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口算圆锥曲线第一讲



旺哥带你飞之口算圆锥曲线系列

主讲:旺哥 旺哥数学 QQ 群: 546398976 2016.5.11

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第一讲:弦长公式这么大
圆锥曲线运算体系: 直曲联立求韦达 条件代数消坐标 得到系数求定最

? 核心公式:

1 / 2ab a

2 A2 ? b 2 B 2 ? 2C 2 2 a 2b 2 ( A2 ? B 2 )(a 2 A2 ? b 2 B 2 ? C 2 ) a 2 A2 ? b 2 B 2
小方积,大方和。 成对去虐单身方。 见走单身去下方。

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【2014 年新课标Ⅰ卷理科】

? 2 ? ,椭圆 E: 1.已知点 A ? 0,

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ;F 是椭圆 E 的右 2 a b 2

焦点,直线 AF 的斜率为 (I)求 E 的方程;

2 3 ,O 为坐标原点 3

(II)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点。当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的直线 方程.

【2015 浙江理科卷】 2.已知椭圆

x2 1 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A , B 关于直线 y ? mx ? 对称. 2 2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) .

【2013 新课标Ⅱ卷理科】 3 . 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 过 椭 圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右 焦 点 的 直 线 a 2 b2

1 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2
(Ι )求 M 的方程; (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形面积的最大值.

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【2011 年北京卷理科】

x2 ? y 2 ? 1 .过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两 4.已知椭圆 G : 4
点. (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.

【2005 全国Ⅱ卷理科】
? ? y2 ? 1 上, 5.P、 Q、 M、 N 四点都在椭圆 x ? F 为椭圆在 y 轴正半轴的焦点, 已知 PF 与 FQ 2

2

共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 . 求四边形 PMQN 的面积最小值和最大值.

?

?

?

?

总结:

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参考答案 1. (I)

x2 7 7 ? y 2 ? 1; (II) y ? x ? 2. x ? 2或 y ? ? 4 2 2

【解析】 试题分析: (I)由直线 AF 的斜率为

2 3 3 ,可求 c ? 3 .并结合 e ? 求得 a ? 2 ,再利 3 2

用 b2 ? a 2 ? c 2 求 b ,进而可确定椭圆 E 的方程; (II)依题意直线 l 的斜率存在,故可设直 线 l 方程为 y ? kx ? 2 ,和椭圆方程联立得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16kx ? 12 ? 0 .利用弦长公式表示

4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3 , 利 用 点 到 直 线 l 的 距 离 求 ?O P Q 的 高 PQ ? k ? 1 x1 ? x2 ? 4k 2 ? 1
2

2 k 2 ?1

.从而三角形 ?OPQ 的面积可表示为关于变量 k 的函数解析式 f ( k ) ,再求函数最

大值及相应的 k 值,故直线 l 的方程确定. 试题解析: (I)设右焦点 F (c, 0) ,由条件知,

2 2 3 ,得 c ? 3 . ? c 3



x2 c 3 ? y 2 ? 1. ,所以 a ? 2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 .故椭圆 E 的方程为 ? 4 a 2

(II)当 l ? x 轴时不合题意,故设直线 l : y ? kx ? 2 , P(x1 , y1 ),Q(x 2 , y2 ) . 将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16kx ? 12 ? 0 .当 ? ? 16(4 k2 ? 3) ? 0 ,即 4

k2 ?

3 时, 4

8k ? 2 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3 2 x1,2 ? . 从而 PQ ? k ? 1 x1 ? x2 ? . 又点 O 到直线 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
PQ 的距离 d ?

2 k 2 ?1

, 所以 ?OPQ 的面积 S?OPQ

1 4 4k 2 ? 3 2 ? d ? PQ ? . 设 4k ? 3 ? t , 则t ? 0 , 2 2 4k ? 1

S?OPQ ?

4 7 4t 4 .因为 t ? ? 4 ,当且仅当 t ? 2 时, k ? ? 时取等号,且满足 ? t 2 t ?4 t? 4 t
2

答案第 1 页,总 4 页

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? ? 0 .所以,当 ?OPQ 的面积最大时, l 的方程为 y ?

7 7 x ? 2. x ?2或 y ? ? 2 2

【考点定位】1、椭圆的标准方程及简单几何性质;2、弦长公式;3、函数的最值. 2. (1) m ? ? 【解析】

6 2 6 或m ? ; (2) . 3 2 3

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?2 (1)可设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b ,从而可知 ? 有两个不同 m 1 ?y ? ? x ?b ? m ?
的解,再由 AB 中点也在直线上,即可得到关于 m 的不等式,从而求解; (2)令 t ?

将 ?AOB 表示为 t 的函数,从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值,从而求解.

1 ,可 m

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?2 试题解析: (1)由题意知 m ? 0 ,可设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b ,由 ? , m 1 ? y ? ? x ?b ? m ?
消去 y ,得 ( ?

1 2

x2 1 1 2 2b 2 y ? ? x ? b ? y 2 ? 1 有两 ) x ? x ? b ? 1 ? 0 ,∵直线 与椭圆 2 m m m 2 2mb m 2b 4 ? 0 M ( , ) 代入直线 ,①,将 AB 中点 m2 m2 ? 2 m2 ? 2

2 个不同的交点,∴ ? ? ?2b ? 2 ?

方程 y ? mx ?

m2 ? 2 1 6 6 解得 b ? ? ,②。由①②得 m ? ? 或m ? ; (2)令 2 2 2m 3 3

t?

1 6 6 ? (? ,0) ? (0, ) ,则 | AB |? t 2 ? 1 ? m 2 2

?2t 4 ? 2t 2 ? t2 ? 1 2

3 2 ,且 O 到直线 AB

1 2 ,设 ?AOB 的面积为 S (t ) , 的距离为 d ? 2 t ?1 t2 ?
∴ S (t ) ?

1 1 1 2 1 | AB | ?d ? ?2(t 2 ? )2 ? 2 ? , 当且仅当 t 2 ? 时, 等号成立, 故 ?AOB 2 2 2 2 2
2 . 2
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面积的最大值为

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考点:1.直线与椭圆的位置关系;2.点到直线距离公式;3.求函数的最值. 【答案】(Ι )

x2 y 2 1 8 6 ? ? 1 (Ⅱ) | AB | ? | CD |? 2 6 3 3 x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1(1) ? ? 1(2) , , (1)-(2)得: a 2 b2 a 2 b2

【解析】(Ι )设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) y ? y2 ? ? 0 ,因为 1 ? ?1 ,设 P( x0 , y0 ) ,因为 P 为 AB 2 2 a b x1 ? x2
的中点, 且 OP 的斜率为

1 1 1 (x 2 ? x ), , 所以 y0 ? x0 , 即 y1 ? y 所以可以解得 a 2 ? 2b 2 , 2 ? 1 2 2 2

2 2 2 即 a2 ? 2(a2 ? c2 ) , 即 a ? 2c , 又因为 c ? 3 , 所以 a ? 6 , 所以 M 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 6 3

(Ⅱ)因为 CD⊥AB,直线 AB 方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,所以设直线 CD 方程为 y ? x ? m , 将 x ? y ? 3 ? 0 代入 所以可得

x2 y 2 4 3 3 ? ? 1 得: 3x2 ? 4 3x ? 0 ,即 A(0, 3) 、 B( ,? ), 6 3 3 3

| AB |?

x2 y 2 4 6 ? m代 入 ? ? 1 得 : 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 6 ? 0 , 设 ; 将 y? x 6 3 3

C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), 则
| CD |? 2 ? ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 =
2 2 18 ? 2m2 ,又因为 ? ? 16m2 ?12(2m2 ? 6) ? 0 , 3

即 ?3 ? m ? 3 ,所以当 m ? 0 时,|CD|取得最大值 4,所以四边形 ACBD 面积的最大值为

1 8 6 | AB | ? | CD |? . 2 3
本题第(Ⅰ)问,属于中点弦问题,运用设而不求的数学思想;第(Ⅱ)问,运用弦长公式求 出弦长,然后由面积公式求出面积的最大值.对第(Ⅰ)问,一部分同学想不到设而不求的思 想,容易联立方程组求解而走弯路;第(Ⅱ)问,容易出现计算失误. 【考点定位】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系,考查数学中的待定系 数法、设而不求思想 ,考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是 高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.
2 2 4. ( Ⅰ ) 由 已 知 得 a ? 2, b ? 1. 所 以 e ? a ? b ? 3 所 以 椭 圆 G 的 焦 点 坐 标 为

(? 3,0),( 3,0). ,离心率为 e ?

c 3 ? a 2

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(Ⅱ) (Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为

(1,

3 3 ), (1,? ), 此时 | AB |? 3 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3 2 2

? y ? k ( x ? m), ? 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m), 由 ? x 2 得(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2mx 2 ? ? y ? 1. ?4
?4k 2 m2 ? 4 ? 0 设
A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) , 则

4k 2 m 2 ? 4 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
x2 ? y 2 ? 1相切, 得
| km | k ?1
2

8k 2 m





l





? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? 1,即m2 k ? k ?21. 所以 | AB |2

? (1 ? k 2 )[

64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? 4 3 | m | . ? ] m 2 ? 3 由于当 m ? ?3 时, | AB |? 3, (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

所以 | AB |?

4 3|m| 4 3|m| , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) .因为 | AB |? ? 2 m ?3 m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2 【解析】略

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