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高中数学必修5模拟试题+详细答案



高二数学周日测试题(三)
满分:150 分 时间:120 分钟

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
4.在等差数列{ an }中,前 n 项的和为 Sn ,若 2a8=6+a11,则 S9=( A.27 5、在等比数列
n



B.36

C .45
n

D.54

?a ?中,前 n 项和为 S
B. ? 2

,若 S3

? 7, S6 ? 63,则公比 q 为 (
D. ? 3



A.2
6、等差数列 项的和为 (
n

C.3

?a ?中, a


1

? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78, 则此数列的前 20
C.180
1 32

A.220
1 8

B.200
1 16

D.160

1 64

7、在△ABC 中,a ? sin 10 °,b ? sin 50 °,∠C=70°,那么△ABC 的面积为( A. B. C. D.

8、 (理) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? 5n ? 2 ,则数列 ?an ?的前 10 项和为( A.62 B.60
1 n ? n ?1

)

C.58

D.56 )

9、数列 {an } 的通项公式 an ? A.10 B.11

,若数列的前 n 项和为 10,则 n ? ( D.121 )

C.100

10、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 ,A=60°,则 BC 边的长是( A.5 B.6 C.7 D.8

11、(理)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ? 5 , 从 ?an ? 中依次取出第 3,9,27,… 3n, …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列的前 n 项和为 ( A.
n(3 n ? 13) 2



B. 3n ? 5

C.

3 n ? 10n ? 3 2

D.

3 n ?1 ? 10n ? 3 2

12、下列说法正确的是 A.数列 ?an ? 是等差数列的等价条件是 an ? pn ? q ( p ? 0 )

1

B.已知一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? an2 ? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那 么此数列也是等比数列 C.数列 ?an ? 是等比数列的等价条件 an ? abn?1 D. 如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? abn ? c (a ? 0, b ? 0, b ? 1) ,则此数列是等比 数列的等价条件是 a ? c ? 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
a2 ? b2 ? c2 13.在 ?ABC 中,三边 a, b, c 与面积 S 的关系为 S ? , 4
则角 C = 14.若两个等差数列 ?an ? 、?bn ?的前 n 项和分别为 An 、 Bn ,且满足

An 4n ? 2 ? ,则 Bn 5n ? 5

a5 ? a13 的值为 b5 ? b13
15. (理)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 4 且 a 1 , a5 , a13 成等比数列,则数列 ?an ? 的通项 公式为 16.在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 sin( 2 A ?

?

1 ) ? ,b ? 1 , 6 2

?ABC 的面积为

b?c 3 ? ,则 sin B ? sin C 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题 10 分) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、b 、c , 已知 a 2 ? c 2 ? 2b ,
sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b .



18.(本小题 12 分) 公差 d ? 0 的等差数列 ?an ?中, 数列 ?an ?的前 n 项 a1 ? 18, 且a3 , a5 , a6 成等比数列,

2

和为 Sn . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求 Sn 的最大值及取得最大值时 n 的值.

19.(本小题 12 分) 已知数列 ?an ?满足: an ?1 ?
1 1 7 an ? , 且a1 ? ,T n 为数列 ?an ?的前 n 项和 Sn . 2 4 2

1? ? (1)求证:数列 ?an ? ? 是等比数列; 2? ?

(2)求数列 ?an ?的通项公式及 Sn .

20.(本小题 12 分) 已知数列 ?an ?中, a1 ? 1, an ?1 ? (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若
1 1 是 和 1 的等差中项,求数列 ?bnbn ?1? 的前 n 项和 Tn . bn an

an (n ? N * ) . 2an ? 1

21.(本小题 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 1 ? an (n ? N * ) . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若数列 ?bn ?满足:bn ?
n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . an

3

22.(本小题 12 分) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 三 项 与 数 列 ?bn ? 的 前 三 项 对 应 相 等 , 且

a1 ? 2a2 ? 22 a3 ??? 2n?1 an ? 8n 对任意 n ? N * 都成立,数列 ?bn?1 ? bn ? 是等差数列.
(1)求数列 ?an ?和 ?bn ?的通项公式; (2)是否存在 k ? N *, 使 bk ? ak ? (0,1) ?若存在,求出 k ;若不存在,说明理由.

高二数学周日测试题(三)参考答案
一、选择题 1—5 二、填空题 13.
? 4
3 3

CCDDA

6—CBBCC

11—12DD
7 8

14.
(理)an ? n ? 3或a n ? 4

15. (文) an ? 4 ? (? 1 ) n-1
三、解答题

16. 2

17.解法一:在 ?ABC 中 sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理 有: a
a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 c, 化简并整理得: 2(a 2 ? c 2 ) ? b2 . 2ab 2bc

又由已知 a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) . 解法二:由余弦定理得: a 2 ? c 2 ? b2 ? 2bc cos A .又 a 2 ? c 2 ? 2b , b ? 0 . 所以 b ? 2c cos A ? 2 ① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,

4

? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C , sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,

b 即 sin B ? 4cos A sin C 由正弦定理得 sin B ? sin C ,故 b ? 4c cos A ② c

由①,②解得 b ? 4 .
2 18.解析: (1)由题意可知 a5 ? a3a6 ,即(a1 ? 4d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ,

因为 a1 ? 18, 可求得d ? ?3 ,?an ? 18 ? (n ?1) ? (?3) ? 21? 3n (2) S n ?
n(18 ? 21 ? 3n) 39 3 3 13 507 ? n ? n 2 ? ? (n ? ) 2 ? , 2 2 2 2 2 8
13 最接近的整数 6 或 7 时, Sn 最大. 2

所以当 n 取与

即 Sn 的最大值为 63,此时 n ? 6或7 .
1 1 1 1 1 an ? ,所以 bn ?1 ? ? (bn ? ), 2 4 2 2 2

19.解析: (1)对任意 n ? N * ,都有 an ?1 ?

1? ? 则数列 ?an ? ? 是等比数列, 2? ?

(2) 所以 an ?

1 1? ? 由(1)知数列 ?an ? ? 的首项为 3,公比为 , 2 2? ?

1 1 1 1 ? 3 ? ( ) n ?1 ,即an ? 3 ? ( ) n ?1 ? . 2 2 2 2 1 3 ? (1 ? n ) 1 1 1 n 2 ?n S n ? 3(1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? ? 1 2 2 2 2 2 所以 1? 2 1 n ? 6(1 ? n ) ? 2 2

20.解析: (1)由题易知 an ? 0,由an?1 ?

an 2a ? 1 1 得 ? n , 2an ? 1 a n?1 an



1 1 1 ? ? 2.由a1 ? 1, 得 ? 1, a n?1 an a1

5

?1? 所以数列 ? ? 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, ? an ?
所以
1 1 . ? 1? ( 2 n ? 1) ? 2n ? 1, 即 an ? 2n ? 1 an

(2)由题意知

2 1 2 1 1 . ? ? 1, 得 ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n,? bn ? , 从而 bnbn?1 ? n(n ? 1) bn an bn n
1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

则 Tn ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? bnbn?1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 1 ? 1? n ?1 n ? n ?1
21.解析: (1)? Sn ? 1 ? an
an ?1 ? ?an ?1 ? an ,? an ?1 ?

? Sn?1 ? 1 ? an?1 ,两式相减可得

1 1 an , n ? N * ,又 n ? 1时, a1 ? 1 ? a1 ,? a1 ? , 2 2 1 1 n ?1 1 n ? an ? ? ( ) ? ( ) , n ? N * . 2 2 2

(2)由(1)及已知可得 bn ?

n ? n ? 2n , n ? N * , an

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ??? n ? 2n , ?2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ??? n ? 2n?1,
两式相减得 ? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ? 整理得
2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 , 1? 2

Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2, n ? N *. a1 ? 2a2 ? 22 a3 ??? 2n?1 an ? 8n ,

22.解析: (1)已知

当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ?? 2n?2 an-1 ? ( 8 n ?1) , 两式相减得 2n?1 an ? 8, 求得an ? 24?n ,当 n ? 1 时易知 a1 ? 8 ? 24?1 ,

6

?an ? 24?n (n ? N * ) .
由题意知 b1 ? 8, b2 ? 4, b3 ? 2,?b2 ? b1 ? ?4, b3 ? b2 ? ?2,

? 数列 ?bn?1 ? bn ? 是首项为 ? 4 ,公差为 2 的等差数列,

?bn?1 ? bn ? ?4 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 6
由累加法可得 b n ? 8 ? (?4) ? (?2) ? ? ? (2n ? 8) ? 8 ?
(n ? 1)( ?4 ? 2n ? 8) ? n 2 ? 7n ? 14 2

(2)由( 1 )知bk ? ak ? n2 ? 7n ?14 ? 24?k , 设 f (k ) ? n2 ? 7n ? 14 ? 24?k ,
7 7 (k ? ) 2 ? ? 2 4? k 单调递增且 f (4) ? 1, 当 k ? 4 时, f (k ) ? n 2 ? 7n ? 14 ? 2 4? k ? 2 4

? 当 k ? 4 时, f (k ) ? f (4) ? 1 ,又因为 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ,
使 bk ? ak ? (0,1) ? 不存在 k ? N *,

7



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