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【含解析】北约数学模拟试卷(一)



2013 年北约自主招生数学模拟试题一
解答下列各题:文科做 1-5 题;理科做 3-8 题,每小题 20 分,共 100 分。 1、 已知 A, B, C 是三角形的内角, tan A, tan B 是方程 x ? mx ? m ? 1 ? 0 的两个根。
2

(1) 求角 C 的大小; (2) 求实数 m 的取值范围。 解: (1)由

题意,得

tan A ? tan B ? ? m, tan AtanB ? m ? 1 tan A ? tan B ?m ? ? 1,? tan C ? ?1. 1 ? tan A tan B 1 ? m ? 1 3? C ? (0, ? ),? C ? . 4 tan( A ? B ) ?
(2)由(1) ,得 A ? B ?
2

?
4

, 易知 0 ? A ?

?
4

,0 ? B ?

?
4

,? tan A, tan B ? (0,1).

即 x ? mx ? m ? 1 ? 0 在 (0,1) 内有二个解。

? ? ? m 2 ? 4( m ? 1) ? 0. ? m ? ? 0 ? ? ? 1, 2 若设 f ( x) ? x ? mx ? m ? 1 ,则有 ? 2 ? f (0) ? m ? 1 ? 0, ? ? ? f (1) ? 2m ? 2 ? 0,
解得 ?1 ? m ? 2 ? 2 2. 2、 已知动点 p( x, y ) 与两定点 M (?1, 0), N (1, 0) 连线的斜率之积等于常数 ? (? ? 0). (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程。 (2) 试根据 ? 的取值情况讨轨迹 C 的形状。 当 ? ? ?2 时,过点 E (1,0) 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 . 且分别与轨迹 C 交于 A, B 两点,探 究直线 AB 是否过定点?若过定点,请求出定点坐标;否则,说明理由 解析: (1)由题意,知直线 PM 与PN 的斜率存在且均不为零,所以

kPM ? kPN ?

y y ? ? ?. x ? 1 x ?1

整理,得 x ?
2

y2

?

? 1(? ? 0, x ? ?1).

(2) (a) 当 ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点) 。

(b) 当 ?1 ? ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴
两个端点) 。

(c) 当 ? ? ?1 时, 轨迹 C 为以原点为圆心、 1 的半径的圆除去 (?1, 0), (1, 0) 两点。

。 (d ) 当 ? ? ?2 时,轨迹 C 为中心在原点、焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点) (3)当 ? ? ?2 时,轨迹 C 为椭圆,方程为 x ?
2

y2 ? 1( x ? ?1), 2

由题意,知 l1 的斜率存在,设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1), 则 l2 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 1), k

? y ? k ( x ? 1), ? 由? 得( x?) ? (k 2 ? 2) x ? k 2 ? 2 ? y2 ? ? ? 0. 2 x ? ? 1, ? ? 2
解得 x1 ? 1(舍去), x2 ?

? k 2 ? 2 ?4k ? k2 ? 2 ?4k , ? y ? , 即 A , 2 ? 2 ?. 2 k2 ? 2 k2 ? 2 ?k ?2 k ?2?

? 1 ? 2k 2 4k ? 1 将 k 换成 ? , 得 B ? 2 , 2 ?. k ? 2k ? 1 2 k ? 1 ?
? 直线AB的斜率为 k AB 4k 4k ? 2 2 k ? 2 ? 3k (k ? ?1), ? 2k ? 1 2 1 ? 2k k 2 ? 2 1? k 2 ? 2k 2 ? 1 k 2 ? 2

? 直线AB的方程为y ?

4k 3k ? k2 ? 2 ? ? x ? ? ?, k 2 ? 2 1? k 2 ? k2 ? 2 ?

化简整理,得 y ?

3k k 3k ? 1? ? 1 ? x? , 即y ? x ? ? ,? 直线AB过定点 ? ? , 0 ? ; 2 2 2 ? 1? k 1? k 1? k ? 3? ? 3 ? ? 1 ? 3 4? ? 1 2? ? 1 ? ? , ? ? , ? , 此时直线 AB 也过定点 ? ? , 0 ? . 3? ? 3 3? ? 3 ?

当 k ? ?1 时, A, B 的坐标分别为 ? ? , ?

所以,直线 AB 必过定点 ? ? , 0 ? .

? 1 ? 3

? ?

3、若 a, b, c 都是正数,且满足

kabc ? (a ? b)2 ? (a ? b ? 4c) 2 ,求 k 的最大值。 a?b?c

解析:方法一:根据平均值不等式,有
2 2 (a ? b)2 ? (a ? b ? 4 c ) ? (a ? b )? ? (a ? 2c )? ( b? ? ? 2c ) ? ( 22a b )

( 2 a2 c?

2

2 b2 c

)

? 4a b ? 8 a c? 8 b c ? 1 6 c a ,b
于是

(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 (a ? b ? c) abc ? 4ab ? 8ac ? 8bc ? 16c ab (a ? b ? c) abc ? 4 8 8 16 ? ?? ? ? ? ? (a ? b ? c) ab ? ?c b a 1 1 ?? a a b b ? 1 1 1 ? ? 8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c? ? ab ab ? ? 2 2 2 2 ? ? 2c b a ? 8?55 1 a 2b 2 c 5 ? 5 ? 100. 2a 2 b 2 c 16

当且仅当 a ? b ? 2c ? 0 时取等号,故 k 的最大值为 100。 方法二:设 a ? b ? x, c ? y, 则

a?b?c abc a?b?c 2 2 ?? ? ( a ? b ) ? ( a ? b ? 4c ) ? ?1 (a ? b) 2 c 4 2 2 8( x ? y )( x ? 4 xy ? 8 y ) ? x2 y
2 2 ? ? ( a ? b ) ? ( a ? b ? 4c ) ? ?

? x 12 y 8 y 2 1 9 ? ? 8? ? ? 2 ? ? ? x x 2 2? ?y ? x 12 y 4 y 9 ? ? 8? ? ? ? ? x x 2? ?y ? x 16 y 9 ? ? 8? ? ? ? ? 100. x 2? ?y
4 、 是 否 存 在 一 个 二 次 函 数 f ( x) , 使 得 对 任 意 的 正 整 数 k , 当 x ? 55

5时 , 都 有

f ( x ) ? 55

5 成立?请给出结论,并加以证明。

解析:存在符合条件的二次函数。 设 f ( x) ? ax ? bx ? c, 则当 k ? 1, 2,3 时,有
2

f ( x)? a 2x ? b ? x 则当 , c k ? 1, 2,3 时,有

f(5) ? 2a 5? b 5? c ? 5 5 f ( 5 5? ) 3 0a 2? 5 b5?5 c ? 5555 f ( 5 5 5? ) 308a 0? 2 5 b5 ?5c5? 55 555

(1) ; (2); (3).

联立(1) , (2) , (3) ,解得 a ? 下面证明:二次函数 f ( x) ? 因为 55
k 个b

9 9 , b ? 2, c ? 0. 可得, f ( x) ? x 2 ? 2 x. 5 5

9 2 x ? 2 x 符合条件。 5
5 ? 10 2 ? 10 ? 1) ? (10 k ? 1), 9

5 ? 5(10 k ?1 ? 10 k ? 2 ?

同理 55

5 5 ? (10 2 k ? 1). 9 k个5
2

5 ?5 ? 9 ?5 ? f (55 5) ? f ? (10k ? 1) ? ? ? (10k ? 1) ? ? 2 ? (10k ? 1) 9 ?9 ? 5 ?9 ? k个5 5 5 5 5 ? (10k ? 1) 2 ? 2 ? (10k ? 1) ? (10k ? 1)(10k ? 1) ? (10 2 k ? 1) ? 55 5. 9 9 9 9 2 k 个5
因此,所求的二次函数 f ( x) ?

9 2 x ? 2 x 符合条件。 5
2 a ,点 D 在棱 A1C1 上。 2

5、如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,侧棱长为 (1) 若 A1 D ? DC1 , 求证: 直线 BC1 / / 平面 AB1 D. (2)是否存在点 D ,使平面 AB1 D ? 平面 ABB1 A1 ? 若存在请确定点 D 的位置; 若不存在, 请说明理由。 (3)设集合 Q ? 角的大小

?? ? 是二面角 A
?
4 ?Q 。

1

? AB1 ? D 平面

? ,求证:

解析:略解(1)联结 A1 B 交 AB1 于 E ,联结 DE ,由

DE 是 ?A1 BC1 的中位线,易证 DE / / BC1 ;
(2) 不存在 . 假设存在 D 符合题意 , 则由平面 AB1 D ? 平面 ABB1 A1 , 及平面 A1 B1 C1 ? 平面

ABB1 A1 ,平面 AB1 D ? 平面 A1 B1C1 ? B1 D ,可得 B1 D ? 平面 ABB1 A1 ,于是 B1 D ? A1 B .
因为三角形 A1 B1C1 是等边三角形, D 在 A1C1 边上,所以这样的 D 不存在. (3)因为 ? 是二面角 A1 ? AB1 ? D 平面角的大小,所以 0 ? ? ? 二面角 A1 ? AB1 ? C1 平面角的 大小,而二面角 A1 ? AB1 ? C1 平面角的大小为 arctan 3 ,显然有 arctan 3 ? arctan1 ?

?
4

.

6、互不相等的 12 个自然数,它们均小于 36。有人说,将这些自然数两两相减(大减小) 所得到的差中,至少有 3 个相等。你认为这种说法对吗?为什么? 解:设这 12 个自然数从到大依次为 a1 , a2 , a3 ,

, a12 ,且它们两两相减最多只有 2 个差相等,那
, a2 ? a1 ,

么差为 1, 2,3, 4,5 的都最多只有 2 个.从而 a12 ? a11 , a11 ? a10 , a10 ? a9 ,

这 11 个 差 之 和 至 少 为 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 6 ? 36 , 但 这 11 个 差 之 和 等 于

a12 ? a11 ? a11 ? a10 ? a10 ? a9 ?

? a2 ? a1 ? a12 ? a0 ? 36 .

这一矛盾说明,两两相减的差中,至少有 3 个相等. 7、设集合 E ? 圆Cm Cm以(m, m )为圆心, 且与x轴相切 .
2

?

?

(1)若 Ca ? E , Cb ? E ,且 C a 与 Cb 外切,求实数 a , b 所满足的关系式。 (2) E 中是否存在着这样的元素 C a ,它仅与 E 中唯一元素 Cb 外切?如果存在,请求出所 有的有序实数对 ( a, b) ;若不存在,请说明理由。 解:(1)由两圆外切和两圆圆心坐标及半径长易得 ? a ? b ? ? 4a b, a ? b.
2 2

(2)假设 Cb 存在,则(1)中的方程化为关于 b 的方程 (1 ? 4a )b ? 2ab ? a ? 0, 此方程只有一
2 2 2

个实数根或有两个相等的实数根,所以 1 ? 4a ? 0 或 1 ? 4a ? 0 且 ? ? 0
2 2

由 1 ? 4a ? 0 ,解得: a ?
2
2

1 1 1 1 , b ? 或者 a ? ? , b ? ? ; 2 4 2 4

由 1 ? 4a ? 0, 且 ? ? 0 ,解得 a ? b ? 0, 与 a ? b 矛盾. 综上所述,满足题意的所有的有序对 ? a, b ? 为 ?

?1 1? ? 1 1? , ?,? ? , ? ? ?2 4? ? 2 4?

8、直线 x ? y ? n(n ? 3 且 n ? N ) 与 x 轴, y 轴所围成区域内部(不包括边界)的整点个数 为 a n 所围成(包括边界)的整点的个数 bn (整点就是横、纵坐标均为整数的点) 。 (1)求 an 及bn 的表达式; (2)对区域内部的 a n 个整点用红、黄、蓝三色之一着色,其方法总数为 An ,对所围区域 的 bn 个整点,用红、蓝三色之一着色,其方法总数为 Bn ,试比较 An 与 Bn 的大小。 解:(1)求区域内部(不包括边界)的整数个数 an , 就是求不等式 x ? y ? n 的正整数解.

当 x ? 1 时, y ? 1, 2, 当 x ? 2 时, y ? 1, 2,

, (n ? 2), 共 n ? 2 个值; , (n ? 3), 共 n ? 3 个值;

当 x ? n ? 2 时, y ? 1, 共 1 个值; 依次类推,得: an ? 1 ? 2 ?

? (n ? 2) ?

(n ? 2)(n ? 1) 2

求区域(包括边界)的整点个数 bn ,就是求不等式 x ? y ? n 的非负整数解. 同上可得: bn ? (n ? 1) ? n ?

? 2 ?1 ?

(n ? 2)(n ? 1) 2

(2)对区域内部的 a n 个整数点中的每一个都有三种着色,由乘法原理,得:

An ? 3 ? 3
an

( n ?1)( n ? 2) 2

, Bn ? 2 ?9

( n ?1)( n ? 2) 2 ( n ?1)( n ? 2) 4 3( n ?1)( n ? 2) 4

(i)由于 An ? 3 因此当 2

( n ?1)( n ? 2) 2

( n ?1)( n ? 2) 4

?8

?2

,

3( n ?1)( n ? 2) 4

? Bn ? 2

( n ?1)( n ? 2) 2

时,有

3 (n ? 1)(n ? 2) . (n ? 1)(n ? 2) ? 4 2

* 化简,得: n ? 15n ? 2 ? 0, 解得 n ? 15 且 n ? N .
2

? 当 n ? 15 时, An ? Bn .
(ii)由于 An ? 3
( n ?1)( n ? 2) 2

? (3 )
5

( n ?1)( n ? 2) 10

? (2 )
8

( n ?1)( n ? 2) 4

?2

4( n ?1)( n ? 2) 5

,因此当

2

4( n ?1)( n ? 2) 5

? Bn ? 2

( n ?1)( n ? 2) 2

时,

4 (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) ? 5 2
*

化简得: n ? 13n ? 2 ? 0 ,解得 n ? 12 且 n ? N .
2

? 当 n ? 12 时, An ? Bn .
最后,比较当 n ? 13, n ? 14 时, An 与 Bn 的大小.
66 105 由 A13 ? 3 , B13 ? 2 ,有 lg A13 ? 66 lg 3 ? 66 ? 0.4771 ? 31.4886,

lg B13 ? 105lg 2 ? 105 ? 0.3010 ? 31.605,
所以, n ? 13 时, An ? Bn ;同理可得: n ? 14 时, An ? Bn ; 故 3 ? n ? 13 时, An ? Bn ;当 n ? 14 时, An ? Bn .



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