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1.4.3正切函数图像与性质



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1.4.3正切函数的图象和性质

1.4.3 正切函数的图像和性质 一、引入 如何用正弦线作正弦函数图象呢?
1、用平移正弦线得 y ? sinx, x ?[0,2? ]图象.

2、再利用

周期性把该段 图象向左、右扩展得到 .

类 比

用正切线作正切函数y=tanx的图象

1.4.3 正切函数的图像和性质

二、探究用正切线作正切函数图象
问题1、正切函数 y

= tanx 是否为周期函数?

∵f ? x +π ? = tan ? x +π ? = tanx ? f ? x ?
∴ y 期.

= tanx

是周期函数,

? 是它的一个周

我们先来作一个周期内的图象。 想一想:先作哪个区间上的图象好呢?
ππ (- , ) 2 2

为什么?

? ? ?? y ? tan x 利用正切线画出函数 ,x ? ? ? , ? 的图像: ? 2 2?

1.4.3 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像?

y?

? ? ?? tan x,x ? ? ? , ? ? 2 2?

角 的终边 3 T

?

Y

(? , tan ? )
3 3

A

0

? 3

X

? ? ?? y ? tan x x ? 利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? , , , ? ? , , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

1.4.3 正切函数的图像和性质

正切曲线

是由通过点 (k? ?

?
2

, 0)(k ? Z )且与 y 轴相互平行的

直线隔开的无穷多支曲线组成
渐 进 线 渐 进 线

3 ? ? 2

??

0

正 切 函 数 图 像
性质 :

渐 进 线

渐 进 线

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

? 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 值域: R 周期性:? 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。

⑸ 单调性: 在每一个开区间 ? ? (? ? k? , ? k? ) , k ? Z 内都是增函数。 2 2 ? k?Z x ? k? ? , (7)对称中心 (6)渐近线方程: 2

kπ ( ,0) 2

问 题





问题:
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?为什么?
A
B

π π (- + kπ, + kπ) ,k ? Z 2 2

在每一个开区间 内都是增函数。

基础练习
1.关于正切函数 y

? tan x , 下列判断不正确的是(B )

A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等
2.函数

y ? tan(3x)的一个对称中心是(
B. ( , 0) 4

C )

A . ( , 0) 9

?

?

C. ( , 0) 6

?

D. (? , 0) 4

?

例题分析

例1、比较下列每组数的大小。 13π o o 11π tan() 与 tan((1)tan167 与tan173 (2) )
解: (1) ? 90
0

11 ? (2) tan(? ? ) ? tan , tan(? 13 ? ) ? tan 2 ? 4 4 5 5 ?? ? 2 ? 又y ? tan x在 ? 0, ?0 ? ? ? ? , ? ? 是增函数 ? 2? 4 5 2

? tan1670 ? tan1730

?? ? y ? tan x在 ? ,? ? 上是增函数, ?2 ?

? 167 ? 173 ? 180
0 0

4

0

5

2 ? tan ? tan ? 4 5 11 13 ? tan(? ? ) ? tan(? ? ). 4 5

?

例题分析
例1、比较下列每组数的大小。

(1)tan167 与tan173
解:
0 0 0

o

o

13π 11π tan() 与 tan() (2) 4 5

? 90 ? 167 ? 173 ? 180
? tan167 ? tan173
0 0

0

?? ? y ? tan x在 ? ,? ? 上是增函数, ?2 ?

说明:比较两个正切值大小,关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内,再 利用y=tanx的单调递增性解决。

例题分析
例 2. 求函数y ? tan( x ?
解:

?
4

)的定义域、值域和单调区间.

? ? ? 因此,函数的定义域是 ? x x ? R且x ? k? ? , k ? Z ? 4 ? ?

? ? ? 设t ? x ? , 则y ? tan t的定义域为 ?t t ? R且t ? k? + , k ? Z ? 4 2 ? ? ? ? ? ? x ? ? k? ? , ? x ? k? ? 4 2 4

?

值域 : R

??

? k? ? x ? ? ? ? k ? 2 4 2 3? ? ?? ? k? ? x ? ? k? 4 4 3? ?? ? ?函数的单调增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 4 4? ?

? ? ? ? ? y ? tan t的单调增区间是 ? - ? k? , ? k? ? , k ? Z 2 ? 2 ?

?

?

反馈演练

1、比较大小:
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π > (2)tan()_____tan() 4 5 2、求函数y=tan3x的定义域,值域,单调增 区间。 0

k? ? 定义域:{ x\x? ? , k ? z} 3 6 值域: R

? k? ? k? 单调递增区间:( ? ? , ? ) ,k ?z 6 3 6 3

例题分析
例3 求函数 解:

y ? tan 3x

的周期.

因为tan(3x ? ? ) ? tan 3x, ? 即tan3(x+ )=tan3x, 3 ? 这说明自变量 x ,至少要增加 ,函数的值 3 才能重复取得,所以函数 y ? tan 3x 的周期


?

反馈练习:求下列函数的周期:

3

x (1) y ? 5 tan 2

2?

(2) y ? tan(?4 x)

?

4

例题分析
tan x ? 3 例 4 解不等式:
y

解:

3

T

A

0

x

解法1

解法2

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

例题分析
tan x ? 3 例 4 解不等式:

解:

y

3
0 ?

? x
2

3

解法1

解法2

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

反馈演练

1、 解不等式 1+tanx ? 0

2、解不等式:1- tan x ? 0
3 3、解不等式: tan( x ? ) ? 6 3
? ? ? 答案: 1. x ? ? x k ? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? ?
4 2 ? ? ? ? ? ? 2. x ? ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? 2 4 ? ? ? 2? ? ? x ? x k ? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? ? 3. 3 3 ? ?

?

提高练习
?? ? 求函数 y ? tan ? 3 x ? ? 的定义域、值域,并指出它的 3? ? 单调性、奇偶性和周期性;
答案:

1、定义域 2、值域

1 5? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 3 18 ? ? y?R

3、单调性
4、奇偶性 5、周期性

? 1 5? ? ?1 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 18 3 18 ? ?3
非奇非偶函数
最小正周期是

?
3

补充练习
1. 已知

a ? tan1, b ? tan 2, c ? tan 3, 则( c )
B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c

A.a<b<c

2.求y ? (tan x)2 ? 4 tan x ?1 的值域; ?-5,+? ?
3. 已知? 是三角形的一个内角,且有 tan ? ? ?1, 则?的取值范围是 ( c )
?3 ? ? , ? ? A.? ?4 ?

B

? ?? 0, ? ? . ? 2?

? ? ? ?3 ? 0, ? ? , ? ? ? ? C. ? 4 ? 2? ? ?

D.以上都不对

四、小结:正切函数的图像和性质
? ? 1、 正 切 曲 线 是 先 利 用 移 平正 切 线 得 y ? tan x, x ? ( ? , )的 图 象 , 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 图向 左 、 右 扩 展 得 到 。

2 、y ? tan x 性质:

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 ⑶ 周期性: ⑵ 值域: R ⑷ 奇偶性:奇函数,图象关于原点对称。

?

(5) 对称性:对称中心:

无对称轴

(6)单调性: 在每一个开区间 π π (- + kπ, + kπ), k ? Z 内都是增函数。 2 2 ? k?Z (7)渐近线方程: x ? k? ? , 2



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