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高一数学典型例题分析:函数的应用举例



函数的应用举例·例题解析 ? 1.几何问题类 用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题,这是常常出现的数学本身 的综合运用问题. 【例 1】 如图 2.9-1,一动点 P 自边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发,沿正方形的 边界运动一周,再回到 A 点.若点 P 的路程为 x,点 P 到顶点 A 的距离为 y,求 A、P 两点 间的距离 y 与点 P

的路程 x 之间的函数关系式. 解 (1)当点 P 在 AB 上,即 0≤x≤1 时,AP=x,也就是 y=x. (2)当点 P 在 BC 边上,即 1<x≤2 时,AB=1,AB+BP=x,BP=x-1,根据勾股定理,得 AP2 =AB2+BP2 (3)当点 P 在 DC 边上, 即 2<x≤3 时, AD=1, DP=3-x. 根据勾股定理, 得 AP2=AD2+DP2. (4)当点 P 在 AD 边上,即 3<x≤4 时,有 y=AP=4-x. ∴所求的函数关系式为 2.行程问题类 【例 2】 已知,A、B 两地相距 150 公里,某人开汽车以 60 公里/小时的速度从 A 地到达 B 地, 在 B 地停留一小时后再以 50 公里/小时的速度返回 A 地, 求汽车离开 A 地的距离 x 表示 为时间 t 的函数. 解 根据题意: (1)汽车由 A 到 B 行驶 t 小时所走的距离 x=60t,(0≤t≤2.5) (2)汽车在 B 地停留 1 小时,则 B 地到 A 地的距离 x=150(2.5<x≤3.5) (3)由 B 地返回 A 地,则 B 地到 A 地的距离 x=150-50(t-3.5)=325-50t(3.5<x≤6.5) 3.工程设计问题类 工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一 类问题. 【例 3】 要在墙上开一个上部为半圆,下部为矩形的窗户(如图 2.9-2 所示),在窗框为 定长 l 的条件下,要使窗户透光面积最大,窗户应具有怎样的尺寸? 解 设半圆的直径为 x,矩形的高度为 y,窗户透光面积为 S,则

面积最大. 说明 应用二次函数解实际问题,关键是设好适当的一个变量,建立目标函数. 【例 4】 要使火车安全行驶,按规定,铁道转弯处的圆弧半径不允许小于 600 米,如果某 段铁路两端相距 156 米,弧所对的圆心角小于 180°,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范

围. 解 设园的半径为 R,圆弧弓形高 CD=x(m). 在 Rt△BOD 中,DB=78,OD=B-x ∴(R-x)2+782=R2 由题意知 R≥600 得 x2-1200x+6084≥0(x>0),解得 x≤5.1 或 x≥1194.9(舍) ∴圆弧弓形高的允许值范围是(0,5.1]. 4.营销问题类 这类问题是指在营销活动中,计算产品成本、利润(率),确定销售价格.考虑销售活动的盈 利、 亏本等情况的一类问题. 在营销问题中, 应掌握有关计算公式: 利润=销售价-进货价. 【例 5】 将进货价为 8 元的商品按每件 10 元售出,每天可销售 200 件,若每件售价涨价 0.5 元,其销售量就减少 10 件.问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出这个 最大利润. 解 设每件售价提高 x 元,则每件得利润(2+x)元,每天销售量变为(200-20x)件,所获利 润 y=(2+x)(200-20x) =-20(x-4)2+720 当 x=4 时,即售价定为 14 元时,每天可获最大利润为 720 元. 5.单利问题类 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算. 设本金为 P 元, 每期利率为 r, 经过 n 期后, 按单利计算的本利和公式为 Sn=P(1+nR). 【例 6】 某人于 1996 年 6 月 15 日存入银行 1000 元整存整取定期一年储蓄, 月息为 9?, 求到期的本利和为多少? 解 这里 P=1000 元,r=9?,n=12,由公式得 S12=P(1+12r)=1000×(1+0.009×12)=1108 元. 答 本利和为 1108 元. 6.复利问题类 复利是一种计算利率的方法, 即把前一期的利息和本金加在一起做本金, 再计算下一期的利 息.设本金为 P,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x,则复利函数式为 y=P(1+r)x. 【例 7】 某企业计划发行企业债券,每张债券现值 500 元,按年利率 6.5%的复利计息, 问多少年后每张债券一次偿还本利和 1000 元?(参考 lg2=0.3010,lg1.065=0.0274). 解 设 n 年后每张债券一次偿还本利和 1000 元, 由 1000=500(1+6.5%)n, 解得 n=lg2/lg1.065 ≈11. 答 11 年后每张债券应一次偿还本利和 1000 元. 7.函数模型类 这个问题是指在问题中给出函数关系式, 关系式中有的带有需确定的参数, 这些参数需要根 据问题的内容或性质来确定之后,然后使问题本身获解. 【例 8】 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件.为 了估测以后每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据, 用一个函数模拟该产品的月产品 的月产量 y 与月份数 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx+c(其中 a、b、c 为常数),已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,

并说明理由. 解 设二次函数 y1=f(x)=px2+qx+x(p≠0)

∴y1=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7 f(4)=-0.05×16+0.35×4+0.7=1.3 又 y=abx+c

【例 9】 有甲乙两种产品,生产这两种产品所能获得的利润依次 投入 3 万元资金生产甲、乙两种产品,为获得最大利润,对甲、乙两种产品的资金投入分别 应为多少?最大利润是多少? 解 设投入甲产品资金为 x 万元,投入乙产品资金为(3-x)万元,总利润为 y 万元.

答 对甲、乙产品分别投资为 0.75 万元和 2.25 万元,获最大利润为 8.增长率(或降低率)问题类 这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题. 【例 10】 某工厂 1988 年生产某种产品 2 万件,计划从 1989 年开始,每年的产量比上一 年增长 20%, 问哪一年开始, 这家工厂生产这种产品的年产量超过 12 万元(已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771) 解 设过 x 年后,产量超过 12 万件. 则有 2(1+20%)x>12 解得 x>9.84 答 从 1998 年开始年产量可超过 12 万件. 9.相关学科问题类 这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题. 【例 11】 在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1, a2,?,an,共 n 个数据,我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与 其它近似值比较,a 与各数据差的平方和最小,依此规定,求从 a1,a2,?,an 推出的 a 值. 解 a 应满足:y=(a-a1)2+(a-a2)2+?+(a-an)2 此式表示以 a 为自变量的二次函数, ∵n>0. 10.决策问题类 决策问题,是指根据已掌握的数据及有关信息,利用数学知识对某一事件进行分析、计算, 从而作出正确决策的题. 【例 12】 某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台,现销售给 A 地 10 台,B 地 8 台,已知从甲地调运一台至 A 地、B 地的运费分别为 400 元和 800 元,从乙地调 运一台至 A 地、B 地的运费分别为 300 元和 500 元.

(1)设从乙要调 x 台至 A 地,求总运费 y 关于 x 轴的函数关系式. (2)若总运费不超过 9000 元,问共有几种调运方案? (3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费. 解 (1)y=300x+500(6-x)+400(10-x)+800[12-(10-x)]=200(x+43)(0≤x≤6,x∈N) (2)当 x=0,1,2 时,y≤9000,故共有三种方案,总运费不超过 9000 元. (3)在(1)中, 当 x=0 时, 总运费最低, 调运方案为: 乙地 6 台全调 B 地, 甲地调 2 台至 B 地, 10 台至 A 地,这时,总运费 y=8600 元.



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