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10-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系



问题1:平面内两条直线的位置关系 a

相交直线 平行直线

o

b

a b

相交直线 (有一个公共点)

平行直线 (无公共点)

问题2:平面内不平行的两直线必相交, 问:空间内还成立否?
六角螺母

/>D C A B

1.异面直线的定义:
不同在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线。 两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、 又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何 一个平面内. 练习:在教室里找出几对异面直线的例子

2.异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了 体现它们不共面的特点。 常借助一个或两个平面来

b a
(1)

A

?

衬托.

a b

?
?
b
(3)

a

?

(2)

思考:分别在两个平面内的两条直线是否 一定异面? b a a
M

b a

?

?

?

?

?

b ?

a与b是异面直线 a与b是相交直线 a与b是平行直线

注意:在不同平面内的两条直线不一定异面

3.空间两直线的位置关系 同在一个平面内 相交直线

按平面基本性质分

平行直线
不同在任何一个平面内异面直线

有一个公共点 相交直线 按公共点个数分 平行直线 无 公 共 点 异面直线

探究:如图是一个正方体的展开图,如果将 它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这 四条线段所在直线是异面直线的有
C G
H E F A E D B

3 对?
A H D

C ?G ?

B?F ?

4.空间平行关系的传递性
在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两
条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系?

a

b

c

d

e

a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …

公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. ———平行线的传递性 推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.

例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析: 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH=FG E A H D G

连结BD,只需证: 1 EH ∥BD且EH = BD

2 1 FG ∥BD且FG = BD 2

B

F

C

E,F,G,H分别是各边中点

例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理,FG ∥BD且FG = BD E D G A H

2

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

B

F

C

变式一:
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那 么四边形EFGH是什么图形? A

菱形
分析: 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
B

E

H
D F G C

5.等角定理
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行,那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结 论是否仍然成立呢?
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,

∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何? 答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180O A A1 D D1 C1 B1 C

B

定理(等角定理):空间中,如果两个角的

两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

6.异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直 线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面 直线所成的角(或夹角). ①异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
o o

b b′

a′ ″

?
O

6.异面直线所成的角 ②如果两条异面直线所成的角为直角,就说两 条直线互相垂直,记作a⊥b.

b

a'

?

a

?

O

③两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直 两种情形.

B?C?, AD, CC?, DD?, DC, D?C?

例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直? 解:(1)由异面直线的判 定方法可知,与直线 BA? 成异面直线的有直线


例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直? 解:(2)由 BB? // CC ? 可知, ?B?BA? 等于异面直线 CC ? 与 BA? 的夹角,所以异面直线 CC ? 与 BA? 的夹角为450 (3) 直线 AB, BC , CD, DA, A?B?, B?C ?, C ?D?, D?A? 与直线 AA?都垂直.

变式训练1:如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
H

45 60
F

0 0
G

E
2 A
2 3 D 2 3

C
B

变式训练2:如图,点A是BCD所在平面外一 点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点, 1 且 EF ? AD ,求异面直线AD和BC所成的角的 所成的角. 2 度数.

60

0

课堂小结
1.异面直线的定义: 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线。 相交直线 2.空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 3.异面直线的画法

课堂小结
4.异面直线所成的角

5.公理4 在空间平行于同一条直线的两条直线 互相平行. 6.等角定理: 空间中,如果两个角的两边分别对 应平行,那么这两个角相等或互补.



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