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临汾市2014年高考考前适应性训练数学试题答案(理科)



秘密★启用前

2014 年第一次高考考前适应性训练试卷 理科数学试题参考答案和评分参考
评分说明: 1.本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不

得超过该部分 正确解答分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

∴ bn ?1 ? bn ? [log3 4 ? (n ? 1)] ? (log3 4 ? n) ? ?1 , ∴数列 {bn } 是等差数列.........................................................................6 分

第I卷
一.选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 D 11 D 12 D

1 ) 3n ? 3 ? 1 , a ? S ? 2 ? 2 ,...............9 分 (2)∵ S n ? n n 1 3n ?2 32 n ?2 3n ?1 1? 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ Tn ? ( ?1 ? 0 ? 1 ? ??? ? n ? 2 ) ? ( 0 ? 2 ? 4 ? ??? ? 2 n ?2 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 6 ? (1 ? n ) 2 ? (1 ? 2 n ) 3 ? 3 ? (9 ? 1 ) ? ( 9 ? 1 ) ? 1 1 3n ?2 4 4 ? 3 2n ? 2 1? 1? 3 9 27 1 1 ...................................................................12 分 ? ? n?2 ? 2 n? 2 4 3 4 ? 3 2 ? (1 ?
18、解: (1) ① x1 ? x2 (2)
频率/组距

第 II 卷
二.填空题: 三. 解答题: 17、解: (1)∵ an ?1 ? an ? 13、 2 x ? y ? 3 ? 0 14、 a ? b ? c

? 15、 ? 4

3 16、 4

② m1 ? m2

③ s1 ? s2 ;...........................3 分
2 2

8 , 3n

8 8 ? ? a2 ? a1 ? , ? a1q ? a1 ? , ? a1 ? 2, ? ? ? ? 3 3 ∴? 即? 解得 ? 1 .................................3 分 q? . ? ?a ? a ? 8 , ?a q 2 ? a q ? 8 , 3 ? 3 2 1 1 ? ? 9 9 ? ? 2 n ?1 ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? a1q ? n ?1 ,.....................................4 分 3 2 2 4 ∴ an ? an ?1 ? n ?1 ? n ? n , 3 3 3 ∴ bn ? log3 (an ? an ?1 ) ? log3 4 ? n ,......................................................5 分

0.030 0.028 0.026 0.024 0.022 0.020 0.018 0.016 0.014 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 O

265 285 305 325 345 365

销售量

图1 甲城市员工销售量的频率分布直方图

第 1 页 共 4 页

频率/组距

0.030 0.028 0.026 0.024 0.022 0.020 0.018 0.016 0.014 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 O

3 1 3 1 , ? , 0) , B( , , 0) . 2 2 2 2 3 1 3 , , ) .......................7 分 ∴M( 4 4 2 设平面 OCM , OAM 的法向量分别为 ?? ? m ? ( x1 , y1 , z1 ) , n ? ( x2 , y2 , z2 ) . ???? ?? ??? ? ? ? ? OC ? m ? 0, ? ? OA ? n ? 0, 则 ? ???? ? ?? ? ? ? ???? ? ?OM ? m ? 0, ? ?OM ? n ? 0, A(
D A
销售量

z S

M

O x E B

C

y

265 285 305 325 345 365

图2 乙城市员工销售量的频率分布直方图

...............................8 分

(每做错一个长方形扣 0.5 分) (3) E ( X ) ? 500 ? 0.12 ? 1000 ? 0.36 ? 1500 ? 0.24 ? 2000 ? 0.24

?2500 ? 0.04 ? 1360 元,......................................................................10 分
E (Y ) ? 500 ? 0.04 ? 1000 ? 0.12 ? 1500 ? 0.52 ? 2000 ? 0.28

?2500 ? 0.04 ? 1580 元.......................................................................12 分
19、解: (1)证明:在 ?SDC 中,∵ SD ? SC , O 为 CD 中点, ∴ SO ? DC .....................................................................................2 分 连接 AO ,在 Rt ?CAD 中,有 AO ? DO ,而且 SD ? SA , ∴ ?SDO ? ?SAO ,..........................................................................4 分 ∴ SO ? OA ,又 OA ? DC ? O , OA , DC ? 平面 ABCD , ∴ SO ? 平面 ABCD .......................................................................5 分 (2)由(1)知 SO ? 平面 ABCD ,故取 AB 的中点 E ,连接 OE . 以 O 为坐标原点,分别以 OE 、 OC 、 OS 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐 标系,如图:不妨设 CD ? 2 ,则 SO ? 3 , DA ? CB ? 1 , 故 O(0,0,0) , S (0, 0, 3) , C (0,1, 0) ,

? 3 1 ? y1 ? 0, x2 ? y2 ? 0, ? ? 2 ? 2 即? 3 ? 1 3 x1 ? y1 ? z1 ? 0, ? 3 1 3 ? x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? 4 4 2 ? ? 4 4 2 ?? ? 分别取 m ? ( ?2, 0,1) , n ? (1, 3, ?1) ,................................................10 分 ?? ? ?? ? m?n 3 ? ? ? ,............................................................11 分 ∴ cos ? m, n ?? ?? 5 | m |?| n | 3 ∴二面角 A ? OM ? C 的余弦值为 ? ...................................................12 分 5
20、解: (1)由题知 ?
2 2

? ?a ? c ? 2 ? 3,

? ? a ? c ? 2 ? 3, 2 ∴ b ? a ? c ? 1, x2 ? y 2 ? 1 ..............................................................2 分 ∴椭圆方程为 4 ???? ? ???? 设 P( x?, y?) , Q( x, y ) ,则 M ( x?, 0) , MQ ? ( x ? x?, y ) , MP ? (0, y ?) ,

解得 ?

? ?a ? 2, ? ? c ? 3,

第 2 页 共 4 页

x? ? x, ???? ? ???? ? x ? x? ? 0, ? ? 根据 MQ ? 2MP 得 ? 即? y y? ? , ? y ? 2 y?, ? ? 2 将它代入椭圆方程,再做整理可得动点 Q 的轨迹方程为
x 2 ? y 2 ? 4 ......................................................................................5 分 (2)设直线 AQ 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 1 ∵点 Q 在 x 轴上方,容易知道 k ? 0 ,且 k1 ? ? .......................6 分 k y ? y ? k ( x ? 2), Q ? 2 联立方程 ? x D 2 P ? ? y ? 1, ? 4 2 2 2 2 整理得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 , A M F B C O

x

1 1 x ,...................................................2 分 ? ? 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2 容易知道,当 x ? (?1, 0) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x) 单调减;当 x ? (0, ??) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x) 单调增...................................................................4 分 1 ax 1 (2)构造函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) ? ? x ? 1, e x ?1 e x 1 a 1 e ? x ?1 a 则 g ?( x) ? ..................6 分 ? ? x ? ? 2 x x ? 1 ( x ? 1) e ( x ? 1)e ( x ? 1) 2 x x 设 ? ( x) ? e ? x ? 1 ,则 ? ?( x) ? e ? 1 , 容易知道,当 x ? (??, 0) 时, ? ?( x ) ? 0 , ? ( x) 单调减;当 x ? (0, ??) 时, ? ?( x ) ? 0 , ? ( x) 单调增. x 所以 ? min ( x) ? ? (0) ? 0 ,可见 ? ( x) ? ? (0) ,即 e ? x ? 1 .................8 分 f ?( x) ?
ex ? x ?1 a ? 0 ,? ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 . x ( x ? 1)e ( x ? 1) 2 所以,当 x ? [0, ??) 时, y ? g ( x) 单调增,而 g (0) ? 0 , 1 所以,当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,则有 f ( x ) ? 1 ? x .............................9 分 e x ② 当 a ? 0 时,由①知 e ? x ? 1 , ex ? x ?1 ex ? x ?1 x 2 ? 所以,当 x ? 0 时, ( x ? 1)e ? ( x ? 1) ,所以 . ( x ? 1)e x ( x ? 1) 2
① 当 a ? 0 时,

16k ? 4 ∴ x A ? xD ? ,而 x A ? ?2 , 1 ? 4k 2 2 ? 8k 2 4k ∴ xD ? , yD ? k ( xD ? 2) ? ,.................................8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 4k 2 yD ? yC 4k ∴ k2 ? ,.......................................10 分 ? 1 ? 4k ? 2 xD ? xC 2 ? 8k 3 ? 4k 2 ?1 1 ? 4k 2 ∵直线 CD 的斜率存在, 3 ∴k ? , 2 k 3 3 ∴ ? ? 1 ? 1? ,而 k ? 0 且 k ? ,......................................11 分 2 k2 4k 2 ∴ ? ? (??,0) ? (0,1) .........................................................................12 分
2

21、解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ex ? x ?1 a ex ? x ?1 a ex ? x ?1? a ? ? ? ? . ( x ? 1)e x ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 x 由于当 x ? [0, ??) 时, ? ( x) ? e ? x ? 1 单调增,而 ? (0) ? 0 , 所以函数 y ? ? ( x) 的值域是 [0, ??) , 所以 ?x0 ? (0, ??) 使得 ? ( x0 ) ? a ,并且 x0 唯一. 所以,当 x ? [0, x0 ) 时, ? ( x) ? a ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 , y ? g ( x) 单调减,
所以 g ?( x) ? 由于 g (0) ? 0 ,所以当 x ? [0, x0 ) 时, g ( x) ? 0 ,不符合题意........11 分 综上所述, a 的取值范围为 (??, 0] ..........................................................12 分
第 3 页 共 4 页

x ( x ? ?1 ) , x ?1

22、证明: (1)∵ AD ? AC ,∴ ?ACD ? ?ADC , 又∵ PA 与圆 O 相切于点 A ,∴ ?ACD ? ?PAD ,.................................3 分 ∴ ?PAD ? ?ADC ,∴ AP / /CD ,..........................................................5 分 (2)∵ ?EDF ? ?P ,且 ?FED ? ?AEP , ∴ ?FED ∽ ?AEP , FE ? EP ? AE ? ED ,.....................................................................................7 分 又∵ A 、 B 、 D 、 C 四点均在圆 O 上, ∴ CE ? EB ? AE ? ED ,.................................................................................9 分 ∴ CE ? EB ? FE ? EP ................................................................................10 分 23、解:

综上,当 a ? 6 时,不等式的解集为 ? , 当 a ? 6 时,不等式的解集为 {x | 3 ? a ? x ? a ? 9} ................................5 分 (2)由题意得: 2 | x ? 1|? ? | x ? 3 | ? a , x ? R. 即 2 | x ? 1| ? | x ? 3 |? a .

y 2 x2 ? ? 1 ,..........................................2 分 (1)曲线 C1 的方程消去参数得 4 2 曲线 C2 的方程消去参数得 y ? x ? 2 ......................................................4 分

??3x ? 1, x ? ?3, ? 令 g ( x) ? 2 | x ? 1| ? | x ? 3 | ,则 g ( x) ? ?? x ? 5, ?3 ? x ? 1, ..............7 分 ? 3x ? 1, x ? 1, ? 显然,当 x ? (??,1) 时,函数 g ( x) 单调减; 当 x ? (1, ??) 时,函数 g ( x) 单调增. ∴ g ( x) 的最小值为 g (1) ? 4 ..................................................................9 分 ∴ a ? 4 ....................................................................................................10 分

? y 2 x2 ? 1, ? ? 2 (2)联立方程 ? 4 得 3 y ? 4 2 y ? 0 ....................................6 分 2 y ? y ? x ? 2, ?

? 2 x2 ? ? , ? ? x1 ? 2, ? ? 3 解得 ? 或? ..................8 分 y ? 0, ? 4 2 ? 1 ?y ? ? . 2 ? 3 ?
如图, ?FAB 可以分为 ?FBC 和 ?FAC , 所以 ?FAB 的面积 S ?

F O C B A x

1 1 4 2 8 ? 2 2( x1 ? x2 ) ? ? 2 2 ? ? ..........10 分 2 2 3 3

24、解: (1)由 g ( x) ? 6 ,得 ? | x ? 3 | ? a ? 6 ,即 | x ? 3 |? a ? 6 . 当 a ? 6 ? 0 即 a ? 6 时, x ?? ...................................................................2 分 当 a ? 6 ? 0 即 a ? 6 时,不等式等价于 6 ? a ? x ? 3 ? a ? 6 , ∴ 3 ? a ? x ? a ? 9 ........................................................................................4 分
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