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不等式1



网络课程 内部讲义

推理与证明不等式

教 师:李永乐

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(四)推理与证明不等式
一、演绎推理的两种方式 综合法:_________

_________________________________________ 分析法:__________________________________________________ 二、均值不等式 基本形式:_________________ 条件:1.__________ 2.__________ x + x2 + ... + xn n ≥ x1 x2 ...xn 拓展 1: 1 n 拓展 2: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 拓展 3:

3._____________

a 2 + b2 a + b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b 排序不等式:______________________________________________________ 三、比较大小的方式 1.找反例____________________________________________________ 2.做差法____________________________________________________ 3.做比法____________________________________________________ 四、数学归纳法 第一数学归纳法:若一个跟自然数 n 有关的问题证明了以下两个命题: (1)____________________________________ (2)_____________________________________ 则可以得到结论:___________________________________________ 第二数学归纳法:若一个跟自然数 n 有关的问题证明了以下两个命题: (1)____________________________________ (2)_____________________________________ 则可以得到结论:___________________________________________ 用数学归纳法解决的问题必须是__________, 往往是________________. 五、解不等式 1.一元一次不等式 ax > b (1)若 a > 0 ,则_____________________ (2)若 a < 0 ,则________________________ (3)若 a = 0 , 则_________________________
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2.一元二次不等式 ax 2 + bx + c(a > 0)
(1)若判别式 Δ = b 2 ? 4ac 小于零,则________________________,即

ax 2 + bx + c > 0 ? ______________ ax 2 + bx + c < 0 ? ______________
(2)若判别式 Δ = b 2 ? 4ac 大于等于零,则存在两根 x1 , x2

ax 2 + bx + c > 0 ? ______________ ax 2 + bx + c < 0 ? ______________ 3. ( x ? a)( x ? b) > 0 和 ( x ? a) > 0 型不等式 ( x ? b)

? _________ ? _________ ( x ? a)( x ? b) > 0 ? ? ,( x ? a)( x ? b) < 0 ? ? _________ ? ? _________

( x ? a) ( x ? a) > 0 ? ___________, < 0 ? ___________ ( x ? b) ( x ? b) 4.高次不等式的解法: ( x ? x1 ) n1 ( x ? x2 ) n2 ( x ? x3 )n3 ...( x ? xk ) nk > 0
(1)_________________________________ (2)_________________________________ (3)_________________________________ 六、含有参数的不等式 1.给定不等式成立的范围,经常使用的方法是_______________和________法 2.图像法步骤: a.____________________________________________ b._____________________________________________ c._____________________________________________ 最值法步骤: a._____________________________________________ b._____________________________________________

3.对于一元二次不等式二次项含有参数的问题,需要_______________ 4.语句“存在 x 在[a,b]内使不等式 f ( x) > 0 成立”表示_________________________
语句“任意 x 在[a,b]内不等式 f ( x) > 0 都成立”表示_________________________ 其中语句 1 可以使用___________, 语句 2 可以使用__________________________

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题目表
题目 1:已知 a > 0, b > 0 , a ≠ b, a3 ? b3 = a 2 ? b2 ,求证 1 < a + b <

4 3

题目 2:已知三角形 ABC 的边长分别为 a, b, c ,求证 2ab + 2bc + 2ca > a 2 + b 2 + c 2

题目 3:已知 a, b ∈ R + ,且 a + b = 1 ,求证 2 3 ≤ 3a + 3b < 4

题目 4: 设 a > c > 0, b > c > 0 ,求证 (a + c)(b + c) + (a ? c)(b ? c) ≤ 2 ab

题目 5:在锐角三角形 ABC 中,求证 sin A > cos B 题目 6:已知 a > 2, b > 2, 求证: a + b < ab

题目 7:已知 a > 0, b > 0, 2c > a + b ,求证 c ? c 2 ? ab < a < c + c 2 ? ab

1 1 题目 8:已知 a > 0, b > 0, a, b 的等差中项为 1/2,且 m = a + , n = b + , 则 m + n 的最小值( a b A.3 B.4 C.5 1 1 1 + + ≥9 a b c D.6



题目 9:已知 a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c = 1 求证:

1 9 题目 10:已知 a > 0, b > 0, + = 1 求 a + b 的最小值 a b
题目 11: 2007 年宁夏高考题)已知 x > 0, y > 0, x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列,则 ( 的最小值是__________ 题 目 12 : 2007 年 山东 高 考 题 )函 数 y = a1? x (a > 0, a ≠ 1) 的 图 像 恒 过 定 点 A , 并 且 A 在 直 线 (
( a + b) 2 cd

mx + ny ? 1 = 0(mn > 0) 上,则

1 1 + 的最小值是______ m n

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题目 13:设 a > 0, b > 0 且 ab ? a ? b ? 1 ≥ 0 则 a + b 的取值范围是_______ 题目 14:当 a, b ∈ R 时,下列不等式不正确的是( )

A. a 2 + b 2 ≥ 2 / a / / b /
a + b 2 a 2 + b2 ) ≤ 2 2

B. (

a+b 2 ) ≥ ab 2

C. (

D. log 1 (a 2 + b 2 ) ≥ log 1 (2 / a / / b /)
2 2

题目 15:已知 x > 0, y > 0 ,则下列不等式中不成立的是(



A. x +

1 1 + ≥2 x x+ 1 x

1 1 B. ( x + )( y + ) ≥ 4 x y D. (
lg x + lg y 2 lg 2 x + lg 2 y ) ≤ 2 2

1 1 C. ( x + y )( + ) ≥ 4 x y

1 题目 16:设实数 a, b, a > b > 0 , a + b = 1 把四个数 a 2 + b 2 , 2ab, a, 从小到大排列. 2
题目 17: a, b, c ∈ R + , 求证:
a 3 + b3 + c3 ≥ abc ,当且仅当 a = b = c 时取等号. 3

题目 18:对于正数 a1 , a2 , a3 ,..., an ,有以下不等式:

1. a1 ?

1 ≥1 a1

2. (a1 + a2 )(

1 1 + )≥4 a1 a2

3. (a1 + a2 + a3 )(

1 1 1 + + )≥9 a1 a2 a3

(1)给出不等式 3 的证明 (2)猜想不等式的一般结论

题目 19:已知 a > b > 0 ,求证

( a ? b) 2 a + b ( a ? b) 2 < ? ab < 8a 2 8b

题目 20:求证 a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 ≥ 2(a + b + c)

题目 21: 2008 年江西高考试题)若 0 < a1 < a2 ,0 < b1 < b2 , a1 + a2 = b1 + b2 = 1 ,下列数字中最大的是 ( ( )

A. a1b1 + a2 b2

B. a1a2 + b1b2

C. a1b2 + a2 b1

D.

1 2

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题目 22: 2007 年上海高考)设 a, b 为非零实数,且 a < b ,则下列命题正确的是( (



A. a 2 < b 2

B. ab 2 < a 2 b

C.

1 1 < 2 2 ab ab

D.

b a < a b

1 t +1 题目 23:设 a > 0, a ≠ 1, t > 0 ,比较 log a t与 log a 的大小. 2 2

题目 24:设 0 < x < 1, a > 0, a ≠ 1 ,试比较 / log a (1 ? x)/, / log a (1 + x) / 的大小.

1 3 题目 25:比较以下三个数 ABC 的大小, A = arccos , B = arctan 2 2, C = 2arcsin 3 5

题目 26 某个命题和正整数 n 有关,若 n = k (k ∈ N + ) 时命题成立,那么 n = k + 1 时命题也成立.已知
n=5 时命题不成立,那么( A.当 n=6 时命题不成立 C.当 n=4 时命题不成立


B.当 n=6 时命题成立 D.当 n=4 时命题成立
1 ? an+2 (a ≠ 1, n ∈ N * ), 在验证 1? a

题目 27: 2009 年山东模拟题) 用数学归纳法证明 1 + a + a 2 + ... + a n +1 = (
n=1 成立时,左边计算所的结果是( A. 1 B. 1 + a


C. 1 + a + a 2 D. 1 + a + a 2 + a 3

题目 28: 2007 年上海高考试题)设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数,且满足 f ( x) ≥ k 2 成立时, (
f (k + 1) ≥ (k + 1) 2 成立.那么下列命题正确的是( A.若 f (1) < 1 成立,则 f (10) < 100 成立 B.若 f (2) < 4 成立,则 f (1) ≥ 1 成立



C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时均有 f (k ) ≥ k 2 成立 D.若 f (4) ≥ 16 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f (k ) ≥ k 2 成立

题目 29:求证 ( x1 + x2 + ... + xn )2 = x12 + x2 2 + ... + xn 2 + 2( x1 x2 + x1 x3 + ... + xn ?1 xn ), n ≥ 2

题目 30:已知 f n ( x) = f ( f ( f (... f ( x))...), f ( x) =

x x +1
2

,求 f n ( x)

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题目 31:已知 a > 0, b > 0, n ∈ N , n ≥ 3 ,求证

a +b a+b n ) ≥( 2 2
n n

题目 32:求证:若 n 为正奇数, x n + y n 能被 x+y 整除.

题目 33:求证

1 1 1 + + ... + > 1, n ∈ N * n +1 n + 2 3n + 1

题目 34: (全国高考试题) 设数列满足 求:1. a2 , a3 , a4 并猜想通项公式

an +1 = an 2 ? nan + 1

a1 = 2

2.用数学归纳法证明通项公式

题目 35: 06 年全国高考试题) ( 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且方程 x 2 ? an x ? an = 0 有一个解为 S n ? 1 ,

n=1,2,3…
(1)求 a1 , a2 (2)求通项

题目 36: 2009 年山东模拟题)已知 f ( x) = ax 2 + x ? a, a ∈ R ( (1)若函数 f ( x) 有最大值 (2)解不等式 f ( x) > 1

17 ,求实数 a 的值. 8

题目 37: 已知不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解集为 {x / α < x < β } , 其中 β > α > 0 , 求不等式 cx 2 + bx + a < 0 的解集.

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题目 38: 2007 年全国高考题)不等式 ( 题目 39:若 a + 1 > 0, 则不等式 x ≥

x ?1 > 0 的解集是___________________ x2 ? 4

x2 ? 2 x ? a 的解集为_______________ x ?1

题目 40:不等式 ( x 2 ? 3x + 2)( x 2 ? x ? 6) < 0 的解集是 _______________ 题目 41: 2007 年江西高考试题)已知函数 f ( x) = ( 实数根为 x1 = 3, x2 = 4 (1)求函数解析式 (2)设 k > 1 解关于 x 的不等式 f ( x) <
x2 (a, b为常数) ,且方程 f ( x) ? x + 12 = 0 有两个 ax + b

(k + 1) x ? k 2? x

题目 42:关于 x 的不等式 ax ? b > 0 的解集为 (1, +∞) ,则关于 x 的不等式

ax + b > 0 的解集___ x?2

1 题目 43:已知关于 x 的方程 x 2 + ( ? 2m) x + m 2 ? 1 = 0 的两个实根在区间[0,2]内,求 m 的取值范围. 2

题目 44: 09 年海淀区二模)已知:函数 f ( x ) = ( (1)求函数 f ( x ) 的定义域及单调区间; (2)若存在实数 x ∈ ( a, 0] ,使得不等式 f ( x ) ≤

ex (其中常数 a < 0 ) . x?a

1 成立,求 a 的取值范围. 2

? 1 x < 0, ? ? + a, 题目 45: 09 年西城区二模)设 a ∈ R,函数 f ( x) = ? x ( ? x ( x ? a ) ? 1, x > 0. ?
(1)当 a=2 时,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2) 若对任何 x ∈ R,且 x ≠ 0 ,都有 f ( x) > x ? 1 ,求 a 的取值范围.

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1 题目 46: 09 年西城区二模)已知函数 f ( x) = ? x3 + x 2 + ax + b(a, b ∈ R) ( 3 (1)若 a=3,试确定函数 f ( x) 的单调区间;
(2)若函数 f ( x) 在其图象上任意一点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率都小于 2a2,求 a 的取值范围

题目 47: 09 年东城区二模)已知函数 f ( x) = ( (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 k > 1, 解关于x的不等式 : f ( x) ?

x?b , 它的图象过点(2, ?1). x ?1

x?k < 0. x ?1

题目 48: (东城)已知函数 f ( x) = log a ( x + 1) ? log a (1 ? x), a > 0, a ≠ 1 (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并予以证明 (3)若 a > 1 ,求使 f ( x) > 0 的 x 的取值范围.

答案表
题目 1:解: a 3 ? b3 = a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a 2 + ab + b 2 ) = (a ? b)(a + b) ? (a ? b)(a 2 + ab + b 2 ? a ? b) = 0 因为 a ? b ≠ 0 ,因此 a 2 + b 2 + ab ? a ? b = 0 ? (a + b)2 ? (a + b) = ab 令 t = a + b, 由均值不等式 综上 0 < t <
t t2 t2 3 > ab ? ab < ? t 2 ? t < ? t ( t ? 1) < 0 2 4 4 4

4 3 题目 2:解:三角形边长存在关系 / a ? b / < c, / a ? c / < b, / b ? c / < a ,
因此 (a ? b) 2 < c 2 , (a ? c)2 < b 2 , (b ? c) 2 < a 2 三式相加得 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca < a 2 + b 2 + c 2 ? 2ab + 2bc + 2ca > a 2 + b2 + c 2 3 3 题目 3:解: 3a + 31? a = 3a + a ,令 t = 3a ∈ (1,3) , f (t ) = t + ,当 t = 3 时取最小 f ( 3) = 2 3 t 3 当 t = 1,3 时取最大 f (1) = f (3) = 4 ,因此 2 3 ≤ 3a + 3b < 4 题目 4:解:分析法

(a + c)(b + c) + (a ? c)(b ? c) ≤ 2 ab
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? (a + c)(b + c) + (a ? c)(b ? c) + 2 (a + c)(b + c)(a ? c)(b ? c) ≤ 4ab ? 2ab + 2c 2 + 2 (a + c)(b + c)(a ? c)(b ? c) ≤ 4ab ? 2 (a + c)(b + c)(a ? c)(b ? c) ≤ 2ab ? 2c 2 ? (a + c)(b + c)(a ? c)(b ? c) ≤ ab ? c 2 ? (a 2 ? c 2 )(b 2 ? c 2 ) ≤ (ab ? c 2 )2
? a 2 b 2 ? (a 2 + b 2 )c 2 + c 4 ≤ a 2 b 2 ? 2abc 2 + c 4

? a 2 + b 2 ≥ 2ab , 均值不等式, 原式成立 题目 5:解:分析法 sin A > cos B ? sin A > sin(
题目 6 解:

π

2

? B) ? A >

π
2

? B ? A+ B >

π
2

?π ?C >

π
2

?C <

π
2

法 1: a + b < ab ? a + b ? ab < 0 ? a(1 ? b) + b ? 1 + 1 < 0 ? ?(a ? 1)(b ? 1) + 1 < 0 ? (a ? 1)(b ? 1) > 1 a+b 1 1 1 1 1 1 < 1 ? + < 1 ,由于 < , < ,因此成立 法 2: a + b < ab ? ab a b a 2 b 2 题目 7:解: c ? c 2 ? ab < a < c + c 2 ? ab ? ? c 2 ? ab < a ? c < c 2 ? ab ? / a ? c / < c 2 ? ab ? a 2 ? 2ac + c 2 < c 2 ? ab ? a 2 ? 2ac + ab < 0 ? a(a + b ? 2c) < 0 由于 a > 0, a + b < 2c, a(a + b ? 2c) < 0 成立. 1 1 1 1 a b 题目 8 解: a + b = 1 , m + n = a + b + + = 1 + ( + )(a + b) = 1 + 1 + + ≥ 2 + 2 = 4 a b a b b a 题目 9:解:略 题目 10:解:略 题目 11:解:4 题目 12:解:4 题目 13:解: ≥ 2( 2 + 1) 题目 14:解:略 题目 15:解:略

1 1 1 , b < ? 2ab < a , 1 = a + b > 2 ab ? 2ab < , 2 2 2 2 2 2 a + b ? a = 1 ? 2ab ? a = 1 ? 2a (1 ? a ) ? a = 2a ? 3a + 1 = (2a ? 1)(a ? 1) < 0 ? a 2 + b 2 < a 1 1 1 1 a 2 + b 2 ? = 1 ? 2ab ? = ? 2ab > 0 ? a 2 + b 2 > 2 2 2 2 1 因此 a > a 2 + b 2 > > 2ab 2 题目 17:解:类比二次,可以写出 (a ? b) 2 + (b ? c)2 + (c ? a) 2 ≥ 0 ? a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
题目 16:解: a 2 + b 2 > 2ab , a >
a 3 + b3 + c 3 ≥ abc ? a 3 + b3 + c3 ? 3abc ≥ 0 ? (a + b)3 ? 3a 2 b ? 3ab 2 + c 3 ? 3abc ≥ 0 3 ? (a + b + c)((a + b) 2 ? (a + b)c + c 2 ) ? 3ab(a + b + c) ≥ 0 ? (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? bc ? ca ) ≥ 0

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上式当且仅当 a = b = c 时取等号. a a a a a a 1 1 1 题目 18:解: 1) (a1 + a2 + a3 )( + + ) ≥ 9 ? 3 + 1 + 2 + 2 + 3 + 1 + 3 ≥ 9 ( a1 a2 a3 a2 a1 a3 a2 a3 a1 由于 因此

a a1 a2 a a a + ≥ 2, 2 + 3 ≥ 2, 1 + 1 ≥ 2 , a2 a1 a3 a2 a3 a3 a1 a2 a2 a3 a1 a3 + + + + + ≥ 6 ,上式成立 a2 a1 a3 a2 a3 a1 1 1 1 + + ... + ) ≥ n 2 a1 a2 an

(2) (a1 + a2 + ... + an )( 题目 19:解:

( a ? b) 2 a + b ( a ? b) 2 < ? ab < 8a 2 8b 2 2 ( a ? b) ( a ? b) ( a ? b) 2 ? < < 8a 2 8b a?b a?b ? < a? b< 2 a 2 b

?
?

( a ? b )( a + b ) 2 a
a+ b a b a <2< b a b

< a? b<

( a ? b )( a + b ) 2 b

a+ b

?1+ ? b a

< 2 <1+ a b

<1<

,由于 a > b > 0,

b a

<1<

a b

成立.

题目 20:解:先证明 因此

a 2 + b2 a + b b2 + c 2 b + c a 2 + c 2 a + c ≥ ≥ ≥ , , 2 2 2 2 2 2 2(a + b + c) = 2(a + b + c) a 2 + b2 + b2 + c 2 + c 2 + a 2 ≥ 2

题目 21:解:A 题目 22:解:C 解析:做差即可. 题目 23:解:若 0 < a < 1,log a

t +1 1 t +1 1 ≤ log a t ,若 a > 1, log a ≥ log a t 2 2 2 2

题目 24:解:利用相减或相除的办法.如

/ ln(1 ? x) / / ln(1 + x) / 1 (/ ln(1 ? x) / ? / ln(1 + x)/) ? = / ln a / / ln a / / ln a / 1 1 1 = (? ln(1 ? x) ? ln(1 + x)) = ? ln(1 ? x)(1 + x) = ? ln(1 ? x 2 ) > 0 / ln a / / ln a / / ln a / 因此 / log a (1 ? x)/ > / log a (1 + x) / / log a (1 ? x) / ? / log a (1 + x)/ =
题目 25:解:统统化成 cos

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1 1 C 3 C 7 cos A = , tan B = 2 2 ? cos B = ,sin = ? cos C = 1 ? 2sin 2 = 3 3 2 5 2 25
因为 cos A = cos B > cos C ? A = B < C 题目 26:解:C 题目 27:解:C 题目 28:解:略 题目 29:证明:当 n = 2 时,左边 = ( x1 + x2 ) 2 ,右边 = x12 + x2 2 + 2 x1 x2 ,等式成立. 假设 n = k (k ∈ N * , k ≥ 2) 时等式成立,即
( x1 + x2 + ... + xk )2 = x12 + x2 2 + ... + xk 2 + 2( x1 x2 + x1 x3 + ... + xk ?1 xk ) 那么当 n = k + 1 时, 左边 = ( x1 + x2 + ... + xk + xk +1 ) 2 = ( x1 + ... + xk ) 2 + xk +12 + 2 xk +1 ( x1 + ... + xk ) = x12 + ... + xk 2 + 2( x1 x2 + ... + xk ?1 xk ) + xk +12 + 2 xk +1 ( x1 + ... + xk ) = x12 + ... + xk +12 + 2( x1 x2 + ... + xk xk +1 ) =右边 等式也成立. 综上所述,当 n 取 2 开始的所有正整数时,等式都成立. x x 2 x x x 2 x2 + 1 = x +1 = 题目 30:解: f1 ( x) = , f 2 ( x) = , f 3 ( x) = 2 2 2 2 2x + 1 3x 2 + 1 x +1 x x +1 +1 2 x2 + 1 x2 + 1 x 猜想, f n ( x) = nx 2 + 1 x 数学归纳法:n=1 时结论成立,假设 n=k 时结论成立,即 f k ( x) = ,那么 kx 2 + 1 x f k ( x) x kx 2 + 1 = ,结论也成立. = n=k+1 时, f k +1 ( x) = 2 2 f k ( x) + 1 x (k + 1) x 2 + 1 +1 kx 2 + 1 x 综上所述,当 n 取 1 开始的所有正整数时, f n ( x) = 都成立. nx 2 + 1 题目 31:证明:设 n = 1 ,结论成立. a k + bk a+b k 假设 n = k 时结论成立,即 ) ,那么 n = k + 1 时 ≥( 2 2 a + b k +1 a + b a + b k a + b a k + b k a k +1 + b k +1 + ab k + ba k 右边 = ( ) = ( ) ≤ ( )= 2 2 2 2 2 4 a k + bk 左边 = 2 a k +1 + b k +1 ? ab k ? ba k a k (a ? b) + b k (b ? a ) (a k ? b k )(a ? b) 左边?右边= = = 4 4 4 k k 由于 a ? b 与 a ? b 要么都为 0,要么同号,因此左边?右边 ≥ 0 ,不等式也成立.
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综上所述,n 取 1 开始的所有正整数时,不等式都成立. 题目 32:证明:设 n = 2m ? 1, m ∈ N * 当 m = 1 时, x + y 能被 x + y 整除. 假设当 m = k 时结论成立,即 x 2 k ?1 + y 2 k ?1 能被 x + y 整除, 则 m = k + 1 时
x 2 k +1 + y 2 k +1 = x 2 ( x 2 k ?1 + y 2 k ?1 ) ? x 2 y 2 k ?1 + y 2 k +1 = x 2 ( x 2 k ?1 + y 2 k ?1 ) ? y 2 k ?1 ( x 2 ? y 2 )

显然右边能被 x+y 整除,因此结论成立.综上所述,结论都成立. 1 1 1 题目 33:证明:n=1 时 + + > 1 成立. 2 3 4 1 1 1 假设 n=k 成立即 + + ... + > 1 ,则 n=k+1 时 k +1 k + 2 3k + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + =( + + ... + )? + + + 左边 = k +2 k +3 3k + 4 k + 1 k + 2 3k + 1 k + 1 3k + 2 3k + 3 3k + 4 1 1 1 1 1 1 2 >1? + + + = + ? k + 1 3k + 2 3k + 3 3k + 4 3k + 2 3k + 4 3k + 3 (3k + 4)(3k + 3) + (3k + 2)(3k + 3) ? 2(3k + 2)(3k + 4) 5 =1+ =1 + >1 (3k + 2)(3k + 4)(3k + 3) (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) 因此不等式也成立,综上,不等式成立. 题目 34: 解析:1. a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, a4 = 5 ,猜想 an = n + 1

2.假设 n=k 时猜想正确即 ak = k + 1 ,那么 n=k+1 时
ak +1 = ak 2 ? kak + 1 = (k + 1) 2 ? k (k + 1) + 1 = k + 2 也成立

3.n=1 时 a1 ≥ 1 + 2 不等式成立
假设 n=k 时不等式成立,即 ak ≥ k + 2 那么 n=k+1 时
ak +1 = ak 2 ? kak + 1 = ak (ak ? k ) + 1 ≥ (k + 2)2 + 1 = k + 3 + k + 2 ≥ k + 3 也成立 1 题目 35: a1 = 1 / 2 , a2 = 1 / 6 , ak = k (k + 1) 解析: (1) a1 = S1 ,代入根 a1 ? 1 可以得到 a1 = 1 / 2 ,同理得到 a2 = 1 / 6 1 (2)计算 a3 = 1 / 12 ,猜想 an = n(n + 1) 用第二数学归纳法证明 假设 n=1,2,3….,k?1 时,上式都成立,那么 1 1 1 1 Sk ?1 = + + ... + =1? , 1× 2 2 × 3 (k ? 1)k k 1 方程 x 2 ? ak x ? ak = 0 的根为 x = Sk ?1 + ak ? 1 = ak ? k
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a 2 1 代入方程 ak 2 ? ak + 2 ? ak 2 + k ? ak = 0, k k k 1 ak = k (k + 1) 题目 36:解: 1 (1) a = ?2, ? 8 1 1 1 1 1 1 (2) a = 0, x > 1; a > 0, x > 1, x < ?1 ? ; a = ? , Φ; ? < a < 0,1 < x < ?1 ? ; a < ? , ?1 ? < x < 1 a 2 2 a 2 a 1 1 题目 37:解: x > , x <

α

β

题目 38:解: (?2,1) ∪ (2, +∞) 题目 39:解:略 题目 40:解:略
x2 ( x ≠ 2) 2? x (2) 1 < k ≤ 2,(1, k )(2, +∞); k > 2, (1, 2)(k , +∞) 题目 42:解: (?∞, ?1) ∪ (2, +∞)

题目 41:解: 1) f ( x) = (

题目 43:解:[1,17/18] 题目 44:解: 1)单调递增区间为 ( a + 1, +∞ ) ,单调递减区间为 ( ?∞, a ) , ( a, a + 1) ( (2) a ≤ ln

1 ?1 2
(2) ?3 < a < ?

2 2 题目 45 解: 1)增区间为 (?∞,0) 和 ( , +∞) ,减区间为 (0, ) . ( 3 3

1 4

1 题目 46 解: 1)单调增区间为 (?1,3) ,减区间为 (?∞, ?1) , (3, +∞) (2) {a | a > 1 或 a < ? } ( 2 x?3 题目 47 解: 1) f ( x) = ( x ?1 (2)当 k > 3 时,不等式的解集为 { x 3 < x < k } ;
题目 48 解: 1) x + 1 > 0,1 ? x > 0 ? x ∈ (?1,1) (

当 1 < k < 3 时,不等式的解集为 { x k < x < 3} ;当 k = 3 时,不等式的解集为空集.

1+ x 1? x 1+ x , f (? x) = log a = ? log a = ? f ( x) 1? x 1+ x 1? x 1+ x 1+ x 2x >0? >1? > 0 ? 2 x( x ? 1) < 0 ? x ∈ (0,1) (3) log a 1? x 1? x 1? x
(2)显然奇函数,因为 f ( x) = log a

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