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§3 第1课时 指数函数的图像与性质



§3
第1课时

指数函数
指数函数的图像与性质

y=ax的图像特征与性质
图像特征 函数性质

a >1 0< a < 1 向 x 轴正负方向无限延伸 图像关于原点和 y 轴不对称 函数图像都在 x 轴上方
函数图像都过定点(0,1) 自左向右, 图像逐渐上升 在第一象限内的

图 像纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都小于 1 自左向右, 图像逐渐下降 在第一象限内的图 像纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都大于 1

a >1

0< a < 1

函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+

a 0 =1
增函数 减函数

x >0, a x > 1

x > 0, a x < 1

x <0, a x < 1

x < 0, a x > 1

指数函数 y ? a 的图像与性质
x
a>1 0<a<1 图
2



2

定义域:R 值域: (0,+∞) 性 过点(0,1) 当 x>0 时 y>1 当 x<0 时 0<y<1 是 R 上的增函数 当 x>0 时 0<y<1 当 x<0 时 y>1 是 R 上的减函数



例 1 比较下列各题中两个数的大小: (1) 3
0.8

,
-0.1

3

0.7

(2) 0.75

,

0.75

0.1

解:方法一:直接用科学计算器计算各数的 值,再对两个数值进行大小比较

(1)因为30.8≈2.408225,30.7 ≈2.157669,所以 30.8>30.7 (2)因为0.75-0.1 ≈ 1.029186,0.750.1 ≈ 0.971642 所以0.75-0.1<0.750.1

方法二 利用指数函数的性质对两个数值进行大小比较
(1) 因为 y ? 3x 是 R 上的增函数, 0.7 ? 0.8 ,所以

30.7 ? 30.8
(2) 因为 y ? 0.75x 是 R 上的减函数, 0.1 ? ?0.1 ,所以

0.750.1 ? 0.75?0.1

巩固练习
比较下列各题中两个数的大小: (1) 1.72.5与1.73; (2) 0.8-0.1与0.8-0.2; (3) 1.50.3与0.81.2

解: (1)考查函数 y ? 1.7 ,由 1.7 >1 得函数在实数集上是增函数
x

∵2.5 < 3

∴ 1.7
x

2.5

? 1.7 3

(2) 考查函数 y ? 0.8 ,由 0<0.8<1 得函数在实数集上是减函数 ∵-0.1 >-0.2 ∴ 0.8
0.3 ?0.1

? 0.8?0.2
0 1.2 0 0.3 1.2

(3)由指数函数的性质知 1.5 >1.5 =1 , 0.8 <0.8 =1 ,所以 1.5 >0.8

例题讲解
例 1. 求下列函数的定义域
1 3 x ?1

1 y?( ) (1) 2

x y ? 2 ?1 (2)

1 1 解: ( 1)由 有意义,得 x ? , 3x ? 1 3 ? 即函数的定义域为 ? x x ? ?
x

1? ? 3?

( 2)由 2 ? 1 ? 0 ,得 2 ? 1 ,所以 x ? 0 ,
x

即函数的定义域为 x x ? 0

?

?

例 2 (1)求使不等式 4 ? 32 成立的 x 的集合;
x

(2)已知 a ? a

4 5

2

,,求实数 a 的取值范围 .

解: (1) 4 ? 32, 即 2
x
x

2x

5 ? 2 ,即 x ? . 2
5

5 因为 y=2 是 R 上的增函数,所以 2x> 5,即 x ? 2 5 x 满足 4 ? 32 的 x 的集合是 ( , ?? ) ; 2
4 x (2)由于 ? 2 ,则 y ? a 是减函数, 5 所以 0 ? a ? 1 .

例3

1 x ( ) 在同一坐标系中画 出指数函数 y ? 2 与 y ? 2
x

的图像,说出其自 变量、函数值及其图像间的关系?

解:在同一坐标系中

y

1 x 指数函数 y ? 2 与 y ? ( ) 2
x

的图像如图:

x

1 x 可以看出,当函数 y ? 2 与 y ? ( ) 的自变量的取 2
x

值互为相反数时,其函数值是相等的,因而两个函 数的图像关于 y 轴对称

观察下面几个函数图像,你能得出什么规律?

结论
指数函数

y?a

x

与指数函数

y 轴对称 .

1 x ?x y ? ( ) = a 关于 a

画出函数 y ? 2 , y ? 5 , y ? 3 的图像,你能发现什么性质?
x x x

一般地, a >b>1 时, (1)当 x <0 时,总有 a ? b ? 1 ;
x x x x

(2)当 x =0 时,总有 a ? b ? 1
x x

(3)当 x >0 时,总有 a ? b ? 1 (4)当 x >0 时,指数函数的底数 a 越大, 其函数值增长越快,即图像越在上方。

1 x 1 x 1 x y ? ( ) y ? ( ) , y ? ( ) 的图像, 你能发现什么性质? 画出函数 , 2 3 5

一般地,0< a <b<1 时, (1)当 x <0 时,总有 a x ? b x ? 1 ; (2)当 x =0 时,总有 a x ? b x ? 1 (3)当 x >0 时,总有 0 ? a x ? b x ? 1 (4)当 x >0 时,指数函数的底数 a 越大, 图像越在上方。

巩固练习
如图, 设 a, b, c, d 均大于 0 且不等于 1, y ? ax , y ? bx , y ? cx , y ? dx 在同一坐标系中的图像如图,则 a, b, c, d 的大小顺序为( A. a ? b ? c ? d B. a ? b ? d ? c C. b ? a ? d ? c D. b ? a ? c ? d

C



例4

比较下列各题中两个数的大小
0.6

(1) 1.8

, 0.8

1.6

;

1 (2) ( ) , 2 . 3
?
?

2 3

3 5

解:方法一

直接用科学计算器计算各数的值,再对

两个数值进行大小比较
(1) 因为 1.8
0.6

? 1.422864, 0.81.6 ? 0.699752, ,所以

1.80.6 ? 0.81.6 ;

1 ( 2)因为 ( ) 3

?

2 3

? 2.080084

,2

?

3 5

? 0.659754 ,所以

3 ? 1 ?2 ( ) 3 >2 5 3

方法二 利用指数函数的性质对两个数值进 行大小比较

(1)

由指数函数性质知 0.6 0 1.6 0 1.8 >1.8 =1,0.8 <0.8 =1, 0.6 1.6 所以 1.8 >0.8

(2) 由指数函数性质知
1 ( ) 3
? 2 3

>1, 2 <1,
? 2 3 ? 3 5

?

3 5

1 所以 ( ) > 2 3

例5

已知 -1< x <0,比较 3? x , 0.5? x 的大小,

并说明理由.

解:

因为-1< x <0 ,所以 0< ? x <1

而 3>1,因此有 3? x >1 又 0<0.5 <1,因而有 0< 0.5? x <1 故
3? x > 0.5? x

巩固练习
设 y1 ? a
3 x ?1

, y2 ? a

?2 x

,其中 a ? 0, a ? 1 ,

当 x 为何值时有: (1) y1 ? y2 ; (2) y1 ? y2

解: (1) y1 ? y2 当且仅当 3 x ? 1 ? ?2 x ,

1 解得 x ? 5
x ( 2)当 a ? 1 时,函数 y ? a 为增函数,

故 y1 ? y2 当且仅当 3 x ? 1 ? ?2 x ,

1 解得 x ? ? 5

当0<a<1时,函数y=ax为减函数, 故y1>y2当且仅当3x+1<-2x 解得x< ? 1 5



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