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中档大题保分练(四)


中档大题保分练(四)
(推荐时间:50 分钟) π? π 2π? 1. 已知函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间? 在区间? ?0,3?上单调递增, ?3 , 3 ? 上单调递减;如图,四边形 OACB 中,a,b,c 为△ABC 的内角 A, 4ω -cos B-cos C sin B+sin C 3 B,C 的对边,且满足 = . sin A cos A (1)证明:b+c=2a; (2)若 b=c,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,求四边形 OACB 面积的最大值. 2π 4π 3 (1)证明 由题意知: = ,解得:ω= , ω 3 2 ∵ sin B+sin C 2-cos B-cos C = , sin A cos A

∴sin Bcos A+sin Ccos A =2sin A-cos Bsin A-cos Csin A, ∴sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A =2sin A, ∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A, ∴sin C+sin B=2sin A?b+c=2a. (2)解 因为 b+c=2a,b=c,所以 a=b=c,

所以△ABC 为等边三角形, 1 3 SOACB=S△OAB+S△ABC= OA· OBsin θ+ AB2 2 4 =sin θ+ 3 (OA2+OB2-2OA· OBcos θ) 4

π 5 3 5 3 θ- ?+ =sin θ- 3cos θ+ =2sin? 3 ? ? 4 , 4 π 2π π - , ?, ∵θ∈(0,π),∴θ- ∈? 3 ? 3 3? π π 5π 当且仅当 θ- = ,即 θ= 时取最大值, 3 2 6 5 3 SOACB 的最大值为 2+ . 4 2. 张师傅驾车从公司开往火车站,途经 4 个交通岗,这 4 个交通岗将公司到火车站分成 5 个路段,每个路段的驾车时间都是 3 分钟,如果遇到红灯要停留 1 分钟.假设他在各交

1 通岗是否遇到红灯是相互独立的,并且概率都是 . 3 (1)求张师傅此行程时间不少于 16 分钟的概率; (2)记张师傅此行程所需时间为 Y 分钟,求 Y 的分布列和均值. 解 (1)如果不遇到红灯,全程需要 15 分钟,否则至少需要 16 分钟.

所以张师傅此行程时间不少于 16 分钟的概率 1?4 65 P=1-? ?1-3? =81. (2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为 X, 1 4, ?, 则 X~B? ? 3?

?1?k?2?4-k,k=0,1,2,3,4. P(X=k)=Ck 4 3 ? ? ?3?
依题意,Y=15+X,则 Y 的分布列为 Y P 15 16 81 16 32 81 17 8 27 18 8 81 19 1 81

1 49 Y 的均值 E(Y)=E(X+15)=E(X)+15=4× +15= . 3 3 3. 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,AD= 3,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说 明理由; (2)求证:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE⊥AF; (3)当 BE 为何值时,PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45° . (1)解 当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行.

∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴EF∥PC. 又∵EF?平面 PAC,而 PC?平面 PAC, ∴EF∥平面 PAC. (2)证明 以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 1 1? 则 P(0,0,1),B(0,1,0),F? ?0,2,2?,D( 3,0,0). 设 BE=x,则 E(x,1,0), → → ?0,1,1?=0, PE· AF=(x,1,-1)· ? 2 2?

所以 PE⊥AF. (3)解 设平面 PDE 的法向量为 m=(p,q,1).

→ 由(2)知PD=( 3,0,-1), → PE=(x,1,-1), → ? PD=0, ?m· 1 x 由? 得 m=? ,1- ,1?. 3 3 ? ? → ? PE=0, ?m· → 而AP=(0,0,1),依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45° , 所以 sin 45° = 1 → 2 |m· AP| = , 2 → |m||AP|



2 = , 2 x 1 ? + 1- ?2+1 3 ? 3?

得 BE=x= 3- 2或 BE=x= 3+ 2> 3(舍去). 故 BE= 3- 2时,PA 与平面 PDE 所成角为 45° . 3 4. 设 f(x)=x3,等差数列{an}中 a3=7,a1+a2+a3=12,记 Sn=f( an+1),令 bn=anSn,数
?1? 列?b ?的前 n 项和为 Tn. ? n?

(1)求{an}的通项公式和 Sn; 1 (2)求证:Tn< ; 3 (3)是否存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出 m, n 的值,若不存在,说明理由. (1)解 设数列{an}的公差为 d,

由 a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12, 解得 a1=1,d=3,所以 an=3n-2. 又因为 f(x)=x3, 3 所以 Sn=f( an+1)=an+1=3n+1. (2)证明 因为 bn=anSn=(3n-2)(3n+1), 1 ? 1 1 1 1 - 所以 = = ? , bn ?3n-2??3n+1? 3?3n-2 3n+1? 1 1 1 所以 Tn= ?1-3n+1?< . 3? ? 3

(3)解

n 由(2)知 Tn= , 3n+1

1 m n 所以 T1= ,Tm= ,Tn= , 4 3m+1 3n+1 若 T1,Tm,Tn 成等比数列, m 6m+1 3n+4 1 n 则?3m+1?2= · ? ? 4 3n+1,即 m2 = n . 13 3n+4 当 m=2 时, = ,n=16,符合题意; 4 n 19 3n+4 当 m=3 时, = ,n 无正整数解; 9 n 25 3n+4 当 m=4 时, = ,n 无正整数解; 16 n 31 3n+4 当 m=5 时, = ,n 无正整数解; 25 n 37 3n+4 当 m=6 时, = ,n 无正整数解; 36 n 当 m≥7 时,m2-6m-1=(m-3)2-10>0, 则 6m+1 3n+4 4 <1,而 =3+ >3, m2 n n

所以,此时不存在正整数 m,n,且 1<m<n, 使得 T1,Tm,Tn 成等比数列. 综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n, 使得 T1,Tm,Tn 成等比数列.



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