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2.3.4平面与平面垂直的性质定理



?
?

?

复习回顾:
面面垂直的判定
(1)利用定义

[作出二面角的平面角,证明平面角是直角]
(2)利用判定定理[线面垂直 面面垂直]
?
?

l ?? ? ? ?? ? ? l ? ??
线线垂直 线面垂直

>
l
B

A
面面垂直

思考2

如图,长方体中,α⊥β,

(1)α里的直线都和β垂直吗? 不一定
(2)什么情况下α里的直线和β垂直?
D1

与AD垂直
C1

F
A1

α

B1

D

E
A B

β

C

思考3

? ? ? ,? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD,

垂足为B,那么直线AB与平面β 的位置关系如何? 为什么? 垂直

Eβ D
α C B A

证明:在平面 ? 内作BE⊥CD,

垂足为B.
则∠ABE就是二面角 ? ? CD ? ? 的平面角.

Eβ D α B A

∵ ? ? ? , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,

且BE

?

CD=B

∴AB⊥ ? .

C

平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直. 符号表示:

?
C

? ?? ? ? ? ? CD AB ? ?

? ? ? ? ? ? AB ? ? ? AB ? CD ? AB ? CD ? B ? ?

A B D

?

关键点: ①线在平面内. ②线垂直于交线. C

?
?

A B D

作用: ①它能判定线面垂直. ② 它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线. 面面垂直

线面垂直

(线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)

思考4

设平面 ? ⊥平面 ? ,点P在平面 ? 内,过点P作平

面 ? 的垂线a,直线a与平面 ? 具有什么位置关系?
直线a在平面 ? 内 α a
β

α
a
β

P

P

思考5

已知平面? ? ?,? ? ? ? AB,直线a∥?,
垂直

a ? AB,试判断直线a与?的位置关系.
α b B l β a

A

例1

如图,已知平面?,?,? ? ?,直线a满足a ? ?,

a ? ?,试判断直线a与平面?的位置关系.
分析:寻找平面α内与a平行的直线.
α b a

l
β A

解:在α内作垂直于 ?与? 交线 的直线b, ∵ ? ? ? , ∴ b ? ?, b

α a l β

∵ a ? ?, ∴a∥b.
又∵a ? ?, ∴a∥α. 即直线a与平面α平行.

A

结论:垂直于同一平面的直线和平面平行( a ? ? ).

例2.已知平面?,?,? 满足? ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? l , 求证:l ? ? .
分析:作出图形. (法一) (法二)

l β
b

aα β n m b

l

α

γ

m

γ

a n A

证法1:设 ? ? ? ? n, ? ? ? ? m, 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m l β b a n γ α

? ? 同理b ? ? ?

?a??

m

? b / /a? ? a ? ? ? ? b / /? ? ? ? b?? b ?? ? ? ? b / /l ? ? ? ? ? ? l? b ? ? ?? l ? ?. ? ? ? ? ? l? ?

证法2:设 ? ? ? ? n, ? ? ? ? m,
在γ内任取一点A(不在m,n上), 在γ内过A点作直线 a ⊥n, 在γ内过A点作直线 b⊥m, β l α

a γ
m b A

n

? ?? ? ? ? ? ? ? n? ? a ? ? ? a?n l ?? ?

a ??l 同理 b ? l a ?b ? A

? l ? ?.

结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么这两个 平面的交线垂直于这个平面.

如图:

l α

β

γ
判断线面垂直的两种方法: ①线线垂直→线面垂直; ②面面垂直→线面垂直.

两个平面垂直应用举例
例题1 如图4,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的动点,过动 点C的直线VC垂直于⊙O所在平面,D、E分别是VA、VC的中 点,直线 DE与平面VBC有什么关系?试说明理由. 解:由VC垂直于⊙O所在平面,知VC⊥AC, VC⊥BC,即 ∠ACB是二面角A-VC-B的平 面角.由∠ACB是直径上的圆周角,知 ∠ACB =90°。 因此,平面 VAC⊥平面VBC.由DE是 △VAC两边中点连线,知 DE∥AC,故 DE⊥VC.由两个平面垂直的性质定理,知 直线DE与平面VBC垂直。

注意:本题也可以先推出AC垂直于平面VBC,再由DE∥AC, 推出上面的结论。

例2.S为三角形ABC所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面SAB⊥平面SBC。 求证:AB⊥BC。 S
证明:过A点作AD⊥SB于D点. ∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC, ∴ AD⊥BC.
A D C

又∵ SA ⊥ 平面ABC, ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
∴BC ⊥ 平面SAB.

B

∴BC ⊥AB.

练习1:如图,以正方形ABCD的对角线AC为折 痕,使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面, 求BD与平面ABC所成的角。
D

D

折成
A

O

C A O B C

B

2.如图,平面AED ⊥平面ABCD,△AED 是等边三角形,四边形ABCD是矩形, (1)求证:EA⊥CD (2)若AD=1,AB= 2 ,求EC与平面ABCD 所成的角。
E

D M A B

C

(2012·北京模拟)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的
平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的

中点.

(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:平面BDE⊥平面BEC.

【证明】(1)取DE中点N,连接MN,AN. 在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点, 所以MN∥CD,且MN= 1 CD.
2 由已知AB∥CD,AB= 1 CD, 2

所以MN∥AB,且MN=AB,

所以四边形ABMN为平行 四边形.所以BM∥AN. 又因为AN?平面ADEF,且BM ? 所以BM∥平面ADEF.

? 平面ADEF,

(2)因为四边形ADEF为正方形, 所以ED⊥AD, 又因为平面ADEF⊥平面ABCD, 且平面ADEF∩平面ABCD=AD. 又因为ED? 平面ADEF, ? 所以ED⊥平面ABCD. 所以ED⊥BC.

在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,

可得BC= 2 2 ,
在△BCD中,BD=BC= 2 2 ,CD=4,所以BC⊥BD,

BD∩ED=D,
所以BC⊥平面BDE,

又因为BC?平面BCE, ?
所以平面BDE⊥平面BEC.

[总结提炼]
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义

☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 ☆ 已知面面垂直易找面的垂线,且在某一个平面内
☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
线线垂直 面面垂直 线面垂直 线面垂直 面面垂直 线线垂直

垂直、平行关系小结 A β α a B

线线垂直

线面垂直

面面垂直

线线平行 面面平行

1.平面与平面垂直的性质定理: 面面垂直 线面垂直
C

?
?

A D

2.面面垂直的性质推论:
α P a
β

B

α b l β A a

α

l γ

β

a ??

a∥α

l ??



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