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数列难题突破之裂项与放缩



数列难题突破之裂项与放缩
裂项与放缩是高考数列题常用技巧 主要有以下 3 类应用 1.裂项法求和 2.裂项、放缩证明求和不等式 3.放缩证明连乘不等式 裂项法求和 一个最简单的裂项求和的例子 1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? ( n ? 1) 【例 1】 已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26.

设 bn ?
1 (n ? N * ), 求 bn 的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

【例 2】 设数列 {an } 为等差数列,且每一项都不为 0,则对任意的 n ? N * ,有
1 1 1 n ? ?? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 a1an ?1

裂项法求和小结回顾: 1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n ? ( n ? 1)
1 1 1 ? ?? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2 n ? 1)

1 1 1 ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1

裂项、放缩法证明求和不等式 【例 3】 证明:

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 2 ? 1 2 n ? 1 22 32 n

1

【例 4】 已知数列 {an } 与 {bn } 满足 bn an ? an?1 ? bn?1an? 2 ? 0; bn ? 且 a1 ? 2, a2 ? 4 ,设 S n ? ? a2 k , 求证: ?
k ?1 n

3 ? (?1)n , n ? N*, 2

Sk 7 ? . 6 k ?1 ak
4n

和式不等式小结回顾: 放缩去“凑”裂项形式 1 1 1 ? ??? ★ a1a2 a2 a3 an an ?1 连乘不等式的证明 【例 5】 1 3 2n ? 1 ? 求证: ? ? ? ? 2 4 2n
1 2n ? 1

【例 6】 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N * ,点 (n , Sn ) 均在函数 y ? b x ? r ( b ? 0 且 b ? 1,
b, r 均为常数)的图像上.

(II)当 b ? 2 时,记 bn ? 2(log2 an ? 1)(n ? N * ). 求证:
b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? ?? ? n ? n ?1 b1 b2 bn (n ? N * )

总结: 1.裂项求和: ?
1 1 1 1 ?? ( ? ) ★ ak ak ?1 d ak ak ?1

2.求和不等式:放缩 ? 可裂项 3.连乘不等式: ·配上“错一位”的连乘式 ? 可消去 ·选择“错位”方向

2

课后作业
【习题 1】求和

1 1 1 ? ?? ? 1? 4 4 ? 7 97 ?100

【习题 2】求证:

1 1 1 1 1 ? ? 2 ?? ? ? 1? . 2 2 2 1.5 2.5 3.5 (n ? 0.5) n

【习题 3】求证:

2 5 8 3n ? 1 3 ? ? ?? ? ? 3n ? 1 . 1 4 7 3n ? 2

分析:考虑配上一个“错一位”的连乘式,发现还是消不掉,因此本题应当配上两个“错一位” 的连乘式.

答 案
【习题 1】 解:

1 1 1 ? ?? ? 1? 4 4 ? 7 97 ?100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? ) 3 1 4 3 4 7 3 97 100 1 1 33 ? (1 ? )? 3 100 100
【习题 2】 分析:希望将和式放缩成可以裂项的形式,可以考虑用放缩 证:

1 1 ? . 2 (k ? 0.5) k (k ? 1)

1 1 1 1 ? ? 2 ?? ? 2 2 1.5 2.5 3.5 (n ? 0.5) 2 1 1 1 1 ? ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n( n ? 1) 1 ? 1? n

3

【习题 3】 解:设 A ?

2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n 4 7 10 3n ? 1 ? ? ?? ? , B ? ? ? ?? ? , C ? ? ? ?? ? ,则 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n

A ? B ? C ? 3n ? 1 ,由 A, B, C ? 0 知,只需证 A ? B, A ? C 就有 A ? 3 3n ? 1 成立。只需要
证明对任意 k ? 1, 2,3,? n ,连乘式 A 中的第 k 项大于 B 和 C 的第 k 项,只需要 证:

3k ? 1 3k 3k ? 1 1 1 1 ? ? ? ? 此不等式的每项减去 1,即 ,显然成立, 3k ? 2 3k ? 1 3k 3k ? 2 3k ? 1 3k

故原不等式成立。

4



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