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椭圆、双曲线综合能力测试



椭圆、双曲线综合能力测试
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) x2 y2 1.椭圆 + =1 的焦点坐标是( 3 2 A.(± 5,0) C.(± 1,0) [答案] C [解析] ∵a2=3,b2=2,∴c2=1. 又焦点

在 x 轴上,故选 C. x2 y2 2.已知双曲线方程为 - =1,那么它的半焦距是( 20 5 A.5 C. 15 2 B.2.5 D. 15 ) )

B.(0,± 5) D.(0,± 1)

[答案] A [解析] ∵a2=20,b2=5,∴c2=25,∴c=5. 3.平面内两定点的距离为 10,则到这两个定点的距离之差的绝对值为 12 的点的轨迹 为( ) A.双曲线 C.射线 [答案] D [解析] 设两定点为 A、B,则平面内到两定点 A、B 的距离的差的绝对值小于或等于这 两定点的距离. x2 y2 4.设 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 是椭圆的焦点,若|PF1|等于 4,则|PF2|等于 169 25 ( A.22 C.20 [答案] A [解析] 由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=26,因为|PF1|=4,所以|PF2|=22. B.21 D.13 ) B.线段 D.不存在

x2 y2 5.以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4 12 x2 y2 A. + =1 16 12 x2 y2 C. + =1 16 4 [答案] D x2 y2 B. + =1 12 16 x2 y2 D. + =1 4 16

)

x2 y2 y2 x2 [解析] 将 - =-1 化为 - =1,易知双曲线的焦点在 y 轴上,焦点为(0,± 4), 4 12 12 4 x2 y2 顶点为(0,± 3),所以椭圆的 a=4,c=2 3,因此 b2=16-12=4,所以椭圆方程为 + 2 4 16 =1. 6.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于( 1 A.- 4 C.4 [答案] A [解析] 双曲线 mx2+y2=1 的方程可化为: y2- x2 =1, 1 - m B.-4 1 D. 4 )

1 ∴a2=1,b2=- ,由 2b=4a, m ∴2 1 1 - =4,∴m=- . m 4 6 ,F1、F2 分别为它的左、右焦点,若过 F1 的直 2 )

7.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

线与双曲线的左支交于 A、B 两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项, ,则|AB|等于( A.8 2 C.2 2 [答案] A c 6 [解析] ∵ = ,2b=4,∴a2=8,a=2 2, a 2 |AF2|-|AF1|=2a=4 2, |BF2|-|BF1|=2a=4 2, 两式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=8 2, 又∵|AF2|+|BF2|=2|AB|,|AF1|+|BF1|=|AB|, ∴|AB|=8 2. B.4 2 D.8

8.已知动圆 P 过定点 A(-3,0),并且与定圆 B:(x-3)2+y2=64 内切,则动圆的圆心 P 的轨迹是( A.线段 C.圆 [答案] D [解析] 如下图,设动圆 P 和定圆 B 内切于 M,则动圆的圆心 P 到两点,即定点 A(- 3,0)和定圆的圆心 B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|= 8.∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,故选 D. ) B.直线 D.椭圆

x2 y2 9.3<m<5 是方程 + 2 =1 表示的图形为双曲线的( m-5 m -m-6 A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 [答案] A [解析] 当 3<m<5 时,m-5<0,m2-m-6>0, x2 y2 ∴方程 + 2 =1 表示双曲线. m-5 m -m-6 x2 y2 若方程 + =1 表示双曲线,则 m-5 m2-m-6 (m-5)(m2-m-6)<0, ∴m<-2 或 3<m<5,故选 A.

)

10.已知椭圆的长轴长为 20,短轴长为 16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围 是( ) A.[6,10] C.[8,10] [答案] C [解析] 由题意知 a=10,b=8,设椭圆上的点 M(x0,y0),由椭圆的范围知,|x0|≤a=
2 x2 x2 y0 0 0 10, 0|≤b=8, M 到椭圆中心的距离 d= x2+y2, |y 点 + =1, 所以 y2=64?1-100? 0 0 又因为 0 ? ? 100 64

B.[6,8] D.[16,20]

=64-

16 2 x ,则 d= 25 0

16 x2+64- x2 = 0 25 0

9 2 9 x +64,因为 0≤x 2 ≤100,所以 64≤ x 2 + 0 25 0 25 0

64≤100,所以 8≤d≤10.故选 C. x2 y2 11.双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y=-x,则双曲线方程 16 64 为( ) A.x2-y2=96 C.x2-y2=80 [答案] D x2 y2 [解析] ∵椭圆 + =1 的焦点(0, 4 3)为双曲线焦点, ± 又它的一条渐近线为 y=-x, 16 64 ∴双曲线方程为 y2-x2=24. 12.(2010· 辽宁文,9)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 C. 3+1 2 B. 3 D. 5+1 2 ) B.y2-x2=160 D.y2-x2=24

[答案] D [分析] 考查双曲线的渐近线方程及如何用 a,b,c 三者关系转化出离心率 [解析] 设 F(-c,0) B(0,b)则 KFB= b c

b 与直线 FB 垂直的渐近线方程为 y=- x a ∴ b a = ,即 b2=ac c b

又 b2=c2-a2,∴有 c2-a2=ac 1± 5 两边同除以 a2 得 e2-e-1=0∴e= 2 1+ 5 ∵e>1,∴e= ,选 D. 2 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) x2 y2 13.与双曲线 - =1 有共同的渐近线,并且经过点(-3,3 2)的双曲线方程为 9 16 __________. [答案] y2 8x2 - =1 2 9

x2 y2 [解析] 设双曲线方程为: - =λ(λ≠0) 9 16

1 又点(-3,3 2)在双曲线上,∴λ=- . 8 y2 8x2 故双曲线方程为 - =1. 2 9 x2 y2 14.双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为______. 4 3 [答案] 3

x2 y2 3 [解析] 双曲线 - =1 的一条渐近线方程为:y= x,焦点 F( 7,0)到该渐近线的 4 3 2 距离为: 3× 7 = 3. 3+4

x2 y2 2 15.若椭圆 + =1 的离心率为 e= ,则实数 m 的值等于________. 5 m 2 5 [答案] 10 或 2 [解析] 若 m<5,则 e= =10. x2 y2 16.F1,F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 3 a b 的正三角形,则 b2 的值是________. [答案] 2 3 1 3 [解析] 由题意可知 ×c× c= 3,∴c=2, 2 2 x2 y2 1 3 故 P(1, 3)在椭圆 2 + 2=1 上,即 2 + 2=1,解得 b2=2 3. b +4 b b +4 b 三、解答题(共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)求下列双曲线的标准方程. x2 y2 (1)与椭圆 + =1 共焦点,且过点(-2, 10)的双曲线; 16 25 x2 y2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双曲线. 16 4 x2 y2 [解析] (1)∵椭圆 + =1 的焦点为(0,± 3), 16 25 y2 x2 ∴所求双曲线方程设为: 2- =1, a 9-a2 又点(-2, 10)在双曲线上, ∴ 10 4 =1,解得 a2=5 或 a2=18(舍去). 2- a 9-a2 5-m m-5 2 5 2 = ,解得 m= ;若 m>5,则 e= = ,解得 m 2 2 2 5 m

y2 x2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 5 4 x2 y2 (2)∵双曲线 - =1 的焦点为(± 5,0), 2 16 4 x2 y2 ∴设所求双曲线方程为: 2- =1, a 20-a2 又点(3 2,2)在双曲线上, ∴ 18 4 - =1,解得 a2=12 或 30(舍去), a2 20-a2

x2 y2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 12 8 18.(本题满分 12 分)方程 x2sinα-y2cosα=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 α 的取值范 围. [分析] 根据焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程的特点,先将条件方程化为标准式,得到 关于 α 的关系式,再求 α 的取值范围. [解析] ∵x2sinα-y2cosα=1,∴ x2 y2 + =1. 1 1 - sinα cosα

又∵此方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,

? ? 1 ∴?-cosα>0 ?sinα<-cosα ?1 1
1 >0 sinα

? ?sinα>0 ,即? , ? ?0<-cosα<sinα

π 3 ∴2kπ+ <α<2kπ+ π(k∈Z). 2 4 π 3π 故所求 α 的范围为?2kπ+2,2kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ? 19.(本题满分 12 分)已知动圆 M 与⊙O1:x2+(y-1)2=1 和⊙O2:x2+(y+1)2=4 都外 切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. [解析] 设动圆圆心 M 的坐标为(x,y),半径为 r, 由题意得|MO1|=1+r,|MO2|=2+r, ∴|MO2|-|MO1|=2+r-1-r=1<|O1O2|=2, 由双曲线定义知, 动圆圆心 M 的轨迹是以 O1、 2 为焦点, O 实轴长为 1 的双曲线的上支, 4 3 双曲线方程为:4y2- x2=1.(y≥ ) 3 4 x2 y2 20.(本题满分 12 分)如图,点 A 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的短轴位于 x 轴下方的端 a b

→ → 点,过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于 B 点,P 点在 y 轴上,且 BP∥x 轴,AB· =9. AP

(1)若 P 的坐标为(0,1),求椭圆 C 的方程; (2)若 P 的坐标为(0,t),求 t 的取值范围. [解析] (1)A(0,-b),l 的方程为 y+b=x,P(0,1),则 B(1+b,1), → → AB=(1+b,1+b),AP=(0,b+1), → → 又∵AB· =9,∴(1+b,1+b)· AP (0,b+1)=9, 即(b+1)2=9,∴b=2, 9 1 ∴点 B(3,1)在椭圆上,∴ 2+ =1,∴a2=12, a 4 x2 y2 所求的椭圆方程为 + =1. 12 4 (2)P(0,t),A(0,-b),B(t+b,t), → → → → AB=(t+b,t+b),AP=(0,t+b),AB· =9, AP ∴(t+b)2=9,∴b=3-t,B(3,t),
2 9 t2 2 3(t-3) 代入椭圆 2+ =1,∴a = , a (3-t)2 3-2t

3(t-3)2 3 ∵a2>b2,∴ >(3-t)2,∴0<t< . 2 3-2t x2 y2 21.(本题满分 12 分)设 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,点 P 在双曲 a b → → → → 线上,若PF1· 2=0,且|PF1|· 2|=2ac,其中 c= a2+b2,求双曲线的离心率. PF |PF [解析] 由双曲线定义知,||PF1|-|PF2||=2a, ∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· 2|=4a2, |PF 又|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴|PF1|· 2|=2b2, |PF → → 又|PF1|· 2|=2ac,∴2ac=2b2, |PF 1+ 5 ∴b2=c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,∴e= , 2 1+ 5 即双曲线的离心率为 . 2 22.(本题满分 14 分)若椭圆的中心为原点,焦点在 x 轴上,点 P 是椭圆上的一点,P 在 x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点, 与中心 O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线, P 且左

焦点与左顶点的距离等于 10- 5,试求椭圆的离心率及其方程. x2 y2 c2 b4 b2 [解析] 令 x=-c 代入 2+ 2=1(a>b>0),得 y2=b2(1- 2)= 2,∴y=± . a b a a a b2 设 P?-c, a ?,而椭圆的右顶点 A(a,0),上顶点 B(0,b). ? ? b2 b ∵OP∥AB,∴kOP=kAB,∴- =- , ac a c 2 ∴b=c;而 a2=b2+c2=2c2,∴a= 2c,∴e= = . a 2 又∵a-c= 10- 5,解得 a= 10,c= 5,∴b= 5, x2 y2 ∴所求的椭圆方程为: + =1. 10 5



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