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高中数学必修4三角函数常考题型:同角三角函数的基本关系



同角三角函数的基本关系
【知识梳理】
同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1.即 sin2α+cos2α=1. (2) 商 数 关 系 : 同 一 个 角 α 的 正 弦 、 余 弦 的 商 等 于 这 个 角 的 正 切 , 即 π ? tan_α? ?其中α≠kπ+2?k∈Z??. sin α = cos α

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【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值
12 【例 1】 (1)已知 sin α= ,并且 α 是第二象限角,求 cos α 和 tan α. 13 4 (2)已知 cos α=- ,求 sin α 和 tan α. 5 [解] 12?2 ? 5 ?2 5 (1)cos2α=1-sin2α=1-? 又 α 是第二象限角, 所以 cos α<0, cos α=- , ?13? =?13? , 13

sin α 12 tan α= =- . cos α 5 4 3 - ?2=? ?2, (2)sin2α=1-cos2α=1-? 5 ? ? ?5? 4 因为 cos α=- <0,所以 α 是第二或第三象限角, 5 3 sin α 3 3 当 α 是第二象限角时,sin α= ,tan α= =- ;当 α 是第三象限角时,sin α=- ,tan 5 cos α 4 5 sin α 3 α= = . cos α 4 【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知 sin α=m,可以先应用公式 cos α=± 1-sin2α,求得 cos α 的值,再由公式 tan α = sin α 求得 tan α 的值. cos α (2)若已知 cos α=m,可以先应用公式 sin α=± 1-cos2α,求得 sin α 的值,再由公式 tan α = sin α 求得 tan α 的值. cos α sin α (3)若已知 tan α=m,可以应用公式 tan α= =m?sin α=mcos α 及 sin2α+cos2α=1,求 cos α

得 cos α=±

1 m 的值. 2,sin α=± 1+m 1+m2

【对点训练】 4 已知 tan α= ,且 α 是第三象限角,求 sin α,cos α 的值. 3 解:由 tan α= sin α 4 4 = ,得 sin α= cos α,① cos α 3 3

又 sin2α+cos2α=1,② 16 9 由①②得 cos2α+cos2α=1,即 cos2α= . 9 25 3 4 4 又 α 是第三象限角,故 cos α=- ,sin α= cos α=- . 5 3 5

题型二、化切求值
【例 2】 已知 tan α=3,求下列各式的值. 4sin α-cos α (1) ; 3sin α+5cos α sin2α-2sin α· cos α-cos2α (2) ; 4cos2α-3sin2α 3 1 (3) sin2α+ cos2α. 4 2 [解] 4tan α-1 4×3-1 11 (1)原式= = = ; 3tan α+5 3×3+5 14

tan2α-2tan α-1 9-2×3-1 2 (2)原式= = =- ; 23 4-3tan2α 4-3×32 3 2 1 3 1 sin α+ cos2α tan2α+ 4 2 4 2 (3)原式= = 2 2 2 sin α+cos α tan α+1 3 1 ×9+ 4 2 29 = = . 40 9+1 【类题通法】 化切求值的方法技巧 asin α+bcos α asin2α+bsin αcos α+ccos2α (1)已知 tan α=m,可以求 或 的值,将分子分母同 csin α+dcos α dsin2α+esin αcos α+fcos2α 除以 cos α 或 cos2α,化成关于 tan α 的式子,从而达到求值的目的. (2)对于 asin2α+bsin αcos α+ccos2α 的求值,可看成分母是 1,利用 1=sin2α+cos2α 进行代 替后分子分母同时除以 cos2α,得到关于 tan α 的式子,从而可以求值.

【对点训练】 已知 tan α=2,求下列各式的值: 2sin α-3cos α (1) ; 4sin α-9cos α (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2 α. 2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 解:(1) = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9 (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α = 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α , sin2α+cos2α

这时分子和分母均为关于 sin α,cos α 的二次齐次式. 因为 cos2α≠0,所以分子和分母同除以 cos2α, 4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 则 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α= = =1. tan2α+1 4+1

题型三、化简三角函数式
【例 3】 化简 tan α 1 -1,其中 α 是第二象限角. sin2α

[解] 因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0. 故 tan α =tan α = 1 -1=tan α sin2α 1-sin2α sin2α

cos2α sin α ?cos α? = · sin2α cos α ? sin α ?

sin α -cos α · cos α sin α

=-1. 【类题通法】 三角函数式化简技巧 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目 的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 sin2α+cos2α=1,以降低 函数次数,达到化简的目的. 【对点训练】

sin θ-cos θ 化简:(1) ; tan θ-1 (2) sin2θ-sin4θ,θ 是第二象限角.

sin θ-cos θ sin θ-cos θ sin θ-cos θ 解:(1) = = =cos θ. sin θ tan θ-1 sin θ-cos θ -1 cos θ cos θ (2)由于 θ 为第二象限角,所以 sin θ>0,cos θ<0, 故 sin2θ-sin4θ= sin2θ?1-sin2θ?= sin2θcos2θ=|sin θcos θ|=-sin θcos θ.

题型四、证明简单的三角恒等式
【例 4】 求证: tan αsin α tan α+sin α = . tan α-sin α tan αsin α

tan2α-sin2α tan2α-tan2αcos2α [证明] 法一:∵右边= = = ?tan α-sin α?tan αsin α ?tan α-sin α?tan αsin α tan2α?1-cos2α? tan2αsin2α tan αsin α = = =左边, ?tan α-sin α?tan αsin α ?tan α-sin α?tan αsin α tan α-sin α ∴原等式成立. tan αsin α sin α 法二:∵左边= = , tan α-tan αcos α 1-cos α tan α+tan αcos α 1+cos α 1-cos2α sin2α sin α 右边= = = = = , tan αsin α sin α sin α?1-cos α? sin α?1-cos α? 1-cos α ∴左边=右边,原等式成立. 【类题通法】 简单的三角恒等式的证明思路 (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左、右两边等于同一个式子; (3)逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简. 【对点训练】 1+2sin θcos θ 1+tan θ 证明: = cos2θ-sin2θ 1-tan θ sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ 证明:∵左边= ?cos θ+sin θ??cos θ-sin θ? = ?sin θ+cos θ?2 ?cos θ+sin θ??cos θ-sin θ?

cos θ+sin θ cos θ cos θ+sin θ 1+tan θ = = = cos θ-sin θ cos θ-sin θ 1-tan θ cos θ =右边, ∴原等式成立.

【练习反馈】
π ? 3 1.已知 α∈? ?2,π?,sin α=5,则 cos α 等于( 4 A. 5 1 C.- 7 4 B.- 5 3 D. 5 )

π ? 3 解析:选 B ∵α∈? ?2,π?且 sin α=5, ∴cos α=- 1-sin2α=- 2.若 α 为第三象限角,则 A.3 C.1 3?2 4 1-? ?5? =-5. cos α 2sin α 的值为( 2 + 1-sin α 1-cos2α B.-3 D.-1 )

cos α 2sin α 解析:选 B ∵α 为第三象限角,∴原式= + =-3. -cos α -sin α 1 3.已知 cos α-sin α=- ,则 sin αcos α 的值为________. 2 1 解析: 由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α= , 解得 sin αcos 4 3 α= . 8 3 答案: 8 2sin α-cos α 4.若 tan α=2,则 的值为________. sin α+2cos α 2sin α-cos α cos α 2tan α-1 2×2-1 3 解析:原式= = = = . 4 sin α+2cos α tan α+2 2+2 cos α 3 答案: 4

1-2sin 130° cos 130° 5.化简: . sin 130° + 1-sin2130° 解:原式= = = sin2130° -2sin 130° cos 130° +cos2130° sin 130° + cos2130°

|sin 130° -cos 130° | sin 130° +|cos 130° | sin 130° -cos 130° =1. sin 130° -cos 130°



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