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★三角函数



1

三角函数复习
1、计算

sin 60? ? tan 45? 的值是 cos 30?
?



2、在 Rt△ ABC 中, ?C ? 90 ,如果 cos B ?

1 ,那么 sin A 、 tan A 的值分别是______________ 3

r />
3、 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a,A]”(a≥0,0° <A<180° )后的行动结果为:在原地顺时针旋转 A 后, 再向面对方向沿直线行走 a. 若机器人的位置在原点,面对方向为 y 轴的负半轴,则它完成一次指令[2, 60° ]后,所在位置的坐标为( ) A. (-1,- 3 ) B. (-1, 3 ) C.( 3 ,-1) D.(- 3 ,-1)

4、如图,在菱形 ABCD 中,DE⊥ 于 E,DE=6cm, sin A ? AB D C

3 2 ,则菱形 ABCD 的面积是__________ cm . 5

A

E B 第 4 题图 ,

第5题

6题

5、如图所示,某河堤的横断面是梯形

,迎坡

长 13 米,且

,则河

堤的高 为 米. 6、如图,把边长为 1 的正方形 ABCD 绕顶点 A 逆时针旋转 30o 到正方形 AB′C′D′,则它们的公共部分的面积 等于 . 5 7、如图,AB 是⊙ 的直径,CD 是圆上的两点(不与 A、B 重合) O ,已知 BC=2,tan∠ ADC= , 4 O 则 AB=__________. 8、直角三角形纸片的两直角边长分别为 6,8,现将 如图那样折叠,使点 与点 重合, A 折痕为 ,则 的值是( ) A. B.

B

D

C

C.

D.

9、如图,⊙ 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙ 的直径,连接 CD,若⊙ 的 半径 r ? O O O

3 , 2
B O

A

AC ? 2 ,则 cos B 的值是(
A.

) C.

3 2

B.

5 3
3 7

5 2
C. 或

D.

2 3

D 第4题图 )

C

10、已知⊙ 的半径为 5,AB 是弦,P 是直线 AB 上的一点,PB=3,AB=8,则 tan ?OPA 的值为( O

7 3 D. 3或 3 7 11、已知⊙ 的半径 OA=2,弦 AB、AC 的长分别是 2 3 、 3 3 ,则∠ O BAC 的度数为(
A.3 B. A.15° B.75° C.15° 75° 或 D.15° 45° 或

1 3



2

, ⊙ 12、如图(5) Rt△ ABC 中,?C ? 90° AC ? 6,BC ? 8, O 为 △ ABC 的内切圆,点 D 是斜边 AB ,在 的中点,则 tan ?ODA ? ________ C C D
O B D 图(5) A A O M B

14 题 13 题 3 13、如图 7,在△ABC 中, AB ? AC ? 5cm ,cosB ? 图 .如果⊙ 的半径为 10 cm,且经过点 B、C,那么 O

5

线段 AO= cm. 14、如图,已知 ⊙O 的半径为 1,锐角 △ ABC 内接于 ⊙O , BD ⊥ AC 于点 D , OM ⊥ AB 于点 M ,则 sin ?CBD 的值等于( ) A. OM 的长 B. 2OM 的长 C. CD 的长 D. 2CD 的长 15、如图,正方形 ABCD 中, E 是 BC 边上一点,以 E 为圆心、 EC 为半径的半圆与 以 A 为圆心, AB 为半径的圆弧外切,则 sin ?EAB 的值为( ) A.

4 3

B.

3 4

C.

4 5

D.

3 5
B

y

A?
B?
B

A

D

A (15 题)

O

x

第 17 题

C

(第 16 题图) 16 、 如 图 , 将 放 置 于 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 三 角 板 AOB 绕 O 点 顺 时 针 旋 转 90° 得 △ A?O? B?, 知 已 ?A O B ? 3 0° ? B ? 9 0, A B ?, B? 点的坐标为( , ° 1则 ) A. ?

? 3 3? ? 2 ,? 2? ? ?

B. ? ,

?3 ?2 ?

3? ? 2 ? ?

C. ? ,

?1 ?2 ?

3? ? 2 ? ?

D. ?

? 3 1? ? 2 ,? 2? ? ?
4 BC ? 10 , AB 的值 , 则 ( 5


AC AD cos 17、 如图, 在梯形 ABCD 中 AD ∥ BC, ? AB, ? CD, ?DCA ?
A.3 B.6 C.8 D.9

18、将一副三角板如图 1 叠放,则左右阴影部分面积 S1 : S2 之比等于________,将一副三角板如图 2 放置, 则上下两块三角板面积 A1 : A2 之比等于________

A1 A2

第 11 题

第 12 题

19、将一副三角板如图放置,则上下两块三角板面积之比 A : A2 等于 ________. 1

3

20、 已知: 如图, ?ABC 中,D 是 AB 边上的一点, BD ? 2 AD ,CD ? 10 , sin ?BCD ? 在 且 边上的高 AE 的长为_____________

3 , BC 则 5

A D
D

A E

A M D B

B C E D A

B

E

20 题

C

B

O 21 题

C

C

22 题

22 题

21、如图,在锐角△ABC 中,以 BC 为直径的半圆 O 分别交 AB,AC 与 D,E 两点,且 cosA=

3 ,则 S△ADE∶ S 3

四边形 DBCE

的值为 (

)A.

1 2

B.

1 3

C.

3 2

D.

3 3

22、如图,在 Rt△ABC 中,∠ ACB=90? A<∠ ,∠ B,以 AB 边上的中线 CM 为折痕将△ACM 折叠,使点 A 落 在点 D 处。如果 CD 恰好与 AB 垂直,则 tanA=_____。
? 23、如图,在三角形纸片 ABC 中, ?ACB ? 90 , BC ? 3 , AB ? 6 ,在 AC 上取一点 E ,以 BE 为折痕,

使 AB 的一部分与 BC 重合, A 与 BC 延长线上的点 D 重合,则 CE 的长度为( A. 3 B. 6 C. 3 D. 2 3



24、四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形, 这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图) .如果小正方形面积为 1,大正方形面积为 25, 直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 sin ? ? . 25、AE、CF 是锐角△ABC 的两条高,如果 AE:CF=3:2,则 sinA:sinC 等于( ) A.3:2 B.2:3 C.9:4 D.4:9 26、如图,在平面直角坐标系中,B1(0,1),B2(0,3),B3(0,6),B4(0,10),…, 以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2,以B2B3为对角线作第一个正方形A2B2C2B3, 以B3B4为对角线作第一个正方形A3B3C3B4,…,如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y 轴上,且BnBn+1的长度依次增加1个单位,顶点An都在第一象限内(n≥1,且n为整数) , 那么A1的纵坐标为 ,用n表示An的纵坐标

24 题

27、如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60° .连结对角线 AC ,以 AC 为 边作第二个菱形 ACC1D1 ,使 ?D1 AC ? 60° ;连结 AC1 ,再以 AC1 为边作第三 个菱形 AC1C2 D2 ,使 ?D2 AC1 ? 60° ;……,按此规律所作的第 n 个菱形的边长 为___________. A D2 D1

C2

C1 D B

C

第 26 题图

4

28、如图,在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30o,向高楼前进 60 米到 C 点,又测得仰角为 45o,则该高楼的 高度大约为 . C

B D (第 29 题)

(第 28 题)
?

A

第30题

29、如图,一游人由山脚 A 沿坡角为 30 的山坡 AB 行走 600m,到达一个景点 B ,再由 B 沿山坡 BC 行走 v 200m 到达山顶 C ,若在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 45 ,则山高 CD 等于
?



30、如图,八边形 ABCDEFGH 中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°,AB=CD=EF=GH=1cm, BC=DE=FG=HA= 2 cm,则这个八边形的面积等于 . A

31、如图 8,在边长为 1 的小正方形组成的网格中, △ ABC 的三个顶点均在格点上, 请按要求完成下列各题: B (1)用签字笔画 AD∥ BC(D 为格点) . ... ,连接 CD; (2)线段 CD 的长为 ; (3)请你在 △ ACD 的三个内角中任选一个锐角,若你所选的锐角是 则它所对应的正弦函数值是 . (4)若 E 为 BC 中点,则 tan∠ CAE 的值是 32、如图所示,在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 OABC 是正方形, 点 A 的坐标为(m,0).将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 α 角, 得到正方形 ODEF,DE 与边 BC 交于点 M,且点 M 与 B、C 不重合. (1)请判断线段 CD 与 OM 的位置关系,其位置关系 是 ; (2)试用含 m 和 α 的代数式表示线段 CM 的长: ; α 的取值范围是 . E ,

C 图8

33、如图,直线 y ? ? 3x ? 2 与 x 轴、y 轴分别交与 A、B 两点,把△AOB 沿 AB 折叠,点 O 落在 C 处,求 点 C 的坐标。

y

A C O B x

5

32.如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCO 是正方形,点 C 的坐标是(4,0) 。 (1)直接写出 A、B 两点的坐标。A ______________ B____________ (2)若 E 是 BC 上一点且∠ AEB=60° ,沿 AE 折叠正方形 ABCO,折叠后点 B 落在平面内点 F 处,请画出 点 F 并求出它的坐标。 (3)若 E 是直线 BC 上任意一点,问是否存在这样的点 E,使正方形 ABCO 沿 AE 折叠后,点 B 恰好落在 ..

x 轴上的某一点 P 处?若存在,请写出此时点 P 与点 E 的坐标;若不存在,请说明理由。
y
A B

E

O

C

x

22、如图,AC 是某市环城路的一段,AE,BF,CD 都是南北方向的街道,其与环城路 AC 的交叉路口分别是 A,B,C.经测量花卉世界 D 位于点 A 的北偏东 45° 方向、点 B 的北偏东 30° 方向上,AB=2km,∠DAC= 15° . 和 F 平 (1)求 B,D 之间的距离; 路 文 D (2)求 C,D 之间的距离. 化 E
中 山 路
45°15°



30°

C

B

A 环城路

已知:在△ABC 中,∠B 为锐角, sin B ?

4 ,AB=15,AC=13,求 BC 的长。 5

33、将两块三角板如图放置,其中∠ C=∠ EDB=90? A=45? E=30? ,∠ ,∠ ,AB=DE=6。求重叠部分四边形 DBCF 的面积。

6

34、如图,斜坡 AC 的坡度(坡比)为 1: 3 ,AC=10 米.坡顶有一旗杆 BC,旗杆顶端 B 点与 A 点有一条 彩带 AB 相连,AB=14 米.试求旗杆 BC 的高度.
B

C

D

A

(第 21 题图) 35、如图 3,两建筑物的水平距离 BC 为 27 米,从点 A 测得点 D 的俯角 α=30° , 测得点 C 的俯角 β=60° ,求 AB 和 CD 两建筑物的高.

A

) )α β
D

B

图3 36、如图,大楼 AB 的高为 16 米,远处有一塔 CD ,小李在楼底 A 处测得塔顶 D 处的仰角为 60° ,在楼顶 B 处测得塔顶 D 处的仰角为 45° . 其中 A、C 两点分别位于 B、D 两点正下方, A、C 两点在同一水平线上, 且 求塔 CD 的高度.

C

37、腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图① ).为了测量雕塑的高度,小明在二楼找到一点 C, 利用三角板测得雕塑顶端 A 点的仰角为 30° ,底部 B 点的俯角为 45° ,小华在五楼找到一点 D,利用三角板 测得 A 点的俯角为 60°(如图② ).若已知 CD 为 10 米,请求出雕塑 AB 的高度. (结果精确到 0.1 米,参考数 D 据 3 ? 1.73 ) .

A C



B



7

38、如图某幢大楼顶部有广告牌 CD .张老师目高 MA 为 1.60 米,他站立在离大楼 45 米的 A 处测得大楼顶 端点 D 的仰角为 30 ;接着他向大楼前进 14 米、站在点 B 处,测得广告牌顶端点 C 的仰角为 45 . (取
? ?

3 ≈1.732 ,计算结果保留一位小数)
(1)求这幢大楼的高 DH ; (2)求这块广告牌 CD 的高度.

39、如图,不透明圆锥体 DEC 放在水平面上,在 A 处灯光照射下形成影子.设 BP 过底面圆的圆心,已知圆 锥体的高为 2 3 m,底面半径为 2m,BE=4m. (1)求∠ 的度数; B (2)若∠ ACP=2∠ B,求光源 A 距水平面的高度(答案用含根号的式子表 示).

A D

B

E O C 第 25 题图

P

40、如图, Rt△ ABC 中,?ABC ? 90° ,以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 于点 D ,过点 D 的切线交 BC 于 E . (1)求证: DE ? (2)若 tan C ?

1 BC ; 2

A

5 ,DE ? 2 ,求 AD 的长. 2

O

D C

B 41、如图,AB 为⊙ 的直径,C 为⊙ 上一点,∠ O O BAC 的平分线交 ⊙ 于点 D,过 D 点作 EF∥ 交 AB 的延长线于点 E,交 AC 的延长线于点 F. O BC (1)求证:EF 为⊙ 的切线; O (2)若 sin∠ ABC=

E

A

4 ,CF=1,求⊙ 的半径及 EF 的长. O 5
O

B E D

C F

8

42.如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 AC 的解析式为 y ? ? 点 C ,交 y 轴于点 A .

3 2 3 ,直线 AC 交 x 轴于 x? 3 3

(1)若一个等腰直角三角板 OBD 的顶点 D 与点 C 重合,求直角顶点 B 的坐标; (2) (1) 若 中的等腰直角三角板绕着点 O 顺时针旋转, 旋转角度为 ? ? 0? ? ? ? 180?? , 当点 B 落在直线 AC 上的点 B? 处时,求 ? 的值; (3)在(2)的条件下,判断点 B? 是否在过点 B 的抛物线 y ? mx2 ? 3x 上,并说明理由.
y y

A

B

A B'

o
图1

C(D)

x

o
图2

C D

x

19、 (1)如图 1,在△ABC 中,∠B 、∠C 均为锐角,其对边分别为 b、c,求证:

b c = ; sin B sin C

(2)在△ABC 中,AB= 3 ,AC= 2 ,∠B =450,问满足这样的△ABC 有几个?在图 2 中作出来(不写作法, 不述理由)并利用(1)的结论求出∠ACB 的大小。
A A

B

C

B

C

(图 1)

19 题图

(图 2)

9

20、已知直角三角形 ABC 和 ADC 有公共斜边 AC,M、N 分别是 AC,BD 中点,且 M、N 不重合.(1)线段 MN 与 BD 是否垂直?请说明理由. (2)若∠BAC = 30° ,∠CAD = 45° ,AC = 4,求 MN 的长 . \

20. 1) ( 垂直, 证略. (2) 注意二种情况: D 在 AC 两侧, = B、 MN

2–

3, 、 在 AC 同侧, = B D MN

2+

3 .

10

43、已知:如图,在平面直角坐标系中, △ ABC 是直角三角形, ?ACB ? 90 ,点 A,C 的坐标分别为
?

A(?3, , C (1, , tan ?BAC ? 0) 0)

3 . 4

(1)求过点 A,B 的直线的函数表达式; (2)在 x 轴上找一点 D ,连接 DB ,使得 △ ADB 与 △ ABC 相似(不包括全等) ,并求点 D 的坐标; y (3)在(2)的条件下,如 P,Q 分别是 AB 和 AD 上的动点,连接 PQ ,设 AP ? DQ ?m ,问是否存在这 B 样的 m 使得 △APQ 与 △ ADB 相似,如存在,请求出 m 的值;如不存在,请说明理由.

x A O C

23.某旅游区有一个景观奇异的望天洞, D 点是洞的入口,游人从入口进洞游览后,可经山洞到达山顶的出 口凉亭 A 处观看旅游区风景,最后坐缆车沿索道 AB 返回山脚下的 B 处.在同一平面内,若测得斜坡 BD 的 长为 100 米, 坡角 ?DBC ? 10° , B 处测得 A 的仰角 ?ABC ? 40° , D 处测得 A 的仰角 ?ADF ? 85° , 在 在 过 D 点作地面 BE 的垂线,垂足为 C . (1)求 ? ADB 的度数; (2)求索道 AB 的长. (结果保留根号) A

D B C 第 23 题图

F E

20. (每小题 3 分,共 12 分) (1)如图(2) 5 B E

A

(3)∠ CAD,

1 5 2 5 (或∠ ADC, )(4) 2 5 5

D C

11

24.如图所示,山坡上有一棵与水平面垂直的大树,一场台风过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的 顶部恰好接触到坡面.已知山坡的坡角 ?AEF ? 23° ,量得树干倾斜角 ?BAC ? 38° ,大树被折断部分和坡 , 面所成的角 ?ADC ? 60° AD ? 4m . (1)求 ?CAE 的度数; (2)求这棵大树折断前的高度? (结果精确到个位,参考数据: 2 ? 1.4 , 3 ? 1.7 , 6 ? 2.4 ) .

B

C 24. 解: (1)延长 BA 交 EF 于点 G . 在 Rt△ AGE 中, ?E ? 23° , ∴ ?GAE ? 67° . ····················· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· 2 又∵ ?BAC ? 38° , ∴ ?CAE ? 180° ? 67° ? 38° ? 75° . ··········3 分 ·········· ·········· (2)过点 A 作 AH ⊥ CD ,垂足为 H . ········4 分 ········ ········ , 在 △ ADH 中, ?ADC ? 60° AD ? 4 ,
38°

A F B

60°

D

23°

E

C
38°

DH ,∴ DH ? 2 . ············ 分 ··········· · ·········· ·5 AD AH sin ?ADC ? ,∴ AH ? 2 3 .··········· 分 ·········· 6 ·········· AD 在 Rt△ ACH 中, ?C ? 180° ? 75° ? 60° ? 45°, ··· 分 ··· ·· 7 cos ?ADC ?
∴ AC ? 2 6 , CH ? AH ? 2 3 . ··········· 分 ·········· 8 ··········

H
60°

A F G

D

23°

E

∴ AB ? AC ? CD ? 2 6 ? 2 3 ? 2 ≈10 (米) ····················· 分 . ··········· ·········· ·········· ·········· 9 答:这棵大树折断前高约 10 米. ······························ 分 ····························· 10 ·········· ··········· ········ 23.一艘小船从码头 A 出发,沿北偏东 53° 方向航行,航行一段时间到达小岛 B 处后,又沿着北偏西 22° 方 向航行了 10 海里到达 C 处,这时从码头测得小船在码头北偏东 23° 的方向上,求此时小船与码头之间的距 离( 2 ≈1.4,3 ≈1.7 ,结果保留整数) . 23. (本题满分 10 分) 解:由题意知: ?BAC ? 53° ? 23? ? 30? ······················· 分) ······················ (1 ·········· ··········· · ?C ? 23° ? 22? ? 45? ································· (3 分) ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· · 过点 B 作 BD ? AC ,垂足为 D ,则 CD ? BD ···················· 分) ··················· (4 ·········· ········· C 北 22° 北 2 ? 5 2 ≈ 7.0 ·····················(6 分) ··········· ·········· ·········· ·········· 2 B

? BC ? 10

?CD ? BC cos 45? ? 10 ? ·

23° 53° (第 23 题图)

A

12

AD ?

BC 3 3 ?5 2? ?5 2? ? 5 2 ? 3 ≈ 5 ?1.4 ?1.7 ? 11.9 tan 30° 3 3

? AC ? AD ? CD ? 11.9 ? 7.0 ? 18.9 ≈19 ······················ 分) ····················· (9 ·········· ···········
答:小船到码头的距离约为 19 海里 ·························· ························· (10 分) ·········· ··········· ····



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