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椭圆及其标准方程3(1)



椭圆及其标准方程

开普勒行星运动定律

星系中的椭圆

——仙女座星系

一、合作探究:
请同学们小组内共同完成以下任务,
并思考相应问题。 1.取一条定长的细绳,把它的两端都固定在 图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动 笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个什 么图

形?笔尖(动点)满足什么几何件?

2.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在 图板的两点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画 出的又是什么形?这一过程中,笔尖(动点)满足什 么几何条件?绳子的长度变了么?说明了什么问题?

说明:笔尖(动点)到两个 定点的距离和等于常数.

1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

二、形成概念:
椭圆定义:
平面内与两个定点 F1 , F2 的距离和等于常数(大于| F1F2 | )

的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间
的距离叫做椭圆的焦距 . 思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时,点M的 轨迹是什么?

结论: 若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是( 椭圆 )
若常数等于|F1F2|,则点M的轨迹是(线段F1F2 ) 若常数小于|F1F2|,则点M的轨迹( 不存在 )

结合实验,你应如何给椭圆下定义?
定义: 平面内与两个定点F1 、F2 距离的和等于常数2a(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.

这两个定点F1 、F2叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离2c叫做椭圆的焦距
M 。


F1


F2

注意: (1) 平面内 (椭圆是平面图形)

(2)距离和为常数 (即“绳长”)

思考:
把握定义要注意哪些 关键词?

(3)2a>2c,轨迹才是椭圆 若2a=2c,则M的轨迹为线段F1F2 若2a<2c,则M的轨迹不存在

三.探求椭圆的标准方程

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y

y F2
M xx x
O

M
O F2

x F1

x

方案一

方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)

y

设P (x, y)是椭圆上任意一点,
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0),

P ( x , y)
x F1 0 F2

则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
由椭圆的定义得,限制条件: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 由于 得方程
| PF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | PF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 a 2 ? cx ? a
两边再平方,得

( x ? c) 2 ? y 2

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0),

b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2
两边除以 a b 得
2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

2

2

椭圆的标 准方程

刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程, 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢?
由椭圆的定义得,限制条件: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 由于
得方程
| PF1 |? x 2 ? ( y ? c) 2 , | PF2 |? x 2 ? ( y ? c) 2

x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?) 焦点在 x轴  ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

?椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

F2 (c,0)

X
2

O
F1(0,-c)

X

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在

哪一个轴上。

?比较!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1

O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

口答:
x2 y 2 1. 2 ? 2 ? 1, 则a= 5 ,b= 3 ; 5 3 x2 y 2 2. 2 ? 2 ? 1, 则a= 6 ,b= 4 4 6
x2 y2 3. ? ? 1 9 6 x2 y2 4. ? ? 1 7 4

; ;

则a= 3 ,b= 6

则a=

7 ,b= 2



学以致用:
填空:

x y 3 2 ? ? 1中, a=___,b=___, (1) 在椭圆 9 4
x 轴上,焦点坐标是( ? 5 ,0), ( 5 ,0) 焦点位于____ __________.
4 b=___, (2) 在椭圆 16x ? 7 y ? 112 中,a=___, 7
2 2

2

2

y 轴上,焦点坐标是__________. (0,?3), (0,3) 焦点位于____

x y ? ?1 7 16

2

2

.

例1.椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0) (4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于 10,求椭圆的标准方程。 解: ∵椭圆的焦点在x轴上 x2 y2 ) ∴设它的标准方程为: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0y a b M ∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2-c2=52-42=9 ∴所求椭圆的标准方程为
2 2

F1

o

F2

x

x y ? ?1 25 9

例2、已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0)和
?5 3? ? ?,求其标准方程. (2,0),且过点 ? 2 , 2? ?
解: 因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b
?5 ? ? 3 ? ?5 ? ? 3 ? 2a ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 0 ? ? 2 10 ?2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ?

2 2 2 2

a ? 10 ,又 c ? 2 ,

∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 6
2 2

x y ? ?1 所以所求椭圆的标准方程为: 10 6



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