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2013年北京市朝阳区高三数学理科一模试题及答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试（理工类）2013.4
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．（1） i 为虚数单位，复数 A．

1 2

1 的虚部是 1? i 1 B． ? 2

C． ?

1 i 2

D.

1 i 2

（2）已知集合 M ? x ?2 ? x ? 3 ， N ? x lg( x ? 2) ? 0 ，则 M ? N ? A. (?2, ??) B. (?2,3) C.

?

?

?

?

(?2, ?1]

D. [?1,3)

（3）已知向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? ， OC ? ? 2m, m ? 1? .若 AB / /OC ，则实数 m 的值为 A． ?3 B． ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

1 7

C． ?

3 5

D．

3 5

（4）在极坐标系中，直线 ? cos ? ? 大小为 A．

1 与曲线 ? ? 2cos ? 相交于 A, B 两点, O 为极点，则 ?AOB 的 2
C．

? 3

B．

? 2

?? 3

D．

?? 6

（5）在下列命题中， ①“ ? ?
3

? ”是“ sin ? ? 1”的充要条件； 2

１１１

②(

x 1 4 ? ) 的展开式中的常数项为 2 ； 2 x

③设随机变量 ? ～ N (0,1) ,若

2

2
侧视图

P(? ? 1) ? p ，则 P(?1 ? ? ? 0) ?
其中所有正确命题的序号是 A．② B．③ C．②③ D．①③

1 ? p． 2

正视图

2 2
俯视图

（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. 4 B. 4 2 C. 6 2 D. 8

（ 7 ）抛物线 y ? 2 px （ p ＞ 0 ）的焦点为 F ，已知点 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足
2

?AFB ? 120? .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则
3 3 2 3 3
*

| MN | 的最大值为 | AB |

A.

B. 1

C.

D. 2
*

（8）已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? N .若 ?x0 , n ? N ，使 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 1) ?? ? f ( x0 ? n) ? 63成立，则称 ( x0 , n) 为函数 f ( x) 的一个“生成点”.函数 f ( x) 的“生成点”共有 A. 1 个 B .2 个 C .3 个二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）在等比数列 ? an ? 中， 2a3 ? a2 a4 ? 0 ，则 a3 ? 数列 ?bn ? 的前 5 项和等于 . D .4 个， ?bn ? 为等差数列，且 b3 ? a3 ，则

（10）在 ?ABC 中， a ，b ， c 分别为角 A ， B ，C 所对的边.已知角 A 为锐角，且 b ? 3a sin B , 则 tan A ? . （11）执行如图所示的程序框图，输出的结果 S= . 开始

C D O A

i=0

S=0

S=S+2i-1

i=i+2

B
i≥6 （12）如图，圆 O 是 ?ABC 的外接圆，过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 D .若 CD ? 3 ，则线段 AD 的长是 AB ? AC ? 2 ，半径是 . 结束（13）函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且满足；圆O 的输出 S 是否

f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时，f ( x) ? 2 x .若在区间 [?2,3] 上方程 ax ? 2a ? f ( x) ? 0 恰有
四个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是
2

.
2

（14）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 是半圆 x ? 4 x ? y ? 0（ 2 ≤ x ≤ 4 ）上的一个动点，点 C 在线段 OA 的延长线上．当 OA ? OC ? 20 时，则点 C 的纵坐标的取值范围是

??? ? ??? ?

．

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. （15）（13 分）已知函数 f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? （ ? ? 0 ）的最小正周期为 ? . 2 2 2

（Ⅰ）求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间；（Ⅱ）当 x ? [0, ] 时，求函数 f ( x) 的取值范围.

? 2

（16）（13 分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字 ?1, 0， 1, 2 ．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为 ?，? ，试求随机变量 X=? ?? 的分布列与数学期望 EX ．

（ 17 ）（ 14 分）如图，在四棱锥 P ? ABCD 中，平面 PAC ? 平面 ABCD，且 PA ? AC，

PA ? AD ? 2 ．四边形 ABCD 满足 BC ? AD ， AB ? AD ， AB ? BC ? 1 ．点 E , F 分别为侧棱
PB, PC 上的点，且

PE PF ? ?? ． PB PC

P

（Ⅰ）求证： EF ? 平面 PAD ；

1 时，求异面直线 BF 与 CD 所成角的余弦值； 2 （Ⅲ）是否存在实数 ? ，使得平面 AFD ? 平面 PCD ？若存在，
（Ⅱ）当 ? ? 试求出 ? 的值；若不存在，请说明理由．

E

F

A B C

D

（18）（13 分）已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2 ，其中 a ? 2 ．
2

（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）若函数 f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围.

（19）（14 分）已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (1,

3 3 ) ,离心率为，点 A 为其右 2 2

顶点.过点 B(1 直线 AE ，AF 与直线 x ? 3 分别交于点 M ，， 0) 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点，

N.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）求 EM ? FN 的取值范围.

???? ? ????

, ,x1 0 是 ) 数 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8的（ 20 ）（ 13 分）设 ? ? ( x1 , x2 ? , 9任 , 1意 0 一个全排列，定义

S (? ) ? ? | 2 xk ? 3xk ?1 | ，其中 x11 ? x1 .
k ?1

10

（Ⅰ）若 ? ? (10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1) ，求 S (? ) 的值；（Ⅱ）求 S (? ) 的最大值；（Ⅲ）求使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数.

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数学学科测试答案（理工类）
2013.4 一、选择题：题号答案（1） A （2） D （10）（3） A （4） C （11）（5） C （12） 1, 2 （6） D （13）（7） A （8） B （14）

二、填空题：题号（9）答案

2 ， 10

2 4

20

2 2 ( , ) 5 3

[?5,5]

（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（15）（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ） f ( x) ?

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2 3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2
????????????????4 分 ????????????6 分

?

? ? sin(? x ? ) . 6
因为 f ( x) 最小正周期为 ? ，所以 ? ? 2 . 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) .

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? ， k ? Z ，得 k ? ? ? x ? k ? ? . 3 6 2 6 2 ? ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ]， k ? Z . ??????8 分 3 6 ? ? ? 7? （Ⅱ）因为 x ? [0, ] ，所以 2 x ? ? [ , ?????????????10 分 ]， 2 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . ???????????????12 分 2 6 ? 1 所以函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ]. ???????????13 分 2 2
由 2k ? ? （16）（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）设事件 A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则

? 6

P( A) ?

2 1 ? ． 4 2 1 ．??????????3 分 2

答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是

（Ⅱ）设事件 B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
0 所以 P( B) ? 1 ? [C4 ( )0 ? ( )4 ? C1 4

1 ． 2

1 2

1 2

1 1 3 11 ?( ) ] ? ． 2 2 16
11 ．?????7 分 16

答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为

（Ⅲ）由题意可知，所以随机变量 X 的可能取值为 ?2, ?1 ?，? 的可能取值为 ?1, 0， 1, 2，， 0， 1, 2, 4 ．

2 1 ? ； 4? 4 8 7 7 P( X=0) ? ? ； 4 ? 4 16 2 1 P( X =2) ? ? ； 4? 4 8 P( X= ? 2) ?
所以随机变量 X 的分布列为

2 1 ? ； 4? 4 8 2 1 P( X =1) ? ? ； 4? 4 8 1 1 P( X =4) ? ? ． 4 ? 4 16 P( X= ? 1) ?

X

?2
1 8

?1

0

1

2

4

1 1 1 7 1 8 16 8 8 16 1 1 7 1 1 1 1 所以 E ( X ) = ?2 ? ? 1? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? ．????????13 分 8 8 16 8 8 16 4

P

（17）（本小题满分 14 分）证明：（Ⅰ）由已知，所以 EF ? BC ．因为 BC ? AD ，所以 EF ? AD ．而 EF ? 平面 PAD ， AD ? 平面 PAD ，所以 EF ? 平面 PAD ．（Ⅱ）因为平面 ABCD ? 平面 PAC ，平面 ABCD ? 平面 PAC ? AC ，且 PA ? AC ，所以 PA ? 平面 ABCD . 所以 PA ? AB ， PA ? AD ．又因为 AB ? AD ，所以 PA, AB, AD 两两垂直． ????????????????????5 分 ????????????????????4 分

PE PF ? ??， PB PC

如图所示，建立空间直角坐标系，因为 AB ? BC ? 1 ， PA ? AD ? 2 ，所以 A ? 0, 0, 0 ? ,B ?1, 0, 0 ? ,

z x P

C ?1,1, 0 ? , D ? 0, 2, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? ．
当? ?

1 时， F 为 PC 中点， 2

E

F

所以 F ( ,

1 1 ,1) , 2 2

A

D C

所以 BF ? (? , ,1), CD ? (?1,1, 0) ．设异面直线 BF 与 CD 所成的角为 ? ，

??? ?

1 1 2 2

??? ?

B x

y x

1 1 | (? , ,1) ? (?1,1, 0) | ??? ? ??? ? 3 2 2 ? 所以 cos ? ?| cos? BF , CD? |? ， 3 1 1 ? ?1? 2 4 4
所以异面直线 BF 与 CD 所成角的余弦值为

3 ．?????????????9 分 3
??? ?

（Ⅲ）设 F ( x0 , y0 , z0 ) ，则 PF ? ( x0 , y0 , z0 ? 2), PC ? (1,1, ?2) ．由已知 PF ? ? PC ，所以 ( x0 , y0 , z0 ? 2) ? ? (1,1, ?2) ，

??? ?

??? ?

??? ?

? x0 ? ? , ? 所以 ? y0 ? ? , ? z ? 2 ? 2 ?. ? 0

所以 AF ? (? , ?, 2 ? 2 ?) ．

??? ?

设平面 AFD 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ，因为 AD ? ? 0, 2, 0 ? ,

????

??? ? ? ?n1 ? AF ? 0, 所以 ? ???? ? ?n1 ? AD ? 0.

即?

? ? x1 ? ? y1 ? (2 ? 2? ) z1 ? 0, 2 y1 ? 0. ?

令 z1 ? ? ，得 n1 ? (2? ? 2, 0, ? ) ．设平面 PCD 的一个法向量为 n 2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ，因为 PD ? ? 0, 2, ?2 ? , CD ? ? ?1,1, 0 ? ,

??? ?

??? ?

??? ? ? ?n2 ? PD ? 0, 所以 ? ??? ? n ? CD ? 0. ? ? 2

即?

? 2 y2 ? 2 z2 ? 0, ? ? x2 ? y2 ? 0.

令 x2 ? 1 ，则 n 2 ? (1,1,1) ．若平面 AFD ? 平面 PCD ，则 n1 ? n 2 ? 0 ，所以 (2? ? 2) ? ? ? 0 ，解得 ? ? 所以当 ? ?

2 ． 3

2 时，平面 AFD ? 平面 PCD ．????????????????14 分 3

（18）（本小题满分 1 3 分）解：函数定义域为 x x ? 0 ，且 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? ①当 a ? 0 ，即

?

?

a (2 x ? a)( x ? 1) ? . ????2 分 x x

a ? 0 时，令 f ?( x) ? 0 ，得 0 ? x ? 1 ，函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) ， 2

令 f ?( x) ? 0 ，得 x ? 1 ，函数 f ( x) 的单调递增区间为 (1, ??) .

a a ? 1 ，即 0 ? a ? 2 时，令 f ?( x) ? 0 ，得 0 ? x ? 或 x ? 1 ， 2 2 a 函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ) ， (1, ??) . 2 a a 令 f ?( x) ? 0 ，得 ? x ? 1 ，函数 f ( x) 的单调递减区间为 ( ,1) . 2 2 a ③当 ? 1 ，即 a ? 2 时， f ?( x) ? 0 恒成立，函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) . ?7 分 2
②当 0 ? (Ⅱ)①当 a ? 0 时，由(Ⅰ)可知，函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) ， f ( x) 在 (1, 2] 单调递增. 所以 f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上的最小值为 f (1) ? a ? 1 ，由于 f (

1 1 2 a 1 a ) ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 ? 0 ， 2 e e e e e e

要使 f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上有且只有一个零点，需满足 f (1) ? 0 或 ?

? f (1) ? 0, 2 . 解得 a ? ?1 或 a ? ? ln 2 ? f (2) ? 0,

②当 0 ? a ? 2 时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当 a ? 2 时，函数 f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增；

1 4 ? ? 2 ? 0, f (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ，所以 f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上有且只有一个零点. e8 e4 a （ⅱ）当 0 ? a ? 2 时，函数 f ( x) 在 ( ,1) 上单调递减，在 (1, 2] 上单调递增； 2 a 又因为 f (1) ? a ? 1 ? 0 ，所以当 x ? ( , 2] 时，总有 f ( x) ? 0 . 2
且 f (e ) ?
?4

因为 e

?

2a?2 a

?1? a ? 2，

所以 f (e?

2a?2 a

)?e

?

2a ?2 a

[e

?

2a ?2 a

? (a ? 2)] ? (a ln e

?

2a?2 a

? 2a ? 2) ? 0 .
a 2

所以在区间 (0, ) 内必有零点.又因为 f ( x) 在 (0, ) 内单调递增，从而当 0 ? a ? 2 时， f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上有且只有一个零点. 综上所述， 0?a?2 或 a ??

a 2

2 或 a ? ?1 时， f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上有且只有一个零 ln 2

点. ??????????????????????????????????13 分（19）（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ， a 2 b2

? 2 2 2 ?a ? b ? c , ? 3 ? c 依题意得 ? ? , 解得 a 2 ? 4 ， b2 ? 1 . 2 ? a 3 ?1 ? 2 ?1 2 ? 4b ?a
所以椭圆 C 的方程为（Ⅱ）显然点 A(2,0) .

x2 ? y 2 ? 1 . ??????????????????4 分 4

（ 1 ）当直线 l 的斜率不存在时，不妨设点 E 在 x 轴上方，易得 E (1,

3 3 ), F (1, ? )， 2 2

M (3, ?

???? ? ??? ? 3 3 ), N (3, ) ，所以 EM ? FN ? 1 . 2 2

????????????????6 分

（2）当直线 l 的斜率存在时，由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ，显然 k ? 0 时，不符合题意. 由?

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 . 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0

设 E ( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? . 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
y1 y2 ( x ? 2), y ? ( x ? 2) ， x1 ? 2 x2 ? 2

直线 AE ， AF 的方程分别为： y ?

令 x ? 3 ，则 M (3,

y1 y ), N (3, 2 ) . x1 ? 2 x2 ? 2

所以 EM ? (3 ? x1 ,

???? ?

???? y1 (3 ? x1 ) y (3 ? x2 ) ) ， FN ? (3 ? x2 , 2 ) . ????????10 分 x1 ? 2 x2 ? 2

所以 EM ? FN ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ?

???? ? ????

y1 (3 ? x1 ) y2 (3 ? x2 ) ? x1 ? 2 x2 ? 2
y1 y2 ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ?

? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ? k 2 ?

? [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] ? [1 ? k 2 ?

x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ] x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

4k 2 ? 4 8k 2 ? ?1 2 2 4k ? 4 8k 2 4 k ? 1 4 k ? 1 ?( 2 ? 3? 2 ? 9) ? (1 ? k ? 2 ) 4k ? 4 8k 2 4k ? 1 4k ? 1 ? 2? 2 ?4 4k 2 ? 1 4k ? 1
2 2

16k 2 ? 5 ?3k 2 ?( 2 ) ? (1 ? ) 4k ? 1 4k 2 ? 16k 2 ? 5 1 . ?????????????????12 分 ? 1? 2 16k ? 4 16k 2 ? 4
2

因为 k ? 0 ，所以 16k ? 4 ? 4 ，所以 1 ?
2

???? ? ???? 16k 2 ? 5 5 5 ? ，即 EM ? FN ? (1, ) . 2 16k ? 4 4 4

综上所述， EM ? FN 的取值范围是 [1, ) . ??????????????14 分（20）（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ） S (? ) ?

???? ? ????

5 4

?| 2x
k ?1

10

k

? 3xk ?1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 28 ? 57 . ??3 分

（Ⅱ）数 10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1 的 2 倍与 3 倍分别如下：

20,18,16,14,12,10,8,6, 4, 2, 30, 27, 24, 21,18,15,12,9,6,3
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为 203 ? 72 ? 131，所以 S (? ) ? 131 . 对于排列 ? 0 ? (1,5, 6, 7, 2,8,3,9, 4,10) ，此时 S (? 0 ) ? 131 ，

所以 S (? ) 的最大值为 131 . ???????????????????????8 分（Ⅲ）由于数 1, 2,3, 4 所产生的 8 个数都是较小的数，而数 7,8,9,10 所产生的 8 个数都是较大的数，所以使 S (? ) 取最大值的排列中，必须保证数 1, 2,3, 4 互不相邻，数 7,8,9,10 也互不相邻；而数

5 和 6 既不能排在 7,8,9,10 之一的后面，又不能排在 1, 2,3, 4 之一的前面.设 x1 ? 1 ，并参照下面
的符号排列 1 △○□△○□△○□△○ 其中 2,3, 4 任意填入 3 个□中，有 6 种不同的填法； 7,8,9,10 任意填入 4 个圆圈○中，共有 24 种不同的填法； 5 填入 4 个△之一中，有 4 种不同的填法； 6 填入 4 个△中，且当与 5 在同一个 △时，既可以在 5 之前又可在 5 之后，共有 5 种不同的填法，所以当 x1 ? 1 时，使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数为 6 ? 24 ? 4 ? 5 ? 2880 ，由轮换性知，使 S (? ) 达到最大值的所有排列

? 的个数为 28800 . ???????????13 分

2013年北京市朝阳区高三数学理科一模试题及答案

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