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高中理科数学必做100题必修5



051.在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 ,B=45? , 求 A、C 及 c. 解一:根据正弦定理, a sin B 3 sin 45? 3 . sin A ? ? ? b 2 2 ∵B=45?<90?,且 b<a,∴A=60?或 120?. ①当 A=60?时,C=75?,

b sin C 2 sin 75? 6? 2 ? ?

; ? sin B sin 45 2 ②当 A=120?时,C=15?, b sin C 2 sin15? 6? 2 c? ? ? . ? sin B sin 45 2 解二:根据余弦定理, b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B . 将已知条件代入,整理得 c 2 ? 6c ? 1 ? 0 , c? 6? 2 . 2 6? 2 ①当 c ? 时, 2 b2 ? c2 ? a 2 cos A ? 2bc 6? 2 2 2?( ) ?3 1? 3 ? 2 ? ? ? , 6? 2 2( 3 ? 1) 2 2? 2 ? 2 ∴A=60?,C=75?;
解得 c ?

6? 2 时, 2 b2 ? c2 ? a 2 cos A ? 2bc 6? 2 2 2?( ) ?3 1? 3 ? 2 ? ? ?? , 2 2( 3 ? 1) 6? 2 2? 2 ? 2 ∴A=120?,C=15? .
②当 c ?

052.在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,判断△ABC 的形状. b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 解:? cos A ? , cos B ? , 2bc 2ac b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 ? ?a ? ?b , 2bc 2ac 化简得: a 2 c 2 ? a 4 ? b 2c 2 ? b 4 , 即 a 2 ? b2 c 2 ? a 2 ? b2

?

?

?

?? a

2

? b2 ? .

①若 a 2 ? b 2 ? 0 时,a ? b ,此时 ?ABC 是等腰三角 形; ②若 a 2 ? b 2 ? 0 , a 2 ? b 2 ? c 2 ,此时 ?ABC 是直角 三角形, ∴ ?ABC 是等腰三角形或直角三角形.

053.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对 边,且 a2+b2=c2+ 2 ab. (1)求 C; tan B 2a ? c (2)若 ,求 A. ? tan C c 解: (1)∵a2+b2=c2+ 2 ab,

a 2 ? b2 ? c2 2 ? , 2ab 2 2 ∴cosC= ,∴C=45° . 2 (2)由正弦定理可得 tan B 2a ? c 2sin A ? sin C , ? ? tan C c sin C sin B cos C 2sin A ? sin C ∴ ? cos B sin C sin C ∴ sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB, ∴ sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, ∴ sin(B+C)=2sinAcosB, ∴ sinA=2sinAcosB. 1 ∵ sinA≠0,∴cosB= , 2 ∴ B=60° ,A=180° -45° -60° =75° .


054.如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅 直平面内,已知飞机的高度为海拔 10 千米,速度 为 180 千米/小时, 飞行员先看到山顶的俯角为 30 ? , 经过 2 分钟后又看到山顶的俯角为 75? ,求山顶的

海拔高度. 解:在 ?ABP 中, ?BAP ? 30? ,

?APB ? 75? ? 30? ? 45? , AB ? 180 ?
根据正弦定理,

2 ?6. 60

AB BP , ? sin ?APB sin ?BAP

6 BP ,∴ BP ? 3 2 . ? sin 4 ?5 si? n 30
∵ BP ? sin 75? ? 3 2 ? sin(45? ? 30?) ? ∴山顶 P 的海拔高度为

3?3 3 . 2

h ? 10 ?

3 ? 3 3 17 ? 3 3 ? (千米). 2 2

055.已知数列 {an } 的第 1 项是 1,第 2 项是 2,以后 各项由 an ? an ?1 ? an ?2 (n ? 2) 给出. (1)写出这个数列的前 5 项; (2)利用上面的数列 {an } ,通过公式 bn ? 解(1)由 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? an?1 ? an?2 , 得 a3 ? a2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 3 , a4 ? a3 ? a2 ? 2 ? 3 ? 5

an ?1 构 an

造一个新的数列 {bn } ,试写出数列 {bn } 的前 5 项.

a5 ? a4 ? a3 ? 3 ? 5 ? 8 ; a a 2 3 ( 2 )依题意有: b1 ? 2 ? ? 2 , b2 ? 3 ? , a1 1 a2 2 a a 5 8 b3 ? 4 ? , b4 ? 5 ? , a3 3 a4 5 a a ? a4 5 ? 8 13 b5 ? 6 ? 5 ? ? . a5 a5 8 8

1 056.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? n . 2 (1)求这个数列的通项公式. (2)这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项 与公差分别是什么? 3 解: (1)①当 n ? 1 时, a1 ? s1 ? ; 2 ②当 n ? 2 时,由 an ? sn ? sn ?1 得
n? ? 1 1 2 ? ? an ? ? n 2 ? ? ? ?? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? 2n ? 2? ? 2 2 ? ? 3 1 又 a1 ? 满足 an ? 2n ? , 2 2 1 ∴此数列的通项公式为 an ? 2n ? . 2 1? ? 1? ? (2)∵ an ? an ?1 ? ? 2n ? ? ? ? 2 ? n ? 1? ? ? ? 2 , 2 2? ? ? ? 3 ∴此数列是首项为 ,公差为 2 的等差数列. 2

057.等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn . 解: (1)设 {an } 的公比为 q ,则 由 a4 ? 16 得 16 ? 2q3 ,解得 q ? 2 . ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . ( 2 )∵ an ? 2n ,∴ a3 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 ,

b5 ? 32 .
设等差数列 {bn } 的公差为 d ,则

?b1 ? 2d ? 8 ?b ? ?16 ,解得 ? 1 . ? ? d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32
∴ bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 . ∴数列 {bn } 的前 n 项和为

Sn ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n2 ? 22n . 2

058.如果一个等比数列前 5 项的和等于 10,前 10 项的和等于 50,那么它的前 15 项的和等于多少?

解法一:? S5 ? 10, S10 ? 50 ,

? S10 ? S5 ? 40, S15 ? S10 ? S15 ? 50 , 又 S5 , S10 ? S5 , S15 ? S10 成等比数列,
∴ 402 ? 10 ? S15 ? 50? , ∴ S15 ? 210 . 解法二:设等比数列的首项为 a1 ,公比为 q ,则:

S10 ? ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? ? ? a6 ? a7 ? ? ? a10 ?

= S5 ? q5 S5 = 1 ? q5 S5 ? 50 ①, 同理 S15 ? S10 ? q S5 ②,
10

?

?

∵ S5 ? 10 ,∴由①得 q 5 ? ∴ q10 ? 16 ,代入②,

S10 ?1 ? 4 , S5

得 S15 ? S10 ? qS5 ? 50 ? 16 ?10 ? 210 .

059.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

1 Sn ? (an ? 1)(n ? N * ) . 3 (1)求 a1 , a2 ;

(2)求证:数列 ?an ? 是等比数列.

1 1 解: (1) a1 ? S1 ? (a1 ? 1) ,解得 a1 ? ? . 3 2 1 1 1 由 S2 ? (a2 ? 1) ? a1 ? a2 ? ? ? a2 ,解得 a2 ? . 3 2 4 1 (2)∵ Sn?1 ? (an?1 ? 1) , 3 1 1 则 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? (an?1 ? 1) ? (an ? 1) , 3 3 an ?1 1 ?? , 化简得 2an ?1 ? ?an ,即 an 2
∴ {an } 是等比数列.

060.已知不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 的解集是 B. (1)求 A ? B ; ( 2 )若不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集是 A ? B, 求

ax 2 ? x ? b ? 0 的解集. 解: (1)解 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 , ∴解集 A ? (?1,3) .
解 x 2 ? x ? 6 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 , ∴解集 B ? (?3, 2) . ∴ A ? B ? (?1,2) . ( 2 ) 由 x 2 ? a x? b ?0 的 解 集 是 (? 1, 2 ) ,所以

?1 ? a ? b ? 0 ? a ? ?1 ,解得 ? ? ? 4 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?2
∴ ? x 2 ? x ? 2 ? 0 ,即 x 2 ? x ? 2 ? 0 ∵ ? ? ? ?1? ? 4 ? 2 ? 0
2

∴ ax 2 ? x ? b ? 0 的解集为 R.

061.电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中, 连续剧甲每次播放时间为 80 min, 广告时间为 1 min, 收视观众为 60 万; 连续剧乙每次播放时间为 40 min, 广告时间为 1 min,收视观众为 20 万. 已知此企业 与电视台达成协议, 要求电视台每周至少播放 6 min 广告,而电视台每周播放连续剧的时间不能超过 320 分钟. 问两套连续剧各播多少次,才能获得最 高的收视率? 解:将所给信息用下表表示. 每次播放时间 广告时间(单 收视观众 (单位:min) 位:min) (单位:万) 连续 80 1 60 剧甲 连续 40 1 20 剧乙 限制 播放最长时间 最少广告时 320 条件 间6 设每周播放连续剧甲 x 次,播放连续剧乙 y 次,收 视率为 z. 则目标函数为 z=60x+20y, ?80 x ? 40 y ? 320 ?x ? y ? 6 ? 约束条件为 ? , ?x ? 0 ? ?y ? 0 作出可行域如图,

作平行直线系 y ? ?3x ? 点 A 时纵截距

z ,由图可知,当直线过 20

z 最大. 20 ?x ? 2 ?80 x ? 40 y ? 320 由方程组 ? ,解得 ? , ?x ? y ? 6 ?y ? 4
∴点 A 的坐标为(2,4),则 zmax=60x+20y=200 (万). ∴电视台每周应播放连续剧甲 2 次,播放连续剧乙 4 次,才能获得最高的收视率.

062.已知 x, y 为正数. (1)若

1 9 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值; x y 1 9 ? ?1, x y

(2)若 x ? 2 y ? 2 ,求 xy 的最大值. 解: (1)∵

1 9 2 y 9x ? ∴ x ? 2 y ? ( x ? 2 y )( ? ) ? 1 ? 18 ? x y x y
≥ 19 ? 2

2 y 9x ? ? 19 ? 6 2 . x y

2 y 9x ? ? 当且仅当 时,即 ? 18 ? 3 2 时取等号. x y y ? ?

? x ? 1? 3 2 2

? ∴ x ? 2 y 的最小值为 19 ? 6 2 .
(2) xy ?

x ? 2y 2 . ? 2 2 2 2 1 当且仅当 x ? 2 y ,即 x ? 1, y ? 时等号成立. 2 2 ∴ xy 的最大值为 . 2 1 x ? 2y ? 1 ?

063.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积 为 4800 m3, 深为 3 m, 如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计 水池能使总造价最低?最低总造价是多少元? 解: 设水池底面一边的长度为 x m, 则另一边的长 4800 度为 m,又设水池总造价为 y 元. 根据题意, 3x 得 4800 4800 y=150× +120(2×3x+2×3× ) 3 3x 1600 =240000+720(x+ ) x 1600 ≥240000+720×2 x ? x =240000+720×2×40=297600. 1600 当 x= ,即 x=40 时,y 有最小值 297600. x 因此,当水池的底面是边长为 40 m 的正方形时, 水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元.

064.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某 公路段汽车的车流量 y (千辆/小时)与汽车的平均 速度 v (千米/小时)之间的函数关系为: 920v y? 2 (v ? 0) . v ? 3v ? 1600 (1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时, 车流量最大?最大车流量为多少? (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则 汽车的平均速度应在什么范围内? 解: (1)依题意得

920 920 920 ? ? . 1600 83 2 1600 ? 3 (v ? )?3 v 1600 当且仅当 v ? 即 v ? 40 时取等号. v 920 故 ymax ? 千辆 / 小时. 83 920v (2)由条件得 2 ? 10 . v ? 3v ? 1600 整理得 v 2 ? 89v ? 1600 ? 0 . 解得 25 ? v ? 64 . y?



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