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3013新课标2文课数学高考题



绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国Ⅱ卷)

文科数学
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 答卷前, 考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题: 本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 (1) 已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 1}, N ? {?3, ?2, ?1,0,1} , 则 M ? N ? (A) {-2,-1,0,1} 3,-2,-1} 2 ? (2) 1? i (A) 2 2 (B) {-3,-2,-1,0} (C) {-2,-1,0} (D) { -

(B) 2

(C)

2

(D) 1

? x ? y ? 1 ? 0, ? (3) 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z = 2x-3y 的最小值是 ? x ? 3, ?

(A) -7

(B) -6

(C) -5

(D) -3

(4) △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 △ABC 的面积是 (A) 2 3 ? 2 (5) 设椭圆 C : (B)
3 ?1

b ? 2, B ?

?
6

,C ?

?
4

, 则

(C) 2 3 ? 2

(D)

3 ?1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, F2, P 是 C 上的点, PF2 ? F1 F2 , a 2 b2

?PF1 F2 ? 30? . 则 C 的离心率为

(A)

3 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

3 3

本卷第 1 页(共 5 页)

(6) 已知 sin 2? ? (A)

?? 2 ? , 则 cos 2 ? ? ? ? ? 4? 3 ?
(D)

1 1 1 (B) (C) 6 2 3 (7) 执行右面的程序框图, 如果输入的 N = 4, 那么输出的 S =
(A) 1 ? (B) 1 ? (C) 1 ? (D) 1 ?

2 3

1 1 1 ? ? 2 3 4 1 1 1 ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 1 ? ? ? 2 3 4 5 1 1 1 1 ? ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2

(8) 设 a ? log3 2, b ? log5 2, c ? log2 3 , 则 (A) a>c>b (B) b>c>a (C) c>b>a (D) c>a>b (9) 一个四面体的顶点你在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以 zOx 平面为投影片, 则得到的正视图可以为

(10) 设抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F, 直线 l 过 F 且与 C 交于 A, B 两点. 若 | AF |? 3 | BF | , 则 l 的方程为 (A) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 (C) y ? 3( x ? 1) 或 y ? ? 3( x ? 1) (B) y ? (D) y ?
3 3 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 3 3 2 2 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 2 2

(11) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , 下列结论中错误的是 (A) ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 (B) 函数 y ? f ( x) 的图像是中心对称图形 (C) 若 x0 是 f(x)的极小值点, 则 f(x)在区间 (??, x0 ) 单调递减

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(D) 若 x0 是 f(x)的极值点, 则 f '( x0 ) ? 0 (12) 若存在正数 x 使 2x ( x ? a) ? 1 成立, 则 a 的取值范围是 (A) (??, ??) (B) (?2, ??) (C) (0, ??) (D) (?1, ??)

第Ⅱ卷(共 90 分)
注意事项: 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题 – 第 21 题为必考题. 每个试题考生都必须 作答. 第 22 – 24 题为选考题. 考生根据要求作答. 二、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分。 (13) 从 1, 2, 3, 4, 5 中任意取出两个不同的数, 其和为 5 的概率是
BD ? (14) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 则 AE·

. .

(15) 已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 球的表面积为 .

3 2 , 底面边长为 3 , 则以 O 为球心, OA 为半径的 2

(16) 函数 y ? cos(2 x ? ? )(?? ? ? ? ? ) 的图象向右平移 的图象重合, 则 ? ? .

?? ? ? 个单位后 , 与函数 y ? sin ? 2x ? ? 3? 2 ?

三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 , 且 a1 , a11 , a13 成等比数列. (Ⅰ) 求 {an } 的通项公式. (Ⅱ) 求 a1 ? a4 ? a7 ?
? a3n?2 .

(18) (本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC-A1 B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点. (Ⅰ) 证明: BC1//平面 A1CD; (Ⅱ) 设 AA1 = AC = CB = 2, AB ? 2 2 , 求三棱锥 C -A1DE 的体积.

(19) (本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品, 在一个销售季度 内, 每售出 1t 该产品获利润 500 元, 未售
本卷第 3 页(共 5 页)

出的产品, 每 1t 亏损 300 元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如右图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品. 以 X(单位: t, 100 ? X ? 150 ) 表示下一个销售季度内的市场需求量, T(单位: 元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利 润. (Ⅰ) 将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ) 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率. (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 , 在 y 轴上截得线段长为
2 3.

(Ⅰ) 求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 若 P 点到直线 y ? x 的距离为
2 , 求圆 P 的方程. 2

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2e? x . (Ⅰ) 求 f(x)的极小值和极大值. (Ⅱ) 当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时, 求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 请考生在第 22, 23, 24 题中任选一题作答. 如果多做, 则按所做的第一题计分. 作答时请 填写题号. (22) (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图, CD 为△ABC 外接圆的切线, AB 的延长 线交直线 CD 与点 D, E, F 分别为弦 AB 与弦 AE ? DC· AF , B, E, F, C 四 AC 上的点, 且 BC· 点共圆. (Ⅰ) 证明: CA 是△ABC 外接圆的直径; (Ⅱ) 若 DB = BE = EA, 求过 B, E, F, C 四点的 圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比值. (23) (本小题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与 参数方程
? x ? 2cos t , 已知动点 P, Q 都在曲线 C : ? (t 为参数)上, 对应参数分别为 t ? ? , t ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , ? y ? 2sin t

M 为 PQ 的中点. (Ⅰ) 求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ) 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数, 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.
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(24) (本小题满分 10 分) 选修 4-5: 不等式选讲 设 a, b, c 均为正数, 且 a ? b ? c ? 1 . 证明:

1 (Ⅰ) ab ? bc ? ca ? ; 3
(Ⅱ)

a 2 b2 c 2 ? ? ? 1. b c a

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