)2-1-1=2Δ x2+4Δ x,

?y =4+2Δ x. ?x

答案:C 2.对任意 x,有 f ? (x)=4x3,f(1)=-1,则此函数为 A.f(x)=x4-2 B.f(x)=x4+2 C.f(x)=x3 D.f(x)=-x4 解析:筛选法. 答案:A 3.如果质点 A 按规律 s=2t3 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81 2 解析:∵s′=6t ,∴s′|t=3=54. 答案:C 4.若抛物线 y=x2-x+c 上一点 P 的横坐标是-2,抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点, 则 c 的值为________. 解析:∵y′=2x-1,∴y′|x=-2=-5. 又 P(-2,6+c) ,∴

6?c =-5. ?2

∴c=4. 答案:4 5. 设 函 数 f( x ) = ( x - a ) x - b ) x - c) a、 b 、 c 是 两 两 不 等 的 常数 ) ( ( ( ,则 a b c + + =________. f ?(a ) f ?(b ) f ?(c ) 解析:∵f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc, ∴ f ? (x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca. 又 f ? (a)=(a-b) (a-c) ,同理 f ? (b)=(b-a) (b-c) , ? (c)=(c-a) f (c-b). 代入原式中得值为 0. 答案:0 ●典例剖析 【例 1】 (1)设 a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0) )处切线 的倾斜角的取值范围为[0,

π ] ,则 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为 4

1 1 b b ?1 ] B.[0, ] C.[0,| |] D.[0,| |] a 2a 2a 2a (2) (2004 年全国,3)曲线 y=x3-3x2+1 在点(1,-1)处的切线方程为 A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5
A.[0,

4 1 (3) (2004 年重庆,15)已知曲线 y= x3+ ,则过点 P(2,4)的切线方程是______. 3 3 (4) (2004 年湖南,13)过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的 切线平行的直线方程是______. 剖析: 本题的各小题都是考查导数的几何意义的, 导数的几何意义是曲线在该点处的切 线的斜率.
解析: (1)∵过 P(x0,f(x0) )的切线的倾斜角的取值范围是[0, ∴P 到曲线 y=f(x)对称轴 x=-

π ] , 4

b b b 的距离 d=x0-(- )=x0+ . 2a 2a 2a 又∵ f ? (x0)=2ax0+b∈[0,1] , ?b 1? b b 1 , ].∴d=x0+ ∈[0, ]. 2a 2a 2a 2a (2)∵点(1,-1)在曲线上,y′=3x2-6x, ∴切线斜率为 3×12-6×1=-3. ∴所求切线方程为 y+1=-3(x-1). 4 1 (3)∵P(2,4)在 y= x3+ 上, 3 3 2 2 又 y′=x ,∴斜率 k=2 =4. ∴所求直线方程为 y-4=4(x-2) ,4x-y-4=0. (4)y′=6x-4,∴切线斜率为 6×1-4=2. ∴所求直线方程为 y-2=2(x+1) ,即 2x-y+4=0. 答案: (1)B (2)B (3)4x-y-4=0 (4)2x-y+4=0 评述:利用导数的几何意义,求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论
∴x0∈[ 导数除用来求切线的斜率外,还有哪些方面的应用? 答:导数的应用较广,如求函数的单调区间,求函数的极值、最值等. 【例 2】 曲线 y=x3 在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少? 剖析:求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点. 解:曲线在点(3,27)处切线的方程为 y=27x-54,此直线与 x 轴、y 轴交点分别 为(2,0)和(0,-54) ,

1 ×2×54=54. 2 评述:求切线的斜率是导数的一个基本应用. 【例 3】 已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且直线 l 与曲线 C 相切于点(x0, y0) 0≠0) (x ,求直线 l 的方程及切点坐标. 剖析:切点(x0,y0)既在曲线上,又在切线上,由导数可得切线的斜率.联立方程组解 之即可. y 解:∵直线过原点,则 k= 0 (x0≠1). x0
∴切线与坐标轴围成的三角形面积是 S=

由点(x0,y0)在曲线 C 上,则 y0=x03-3x02+2x0, y ∴ 0 =x02-3x0+2. x0 又 y′=3x2-6x+2, ∴在(x0,y0)处曲线 C 的切线斜率应为 k= f ? (x0)=3x02-6x0+2. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0=

3 (∵x0≠0). 2

3 1 这时,y0=- ,k=- . 4 8
1 3 3 x,切点坐标是( ,- ). 4 2 8 评述:对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时,要有求导意识. 【例 4】 证明:过抛物线 y=a(x-x1)(x-x2) · (a≠0,x1<x2)上两点 A(x1,0) 、B (x2,0)的切线,与 x 轴所成的锐角相等. 剖析: 利用与 x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系, 只要求出切线的斜率进行比较即可. 解:y′=2ax-a(x1+x2) ,
因此,直线 l 的方程为 y=- y′| x? x1 =a(x1-x2) ,即 kA=a(x1-x2) ,y′| x? x2 =a(x2-x1) ,即 kB=a(x2-x1). 设两条切线与 x 轴所成的锐角为 ? 、β ,则 tan ? =|kA|=|a(x1-x2)|, tanβ =|kB|=|a(x2-x1)|,故 tan ? =tanβ . 又 ? 、β 是锐角,则 ? =β . 评述:由 tan ? =tanβ 不能直接得 ? =β ,还必须有 ? 、β 为锐角时(或在同一单调区间 上时)才能得 ? =β . ●闯关训练 夯实基础 1.函数 f(x)=(x+1) 2-x+1)的导数是 (x 2 A.x -x+1 B.(x+1) (2x-1) C.3x2 D.3x2+1 解析:∵f(x)=x3+1, ∴ f ? (x)=3x2. 答案:C 2.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线方程为 3x+y+3=0,则 A. f ? (x0)>0 B. f ? (x0)<0 ? (x0)=0 C. f D. f ? (x0)不存在 解析:由题知 f ? (x0)=-3. 答案:B 3.函数 f(x)=ax3+3x2+2,若 f ? (-1)=4,则 a 的值等于________. 解析: f ? (x)=3ax2+6x,从而使 3a-6=4,∴a= 答案:

10 . 3

10 3 4.曲线 y=2x2+1 在 P(-1,3)处的切线方程是________________.

解析:点 P(-1,3)在曲线上,k= f ? (-1)=-4,y-3=-4(x+1) ,4x+y+1=0. 答案:4x+y+1=0 5.已知曲线 y=x2-1 与 y=3-x3 在 x=x0 处的切线互相垂直,求 x0. 解:在 x=x0 处曲线 y=x2-1 的切线斜率为 2x0,曲线 y=3-x3 的切线斜率为-3x02. 1 ∵2x0· (-3x02)=-1,∴x0= 3 . 6 1 答案: 3 6 6.点 P 在曲线 y=x3-x+

2 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 ? ,求 ? 的范围. 3

解:∵tan ? =3x2-1, ∴tan ? ∈[-1,+∞). 当 tan ? ∈[0,+∞)时, ? ∈[0, 当 tan ? ∈[-1,0)时, ? ∈[ ∴ ? ∈[0,

π ) ; 2

3π ,π ). 4

3π π )∪[ ,π ). 4 2

培养能力 7.曲线 y=-x2+4x 上有两点 A(4,0) 、B(2,4).求: (1)割线 AB 的斜率 kAB 及 AB 所在直线的方程; (2)在曲线 AB 上是否存在点 C,使过 C 点的切线与 AB 所在直线平行?若存在,求出 C 点的坐标;若不存在,请说明理由.

4?0 =-2, 2?4 ∴y=-2(x-4). ∴所求割线 AB 所在直线方程为 2x+y-8=0. (2) y ? =-2x+4,-2x+4=-2,得 x=3,y=-32+3×4=3.
解: (1)kAB= ∴C 点坐标为(3,3) ,所求切线方程为 2x+y-9=0. 8.有点难度哟! 若直线 y=3x+1 是曲线 y=x3-a 的一条切线,求实数 a 的值. 解:设切点为 P(x0,y0) ,对 y=x3-a 求导数是 y ? =3x2,∴3x02=3.∴x0=±1. (1)当 x=1 时, ∵P(x0,y0)在 y=3x+1 上, ∴y=3×1+1=4,即 P(1,4). 又 P(1,4)也在 y=x3-a 上, ∴4=13-a.∴a=-3. (2)当 x=-1 时, ∵P(x0,y0)在 y=3x+1 上, ∴y=3×(-1)+1=-2,即 P(-1,-2). 又 P(-1,-2)也在 y=x3-a 上, ∴-2=(-1)3-a.∴a=1. 综上可知,实数 a 的值为-3 或 1.

9.确定抛物线方程 y=x2+bx+c 中的常数 b 和 c,使得抛物线与直线 y=2x 在 x=2 处相切. 解: y ? =2x+b,k=y′|x=2=4+b=2, ∴b=-2. 又当 x=2 时,y=22+(-2)×2+c=c, 代入 y=2x,得 c=4. 探究创新 10.有点难度哟! 曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,求斜率最小的切线方程. 解: y ? =3x2+6x+6=3(x+1)2+3, ∴x=-1 时, 切线最小斜率为 3,此时,y=(-1)3+3×(-1)2+6(-1)-10=-14. ∴切线方程为 y+14=3(x+1) ,即 3x-y-11=0. ●思悟小结 1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键. 2.非多项式函数要化成多项式函数求导. 3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法. ●教师下载中心 教学点睛 1. f ? (x0)= lim
x?0

( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 的几种等价形式: ?x f ( x) ? f ( x0 ) f ? (x0)= lim x? x0 x ? x0
h?0

= lim = lim

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) h

f ( x0 ) ? f ( x0 ? h) h?0 h 2.曲线 C:y=f(x)在其上一点 P(x0,f(x0) )处的切线方程为 y-f(x0)= f ? (x0) (x-x0).
3.若质点的运动规律为 s=s(t) ,则质点在 t=t0 时的瞬时速度为 v= s ? (t0).这就是导数 的物理意义. 4.直线与曲线相切,并不一定只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,由解析几何知, 直线与曲线相切,有且只有一个公共点,即切点. 拓展题例 【例题】 曲线 y=x2+1 上过点 P 的切线与曲线 y=-2x2-1 相切,求点 P 的坐标. 解: P 0,0)由题意知曲线 y=x2+1 在 P 点的切线斜率为 k=2x0, 设 (x y , 切线方程为 y=2x0x+1 2 2 -x0 ,而此直线与曲线 y=-2x -1 相切, ∴切线与曲线只有一个交点,即方程 2x2+2x0x+2-x02=0 的判别式 Δ =4x02-2×4×(2-x02)=0. 解得 x0=±

7 2 3 ,y0= . 3 3 7 2 2 3 , )或(- 3 3 3
3,

∴P 点的坐标为(

7 ). 3



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