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山东省滕州市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题



2014-2015 学年度山东省滕州市第一中学高二第一学期期中考试 数学试题(理)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确答案的代号填涂在答卷的相应表格内) 1.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 S9 等于( A.18 B.36 C.45 ) D.60

2.设 ? an ? 是由正数组成的等比数列,且 a5a6 ? 81 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? L ? log3 a10 的值 是 A.20 B.10 C .5 D.2 或 4

3.如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 + a3 ?…+ a7 = A.35 B.28 C.21 D.14

4.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么它的公比为 A.

3 4

B.

2 3

C.

3 2

D.

4 3

5.△ABC 中,

cos A a ? ,则△ABC 一定是 cos B b
B.直角三角形 D.等边三角形

A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

6.在△ABC 中,∠A=60° ,a= 6 ,b=4,满足条件的 △ABC A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.有无数多个

7.下列不等式的解集是空集的是 A.x2-x+1>0 8.若 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 D.x2+x>2

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式中,正确的不等式有 a b b a ① a ? b ? ab ②a ?b ③a ? b ④ ? ?2 a b
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

-1-

二、填空题(本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卷中相应位置) 9.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|10. 若x ? 0, y ? 0, 且

1 1 ? x ? },则 a+b=________. 2 3


1 4 ? ? 1,则 x ? y 的最小值是 x y

11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖 12. 7 ? 3 5 与 7 ? 3 5 的等比中项为

块. .

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域的面积为________. ?y ? 0 ?
14.已知钝角△ABC 的三边 a=k,b=k+2,c=k+4,求 k 的取值范围 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.请将详细解答过程写在答卷上) 15. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? b
2

(1)若 b=2,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R,求实数 b 的取值范围。 16. (本小题满分 13 分) 在四边形 ABCD 中, BC ? 2, DC ? 4 ,且 ?A : ?ABC : ?C : ?ADC ? 3 : 7 : 4 :10 ,求 AB 的长.

17. (本小题满分 13 分) (1)设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N ? .

-2-

求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)已知数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? ?n2 ? 4n ,求 Tn 的最大值和通项 bn . 18. (本小题满分 14 分) 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b . (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 19. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? (n ? N ) 满足 a0 (1)求 a2 , a3 的值; (2)证明:数列 {an ? an?1} 为等差数列; (3)求数列 ?an ? 的通项公式; (4)设 Tn ?

? 0, a1 ? 2, 且对一切 n ? N ,有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 .

1 1 1 1 1 ? ? ??? ,求证: Tn ? . 3a1 4a 2 5a3 (n ? 2)a n 4

20. (本小题满分 14 分)某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装修费为 1 万元, 以后每年增加 2 万元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 46 万元出售该楼; ②纯利润总和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?

2014-2015 学年度山东省滕州市第一中学高二第一学期期中考试 数学试题(理)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1-5CABCA 6-8ACB 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) 9.-14 10.9 11.4n+2 12.± 2 13.2 14. (2,6)

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)

-3-

解: (1)b=2 时, f ( x) ? 0 化成
2

x 2 ? 2 x ? 2? 0。 。 。 。 。 。 。 。1 分

令 x ? 2 x ? 2 ? 0 得 x1 ? ?1 ? 3, x2 ? ?1 ? 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 不等式的解集为: {x | x ? ?1 ? 3或x>-1+ 3} 。 。 。 。 。 。 。5 分
2 (2) x ? bx ? b ? 0 的解集为 R,则 ? ? 0 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分

b2 ? 4b ? 0,
-4<b<0

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 b(b? 4) ? 0 。

……………………11 分 ………………. .12 分

实数 b 的范围是(-4,0)

16.解:连结 BD ,由题意得

?A ? 45? , ?ABC ? 105? , ?C ? 60? , ?ADC ? 150? …………………4 分
在 ?BCD 中, BD ? BC ? CD ? 2BC ? CD cos C
2 2 2

? 22 ? 42 ? 2 ? 2 ? 4 ?

1 ? 12 2

.7 分 ? BD ? 2 3 ……………………………………….

BD2 ? BC 2 ? CD2

??CBD ? 90?

??ABD ? 15?

??BDA ? 120? …………………………………10 分
在 ?ABD 中,

AB BD ? sin ?ADB sin ?A

? AB ?

BD sin ?ADB 2 3 sin120? ? ? 3 2 ……………………13 分 sin ?A sin 45? an ?1 ?3 an

17.解: (1)由 an?1 ? 3an 得

。 。 。 。 。 。 。 。2 分 {an } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列。

an ? 3n?1............... 4 分
1 ? 3n 1 n Sn ? ? (3 ? 1)............... 6 分 1? 3 2
(2) Tn ? ?n ? 4n ? 4 ? (n ? 2) ............ 8 分
2 2

-4-

当 n=2 时, Tn 取得最大值 4。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 b1 ? T1 ? 3 。 当 n≥2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?2n ? 5................ 12 分

b1 也适合上式,所以 bn ? ?2n ? 5......... 13 分
18.解: (1)由已知得到: 2sin Asin B ? 3sin B ,且

? 3 ? ? ,且 A ? (0, ) ? A ? ; B ? (0, ) ?sin B ? 0 ?sin A ? 2 3 2 2
(2)由(1)知 cos A ?

1 ,由已知得到: 2

1 28 36 ? b2 ? c2 ? 2bc ? ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? 2 3
所以 S ?ABC ?

1 28 3 7 ? ? ? 3; 2 3 2 3
……………………………………2 分

19.解析: (1) a2 ? 6, a3 ? 12 (2)由 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? 2 可得:

(an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2
∴数列 ?an ? an?1 ?为等差数列,且首项 a1 ? a0 ? 2 ? 0 ? 2 ,公差为 2 …………6 分 (3)∴ an ? an?1 ? ? a1 ? a0 ? ? 2 ? n ?1? ? 2 ? 2 ? n ?1? ? 2n ∴ ……8 分

an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ?

? ? an ? an ?1 ? ? 2 ? 4 ? 6 ?

? 2n ?

n(2 ? 2n) ? n(n ? 1) 2

…………………………………10 分 (4)由(2)可知:

? 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? (n ? 2)an n(n ? 1)(n ? 1) 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ?
∴ Tn ?

…………12 分

1 1 1 ? ? ? 3a1 4a2 5a3

?

1 (n ? 2)an

-5-

1 ? 1 1 1 1 ? ? ?( ? )?( ? )? 2 ? 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4

?(

? 1 1 ? )? n ? (n ? 1) (n ? 1) ? (n ? 2) ?
…14 分

? 1 1 ? 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? 2 ?1? 2 (n ? 1) ? (n ? 2) ? 4 2(n ? 1) ? (n ? 2) 4
? Tn ? 1 4

20.解: (Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元 n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 共n?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 。 。 。 。 。 。 。2 分 2

因此利润 y ? 30n ? (81? n 2 ) , 。 。 。 。 。 。 。4 分 令y?0 解得: 3 ? n ? 27 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分

所以从第 4 年开始获取纯利润. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 (Ⅱ)年平均利润 W ?

30n ? (81? n 2 ) 81 ? 30 ? ? n 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 n n
81 ? n ,即 n=9 时取等号) n

? 30 ? 2 81 ? 12(当且仅当

所以 9 年后共获利润:12 ? 9 ? 46 =154(万元) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分 利润 y ? 30n ? (81? n ) ? ?(n ? 15) ? 144
2 2

所以 15 年后共获利润:144+ 10=154 (万元) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。13 分 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案②

-6-



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