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直线与双曲线的位置关系 李瑞奎


课题:直线与双曲线的位置关系
教者:李瑞奎 班级:高二(3)班 授课时间:2015 年 12 月 3 日

一、课程分析: 新教学大纲对“直线与圆锥曲线的位置关系”这部分教材的要求是:掌握其简单 应用。主要考查:直线与圆锥曲线公共点个数问题,相交时的弦长,弦中点或相关轨 迹问题,三角形面积问题,对称性问题,存在性问题,与向量综合等问题,由于本部分 内容一直是高考的热点,这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点,所 以应给以足够的重视,而用坐标法研究几何问题,是数学中的一个很大的课题,问题 的大小、深浅差别很大。为此,从解析几何的本质出发,用代数的方法来研究,体现 分类讨论的数学思想,又体现数形结合的数学思想,是一节很重要但又有一定深度的 课。 二、学情分析: 直线与双曲线的位置关系是在已经对直线与椭圆的位置关系有了初步的认识和 了解的基础上而进行的,但不少学生考虑问题往往不够全面,因此在创设问题情境以 后,应让学生充分思考、讨论,而不少学生受传统教学的影响,习惯于听老师的分析, 自己不主动探索,学习比较被动,往往老师分析的头头是道,学生也频频点头,但时 间一长,就都忘了。应充分调动学生的积极性,让学生在老师的引导下,自主、探究、 合作得出结论,实现学生的主体地位,让学生真正成为学习的主人。 三、教学目标: 学生能理解并掌握直线与双曲线的位置关系,并能类比直线与椭圆的位置关系用 代数法进行求解。从而培养学生分析、归纳、推理、类比等能力,使学生进一步掌握 利用代数方法研究解析几何的基本方法,加深对解析几何本质的理解及其应用。 四、教学重难点: 重点:理解并掌握直线与双曲线的位置关系,并能类比直线与椭圆的位置关系进 行判断。 难点:对直线与双曲线位置的判断,并用代数法求解。 五、教学方法:
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在本节课教学中充分安排回忆、尝试、讨论、发言,让学生参与到数学知识的探 索、发现过程中去,体验知识的形成过程。本着这个原则,结合具体的教学内容,本 节教学采用引导探究式的教学方法。 理论探究采用老师创设问题情境, 学生自主探究、 分组讨论的方法;反馈练习采用学生独立思考,教师讲评的方法。另外,多媒体手段 的引入能直观地加深印象,提高了教学效益。 六、教学流程: (一)、 复习引入,创设问题情境 回忆:前面我们学习了直线与椭圆的位置关系,那么请同学们回答:直线与椭圆 的位置关系有几种?想一想如何通过图像来表示?它的理论依据是什么? (学生回答——单独) 理论知识:联立方程组,得到一元二次方程通过判别式(或解的个数)来说明。 当判别式大于零(或两个不等的根) ,相交;当判别式等于零(或两个等根) ,相切; 当判别式小于零(或无根) ,相离。 设计意图:通过回忆、总结加强对直线与椭圆位置关系的感性和理性认知,并为 学习直线与双曲线的位置关系这节课作下铺垫。 (二) 、探索研究,体验感悟 ▲请思考: 1、通过直接观察,看看直线与双曲线有几种位置关系? 2、各种位置有几个交点? 过程:小组合作交流,师生共同完成。

直观感知得出结论:直线与双曲线位置关系
(1)种类:相离;相切;相交 (2)交点个数:(0 个交点,一个交点,一个交点或两个交点) ▲再思考: 3、 通过类比直线与椭圆位置关系的代数判断方法, 你能不能用代数法给出直线与 双曲线位置的判断方法?

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方法与过程:由小组长组织本组学生认真讨论,计算,得出结论。 师生共同完成:

用代数(计算)的方法,得出理论依据(重点)
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 联立解得 a2 b2 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 mkx? a 2 m2 ? a 2b 2 ? 0 b ①、二次项系数为 0 即 b 2 ? a 2 k 2 ? 0 即 k ? ? ,时, l 与双曲线的渐近线平行或 a 重合。 重合:无交点;平行:有一个交点。 b ②、若 b 2 ? a 2 k 2 ? 0 即 k ? ? , a 2 2 2 2 2 ? ? (?2a mk) ? 4(b ? a k )(?a 2 m2 ? a 2b 2 ) ? ? 0 ?直线与双曲线相交,有两个交点; ? ? 0 ?直线与双曲线相切,有一个交点; ? ? 0 ?直线与双曲线相离,无交点; 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

设直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) ,双曲线

注意: ①相交(两点): △>0 同侧: x1 x2 >0 异侧: x1 x2 <0

相交(一点): 直线与渐进线平行 ②相切 (一点): △=0

③相离: △<0 或与渐近线重合 (三) 、知识应用 例.已知直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 - y 2 = 4 ,试讨论实数 k 的取值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (3)只有一个公共点; (5)与左支交于两点. (过程:分组讨论,老师边巡视,边指导。最后由个别同学发言,给出答案。 ) (四) 、归纳总结,行成定论 对于直线与双曲线的位置关系小结一下? (五) 、练一练: (2)有两个公共点; (4)交于异支两点;

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1、过点P(1,1)与双曲线 答案:4条 变题:将点 P(1,1)改为 A(3,4) C(4,0)

x2 y2 = 1 只有一个交点的直线共有 9 16

条。

B(3,0) D(0,0).答案又是怎样的?

答案:1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
x2 y2 = 1 的右焦点为 F ,若过点 F 的直线与双曲线的 2、 (2009 年福建)已知双曲线 12 4

右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围( A. (3 3 , ) 3 3

) D. [ - 3,3

B. (- 3,3) C. [ -

3 3 , 3 3

]

]

答案:C (六)作业布置 1、课本:61 页习题 2、练习册:双曲线的性质(二) 3、课后思考:本节课学习了直线与双曲线的位置关系,我们学会了初步判断,但是 我们还需要进一步掌握相交时的弦长,弦中点或相关轨迹问题,三角形面积问题,对 称性问题,存在性问题,与向量综合等问题,大家在课后对以上问题进行预习思考! (七)板书设计 一、直线与双曲线的位置关系 1、相交(两点): △>0 同侧: x1 x2 >0 异侧: x1 x2 <0

相交(一点): 直线与渐进线平行 2、相切 (一点): △=0 3、相离: △<0 或与渐近线重合 二、用代数(计算)的方法,得出理论依据(重点)
x2 y2 设直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) ,双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 联立解得 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (b ? a k ) x ? 2a mkx? a m ? a b ? 0

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①、二次项系数为 0 即 b 2 ? a 2 k 2 ? 0 即 k ? ?

b ,时, l 与双曲线的渐近线平行或 a

重合。 重合:无交点;平行:有一个交点。 b ②、若 b 2 ? a 2 k 2 ? 0 即 k ? ? , a 2 2 2 2 2 ? ? (?2a mk) ? 4(b ? a k )(?a 2 m2 ? a 2b 2 ) ? ? 0 ?直线与双曲线相交,有两个交点; ? ? 0 ?直线与双曲线相切,有一个交点; ? ? 0 ?直线与双曲线相离,无交点; 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 七、课后反思: 本节课在执教的过程中学生的参与性较强,能够充分发挥学生的主体性;学生掌 握知识的过程也是学生探索学习、 思考研究、 提高能力的过程; 打破了传统的 “讲授” , 变为引导、启发、发现、总结、深化、提高、迁移。变学为思、变学为悟,并锻炼了 学生的合作能力,加强合作意识。整节课学生的活动贯穿始终,迁移规律运用在理论 探究中起了关键的作用,充分提高了学习的效率,保证知识落实到位。学生的主体地 位得到了充分的体现,师为辅,生为主,以体验为红线。 存在的问题: 在教学过程中调动学生的积极性做得还不够好,问题提得不够自然.还需 要用心体会,真正领悟其真理.

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