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电动力学第一章第2节


§2 电流和磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度(矢量) I 单位时间通过空间任意曲面的电量(单位:安培)

? J 大小:单位时间垂直通过单位面积的电量
方向:沿导体内一点电荷流动的方向

两者关系:

I ? ? dI ? ?
S

S

? ? J ? dS

? dS ?
? J

? J ?

dI dS cos ?

? ? ? dI ? J cos ?dS ? J ? dS

2、电荷守恒的实验定律
? 描述:封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开 放系统,单位时间流出区域V的电荷总量等于V内电 量的减少率。 dQ Q?C 全空间总电量不随时间变化 dt ? 0 一般情况积分形式 一般情况微分形式

?

S

? ? J ? dS ? ?

?

V

?? dV ?t

流出为正, 流入为负

? ?? ?? J ? ?0 ?t

? ?? J ? 0

⑴ 反映空间某点电流与电荷之间的关系,电流线一般不闭合 ⑵ 若空间各点电荷与时间无关,则为稳恒电流。

二、磁场以及有关的两个定律
? 磁场:通电导线间有相互作用力。与静电场类比 假定导线周围存在着场,该场与永久磁铁产生的 磁场性质类似,因此称为磁场。磁场也是物质存 在的形式,用磁感应强度来描述。 毕奥萨伐尔定律(电流决定磁场的实验定律) 闭合导线 闭合导体
r

? ? ? ?0 Idl ? r dB ? 4? r 3

? dB ?

? ? ? ?0 Idl ? r B?? ? L 4? r 3

4?

? ? ? ? Idl ?0 Jdv ? r

? ?0 B? 4?

? ?

V

? ? J ?r dV 3 r

r3

? dB

? r

3、安培作用力定律 闭合导线

? ? ? dF ? Idl ? B
? ? ? F ? ? Idl ? B ?
L

闭合导体

? ? ? dF ? Jdv ? B
? ? ? F ? ? J ? BdV ?
V

? Idl

? Idl

两电流元之间 的相互作用力 是否满足牛顿 第三定律?

结论:两电流元之间 的相互作用力不满足 牛顿第三定律。但两 通电闭合导体之间满 足第三定律

三、安培环路定理和磁场的旋度方程 1、环路定理

? ?

L

? ? B ? dl ? ?0 I

式中I 为 L 所环连的电流强度 它反应了电流与磁感应强 度在某区域内的关系,对 于某些具有较高对称性的 问题可利用该定理求解。

? J

S

L

? ? ? ? ? B ? dl ? ?0 I ? ?0 ? j ? dS ?
由斯托斯公式,可得

? I

? ? ? ? ? ? ? B ? dS ? ?0 ? j ? dS

? B

? ? ? ? B ? ?0 j

2、旋度方程

?? ? ? ?? B ? ?0 J

1)稳恒磁场为有旋场。 2)应用该公式必须在电流连续分布区域, 不连续区只有用环路定理; 3)该方程可直接由毕萨定律推出(见教 材P16-18); 4)它有三个分量方程,但只有两个独立; 5)它只对稳恒电流磁场成立。

四、磁场的通量和散度方程

?? ? ? 1、磁场的通量 B?dS ? 0 ? ?
S

毕奥--萨伐尔 定律

? ??' ? ? ? J x ?r ? ? ? ? ? ? ? ?0 ?dV 'dV B ? d S ? ? ? ? B dV ? ??? ?S ? ?V ?V ' ? r 3 ? V 4? ? ? ? ? ? ? ? ??' ? ? ? ?0 r ? r ? ? ??' ? ' ? ? ?? ? J x ? ? 3 ? ?? ? 3 ? ? J x ?dV dV ? 0 ? r ? 4? ?V ?V ' ? ? r ? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

2、磁场的散度方程

? ? ?? B ? 0

1)静磁场为无源场(相对通量而言) 2)它不仅适用于静磁场,也适用于变化磁场。

五.静磁场的基本方程 ? ? ? ? 微分形式: ?? B ? ?0 J
积分形式:

? ? ? B ? dl ? ?0 I ?
L

? ? ?? B ? 0

? ?

S

? ? ? ? B?dS ? 0

反映静磁场为无源有旋场,磁力线总闭合。它 的激发源仍然是运动的电荷。 注意:静电场可单独存在,稳恒电流磁场不能 单独存在(永磁体磁场可以单独存在,且没有 宏观静电场)。 (利用环路定理解题P18例)



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