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2013届高三理科数学解答题训练5



2013 届高三理科数学解答题训练 5
班别: 学号:
? ?

姓名:
?? ?,x? R . 2 ?

成绩:

1.设函数 f ( x ) ? sin ? x ? sin ? ? x ?
1 2 ? 8

(1)若 ? = (2)若 x ?

,求 f ( x ) 的最大值及相应的 x 的集合; 是 f ( x ) 的一个零点,且 0 ? ? ? 10 ,求 ? 的值和 f ( x ) 的最小正周期.

2.第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞 好接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者.将这 30 名志愿者的 身高编成如下茎叶图(单位:cm) : 男 9 9 8 8 6 5 0 7 4 2 1 1 15 16 17 18 19 7 1 2 0 女 7 8 9 9 2 4 5 8 9 3 4 5 6 1

若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” ,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中 选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”
1

的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

3. 一个几何体是由圆柱 A D D 1 A1 和三棱锥 E ? A B C 组合而成, A 、B 、C 在圆 O 的 点 圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,如图 3 所示,其中 EA ? 平 面 ABC , AB ? AC , AB ? AC , AE ? 2 . (1)求证: A C ? B D ; (2)求二面角 A ? B D ? C 的平面角的大小. E C A1
1

E

E

O B

A

A1

O

A

A

D1
1

D D1

D

正 (主) 视图
图3

侧(左)视图

2

(1 班必做,2、3 班选做) 4、已知离心率为
2 2

的椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 过点 M (

6 ,1)



(1) 求椭圆 C 的方程 (2)已知与圆 x ? y ?
2 2

8 3

相切的直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 A、 B , O 为坐标原点,

求 O A ? O B 的值。

??? ??? ? ?

1.设函数 f ( x ) ? sin ? x ? sin ? ? x ?
?

?

?? ?,x? R . 2 ?

(1)若 ? = (2)若 x ?

1 2 ? 8

,求 f ( x ) 的最大值及相应的 x 的集合; 是 f ( x ) 的一个零点,且 0 ? ? ? 10 ,求 ? 的值和 f ( x ) 的最小正周期.
? ? ?? ? ? sin ? x ? cos ? x , 2 ? x 2 =

解 (1) f ( x ) ? sin ? x ? sin ? ? x ? 当? =
1 2

????????1 分 ????????2 分 ????????4 分

时, f ( x ) ? sin
? x ? 2 ?

x 2

- cos

? ? ? x 2 sin ? ? ?, 4 ? ? 2
2 ,

而 ? 1 ? sin ? 此时,
x 2 ?

?? ? ? 1 ,所以 f ( x ) 的最大值为 4 ?

? 4

?

? 2

? 2 k ? , k ? Z,即 x ? 3? 2

3? 2

? 4 k? , k ? Z ,

相应的 x 的集合为 { x | x ? (2) (法一)因为 f ( x ) ? 所以, x ? 即
??
8 ? ? 4 ? 8

? 4 k? , k ? Z} .

???????6 分

? ? ? 2 sin ? ? x ? ?, 4 ? ?

是 f ( x ) 的一个零点 ? f ?

? ? ??? ??? ? ? ? sin ? ? ? 0 ,?????8 分 4 ? ? 8 ? ? 8

? k ? , k ? Z ,整理,得 ? ? 8 k ? 2 ,又 0 ? ? ? 10 , 1 4 ? k ? 1 ,而 k ? Z ,所以 k ? 0 , ? ? 2 ,?10 分

所以 0 ? 8 k ? 2 ? 10 , ?
f (x) ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , f ( x ) 的最小正周期为 ? . 4 ? ?

????????12 分

(法二) x ? 即 tan
??
8

? 8

是 f ( x ) 的一个零点 ? f ?

?? ?? ??? ? cos ? 0, ? ? sin 8 8 ? 8 ?

?1.

????????8 分

3

所以

??
8

? k? ?

? 4

, k ? Z ,整理,得 ? ? 8 k ? 2 ,
1 4 ? k ? 1,

又 0 ? ? ? 10 ,所以 0 ? 8 k ? 2 ? 10 , ?

而 k ? Z ,所以 k ? 0 , ? ? 2 , ?10 分
f (x) ? ?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , f ( x ) 的最小正周期为 ? . 4 ? ?

????????12 分

2.第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞 好接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者.将这 30 名志愿者的 身高编成如下茎叶图(单位:cm) : 男 9 9 8 8 6 5 0 7 4 2 1 1 15 16 17 18 19 7 1 2 0 女 7 8 9 9 2 4 5 8 9 3 4 5 6 1

若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” ,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中 选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐” 的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望. 解: (1)根据茎叶图,有“高个子”12 人, “非高个子”18 人,??????????1 分 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中的“高个子”有 12 ?
1 6 5 30 ? 1 6 1 6 ? 3 人.???????3 分



??????????2 分

“非高个子”有 18 ? ? 2 人,

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中” ,则它的对立事件 A 表示“没有一名“高个 子”被选中” , 则 P ( A) ? 1 ?
C3 C5
2 2

?1?

3 10

?

7 10


7 10

????????????5 分

因此,至少有一人是“高个子”的概率是 (2)依题意, ? 的取值为 0 , 1, 2 , 3 .
C8
3 3



???????????6 分 ???????????7 分

P (? ? 0 ) ?

?

14 55



P ( ? ? 1) ?

C 4C 8 C 12
3

1

2

?

28 55



C 12

4

P (? ? 2 ) ?

C 4C 8 C 12
3

2

1

?

12 55



P (? ? 3 ) ?

C4 C 12
3

3

?

1 55



??????????9 分

因此, ? 的分布列如下:
?
p
0
14 55 14 55 28 55 12 55 1 55

1
28 55

2
12 55

3
1 55

??????10 分
? E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ?1.

??????????12 分

【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变 量的分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能 力,数 据处理能力和应用意识. 3. 一个几何体是由圆柱 A D D 1 A1 和三棱锥 E ? A B C 组合而成, A 、B 、C 在圆 O 的 点 圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,如图 3 所示,其中 EA ? 平 面 ABC , AB ? AC , AB ? AC , AE ? 2 . (1)求证: A C ? B D ; (2)求二面角 A ? B D ? C 的平面角的大小. E C A1
1

E

E

O B

A

A1

O

A

A

D1
1

D D1

D

正 (主) 视图

侧(左)视图

图3 (本小题主要考查空间线线、线面关系,二面角,三视图等知识,考查化归与转化数学思想 方法,以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. ) 方法 1: 证明: (1) 因为 E A ? 平 面 A B C ,A C ? 平 面 A B C , 所以 E A ? A C , E ?A 即 D . C 又因为 A C ? A B , A B ? E D ? A ,所以 A C ? 平面 E B D . B ? 平面 D 因 为 , E 所 B 以 D .????????????????????????4 分 C B D (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 A B ? A C ,所以 B C 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,
A ?
1 ? 2 rh ? r ? 2 ? 10, ? ? 2 ????????????????6 分 ? 1 ? 2 rh ? ? 2 r ? 2 ? 12. ? ? 2

E C A1
1

O B

A

5

D1
1

D

解得 ? 所

? r ? 2, ?h ? 2.



BC ? 4



AB ? AC ? 2

2 .???????????????????????????7 分

过点 C 作 C H ? B D 于点 H ,连接 A H , 由(1)知, A C ? B D , A C ? C H ? C ,所以 B D ? 平面 A C H . 因为 A H ? 平面 A C H ,所以 B D ? A H . 所以 ? A H C 为二面角 A ? B D ? C 的平面角.???????????????9 分 由(1)知, A C ? 平面 A B D , A H ? 平面 A B D , 所以 A C ? A H ,即△ C A H 为直角三角形. 在 R t △ B A D 中, A B ? 2 2 , A D ? 2 ,则 B D ?
2 3 6

AB ? AD
2

2

? 2 3 .

由 A B ? A D ? B D ? A H ,解得 A H ? 因为 ta n ? A H C ?
AC AH ?



3 .??????13 分
?

所以 ? A H C ? 6 0 .

?

所以二面角 A ? B D ? C 的平面角大小为 6 0 .?????????14 分 方法 2: (1)证明:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 A B ? A C ,所以 B C 为圆 O 的 直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,
1 ? 2 rh ? r ? 2 ? 10, ? ? 2 ????????????????2 分 ? ? 2 rh ? 1 ? 2 r ? 2 ? 12. ? ? 2

E C A1
1

O B

A

? r ? 2, 解得 ? ?h ? 2.

D1 以
BC ? 4
1

D ,


AB ? AC ? 2

2 .???????????????????????????3 分

以点 D 为原点, D D 1 、 D E 所在的射线分别为 x 轴、 z 轴建立如图的空间直角坐标系
D ? x y z , 则 D ? 0 , 0 , ? , D1 ? 4 , 0 , 0 ? , A ? 0 , 0 , 2 ? , B ? 2 , 2 , 2 ? , C ? 2 , ? 2 , 2 ? , 0

???? ???? A C ? ? 2, ? 2, 0 ? , D B ? ? 2, 2, 2 ? .

?????????5 分
???? ???? 因为 A C ?D B ? ? 2 , ? 2 , 0 ? ?? 2 , 2 , 2 ? ? 0 ,

z E C A1
1

O B

A

6

x D1
1

D y

所以 A C ? D B . 所以 A C ? B D .???????????????????9 分 (2)解:设 n ? ? x , y , z ? 是平面 B C D 的法向量,因为 B C ? ? 0, ? 4, 0 ? ,
???? ? n ?B C ? 0 , ? ?4 y ? 0, ? 所以 ? ???? 即? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ? n ?D B ? 0 . ?

????

????

????



z ? ?1





n ? ?1

,? ? 0

是 ,

平 1



B

C

的 D









量.?????????????????11 分 由(1)知, A C ? B D ,又 A C ? A B , A B ? B D ? B ,所以 A C ? 平面 A B D . 所 以
???? AC ? ?2 ? ,

?

2 是 , 平0



ABD











量.????????????????????12 分
???? 因为 c o s n , A C ???? n ? AC ? ???? ? n ? AC
?

2 2?2 2

?

1 2



所以 n , A C ? 6 0 . 而 n , A C 等于二面角 A ? B D ? C 的平面角, 所
?

????

????









A ? BD ? C















6 0 .???????????????????14 分

方法 3: 证明: (1) 因为 E A ? 平 面 A B C ,A C ? 平 面 A B C , 所以 E A ? A C , E ?A 即 D C 又因为 A C ? A B , A B ? E D ? A ,所以 A C ? 平面 E B D . 因为 B D ? 平 面 E B D , 所
A ?



以 . ?????????????????????????????????? C

4分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 A B ? A C ,所以 B C 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,
1 ? 2 rh ? r ? 2 ? 10, ? ? 2 ????????????????6 分 ? ? 2 rh ? 1 ? 2 r ? 2 ? 12. ? ? 2

E C A1
1

O B

A

? r ? 2, 解得 ? ?h ? 2.

D1 以
BC ? 4
1

D ,


AB ? AC ? 2

2 .?????????????????????????7 分

7

以点 D 为原点, D D 1 、 D E 所在的射线分别为 x 轴、 z 轴建立如图的空间直角坐标系
D ? x y z , 则 D ? 0 , 0 , ? , D1 ? 4 , 0 , 0 ? , A ? 0 , 0 , 2 ? , B ? 2 , 2 , 2 ? , C ? 2 , ? 2 , 2 ? , 0

???? ???? B C ? ? 0, ?4, 0 ? , D B ? ? 2, 2, 2 ? .

??????????9 分 设 n ? ? x , y , z ? 是平面 B C D 的法向量,
???? ? n ?B C ? 0 , ? ?4 y ? 0, ? 则 ? ???? 即? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ? n ?D B ? 0 . ?

z E C A1
1

O B

A

取 z ? ? 1 ,则 n ? ? 1, 0 , ? 1 ? 是平面 B C D 的一个法向量.???11 分 由(1)知, A C ? B D ,又 A C ? A B , A B ? B D ? B , 所以 A C ? 平面 A B D . 所 以
???? AC ? ?2 ? ,

x D1
1

D y

?

2 是 , 平0



ABD











量.????????????????????12 分
???? 因为 c o s n , A C ???? n ? AC ? ???? ? n ? AC 2 2?2 2 ? 1 2



所以 n , A C ? 6 0 .

????

?

而 n , A C 等于二面角 A ? B D ? C 的平面角, 所
?

????









A ? BD ? C















6 0 .?????????????????????14 分

8

9



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