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数学:新人教A版选修1-1 3.1变化率与导数(同步练习)



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【基础演练】 题型一:变化率问题与导数概念 一般地,

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人教新课标版(A)选修 1-1 3.1 变化率与导数同步练习题

△f f ?x 2 ? ? f ?x 1 ? ? 我们称为平均变化率,如果 △x ? 0 时, △x x 2 ? x1

x?0 △x

lim

△f

? lim

△x?0

f ?x 0 ?△x ? ? f ?x 0 ? 存在,称此极限值为函数 y ? f ?x ? 在 x 0 处的导数,记作 △x

f ??x 0 ? ,请根据以上知识解决以下 1~5 题。
1. 一质点运动的方程为 s ? 5 ? 3t 2 ,则在一段时间 ?1, 1 ?△t ? 内相应的平均速度为 A. 3△t ? 6 B. ? 3△t ? 6 C. 3△t ? 6 D. ? 3△t ? 6 2. 将半径为 R 的球加热,若球的半径增加△R,则球的体积增加△y 约等于 A.

4? 3 R △R 3

B. 4?R 2 △R

C. 4?R 2

D. 4?R△R

3. 已知函数 y ? x ? ? 1 的图象上一点(1,2)及邻近一点 ?1 ?△x, 2 ?△y ? ,则 A. 2 B. 2x C. 2+△x D. 2+△ x 2

△y 等于 △x

4. 自变量 x 0 变到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 A. 在区间 ?x 0 , x1 ? 上的平均变化率 B. 在 x 0 处的变化率 C. 在 x1 处的变化量 D. 在区间 ?x 0 , x 1 ? 上的导数 5.若函数 f ?x ? 在 x ? a 处的导数为 A,求 lim

f ?a ?△x ? ? f ?a ?△x ? 。 △x ?0 2△x

题型二:导数的物理意义 在 物 体 的 运 动 规 律 中 , 如 果 s ? s?t ? , 那 么 物 体 的 瞬 时 速 度

△s s?t ?△t ? ? s?t ? ; 如 果 v ? v?t ? , 那 么 物 体 的 加 速 度 v? l i m ? l i m △t ?0 △t △t ?0 △t △v v?t ?△t ? ? v?t ? ,请根据以上知识解决以下 6~7 题。 a ? lim ? lim △t ?0 △t △t ?0 △t
6. 若一物体运动方程如下:

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2 ? ?3t ? 2?0 ? t ? 3? s?? 2 ? ?29 ? 3?t ? 3? ?t ? 3?

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求物体在 t ? 1 或 t ? 3 时的速度。 7. 质点 M 按规律 v ? 3 ? 4 t 做直线运动,则质点的加速度 a=___________。 题型三:导数的几何意义 导数的几何意义:函数 y ? f ?x ? 在 x 0 处的导数,即曲线 y ? f ?x ? 在点 P( x 0 , f ?x 0 ? )处 切线的斜率为 f ??x 0 ? ,相应的切线方程是 y ? y 0 ? f ??x 0 ??x ? x 0 ? ,请根据以上知识解决以下 8~9 题。 8. 下面说法正确的是 A. 若 f ??x 0 ? 不存在,则曲线 y ? f ?x ? 在点( x 0 , f ?x ? )处没有切线 B. 若曲线 y ? f ?x ? 在点( x 0 , f ?x 0 ? )处有切线,则 f ??x 0 ? 必存在 C. 若 f ??x 0 ? 不存 在,则曲线 y ? f ?x ? 在点( x 0 , f ?x 0 ? )处的切线斜率不存在 D. 若曲线 y ? f ?x ? 在点( x 0 , f ?x 0 ? )处没有切线,则 f ??x 0 ? 可能存在 9. 已知曲线 C: y ? x 3 。 (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程 (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点? 【互运探究】 [学科内综合] 10. 设 x 0 ? ?a , b ? , y ? f ?x ? 在 x 0 处可导是 y ? f ?x 0 ? 在(a,b)内可导的 A. B. C. D. 充分非必要条件 必要而非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件

11. 如图 3-1-1 表示物体运动的路程随时间变化的函数 f ?t ? ? 4t ? 2t 2 的图象, 试根据图象, 描述、比较曲线 f ?t ? 在 t 0 、 t 1 、 t 2 附近的变化情况,并求出 t ? 2 时的切线的方程。

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[学科间综合] 12. 两工厂经过治理,污水的排放量(W)与时间(t)的关系如图所示,试指出哪一个厂 治污效果较好?

[新题型] 13. 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时要对沥青加热使之 由固体变成粘稠液体状 ,如果开始加热后第 x 小时的沥青温度(单位:℃)为

?80x 2 ? 20?0 ? x ? 1? ? f ?x ? ? ? 20 2 x ? 2x ? 244 ?1 ? x ? 8? ?? ? 49

?

?

(1)求开始加热后 15 分钟和 30 分钟时沥青温度的瞬时变化率; (2)求开始加热后第 4 小时和第 6 小时沥青温度的瞬时变化率。 【经典名题】 14.过点(-1,0)作抛物线 y ? x 2 ? x ? 1的切线,则其中一条切线为 A. 2x ? y ? 2 ? 0 B. 3x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

15.若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直, 则 l 的方程为 A. 4 x ? y ? 3 ? 0 参考答案: 1. D 提示:∵ △s ? 5 ? 3?1 ?△t ? ? 5 ? 3 ?12 ? 3?△t ? ? 6△t ,
2 2

B. x ? 4 y ? 5 ? 0

C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4y ? 3 ? 0

?

?

∴v ?

△s ? 3?△t ? ? 6△t ? ? ?3△t ? 6 。 △t △t
2

3

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2. B 提示:∵ V?R ? ?

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4 3 ?R , 3

∴ △y ? V?R ?△R ? ? V?R ?

4 4 3 ? ??R ?△R ? ? ?R 3 3 3 4 4 2 3 ? ? R 3 ? 3R 2 △R ? 3R?△R ? ? ?△R ? ? ?R 3 3 3 4 2 3 ? 4?R 2 △R ? 4?R?△R ? ? ??△R ? , 3

?

?

∵ △ R 是一个很小的量, ∴ ?△R ? 和 (△R) 3 非常小,
2

∴ △y ? 4?R 2 △R 。 3. C

5. 解:∵ lim

f ?a ?△x ? ? f ?a ? ? A, ?△x ?0 △x f ?a ?△x ? ? f ?a ? ∴ lim , ? A (令 ?△ x 替换 △ x ) △x?0 ?△x f ?a ?△x ? ? f ?a ?△x ? ∴ lim ?△x ?0 2 ?△x 1 f ?a ?△x ? ? f ?a ? 1 f ?a ? ? f ?a ?△x ? ? lim ? lim 2 △x?0 △x 2 △x?0 △x
? 1? f ?a ?△x ? ? f ?a ? ? A ? lim ? ? (当 △x ? 0 时, ?△x ? 0 ) ? △ x ? 0 2? ?△x ?

4. A

?

1 ?A ? A? ? A 。 2

6. 解:当 t ? 1 时, s ? 3t 2 ? 2 ,

△s ? s?t ?△t ? ? s?t ? ? 3?1 ?△t ? ? 2 ? ?3 ? 2?
2 2 ? 6△t ? 3?△t ? ,

∴ v ? lim

△s 6△t ? 3?△t ? ? lim ? lim ?6 ? 3△t ? ? 6 。 △ t ?0 △t △ t ?0 △ t ?0 △t
2

2 当 t ? 3 时, s ? 29 ? 3?t ? 3? , 2 2 2 △s ? s?t ?△t ? ? s?t ? ? 29 ? 3?3 ?△t ? 3? ? 29 ? 3?3 ? 3? ? 3?△t ? ,

△s 3?△t ? ? lim ? lim 3?△t ? ? 0 。 △ t ?0 △t △ t ?0 △t △ t ?0 ∴物体在 t ? 1 和 t ? 3 时的瞬时速度分别是 6 和 0。
∴ v ? lim
2

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7. 4 提示: a ? lim
△t ?0

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△v 3 ? 4?t ?△t ? ? ?3 ? 4t ? ? lim ? 4。 △ t ? 0 △t △t

∴a ? 4。 8. C 9. 解: (1)将 x ? 1 代入曲线 C 的方程,得 y ? 1 , ∴切点的坐标为(1,1) 。 ∵ y? ? lim
△x ?0

?x ?△x ?3 ? x 3
△x

△ x ?0

? lim △x 2 ? 3x ?△x ? 3x 2 ? 3x 2 ,
∴ y? | x ?1 ? 3 , ∴过点(1,1)的切线的方程为

?

?

y ? 1 ? 3?x ? 1? ,
即 3x ? y ? 2 ? 0 。

?3x ? y ? 2 ? 0 (2)由 ? ,得 x 3 ? 3x ? 2 3 ?y ? x
整理得 ?x ? 1? x 2 ? x ? 2 ? 0 , 解得 x ? 1 或 x ? ?2 。 从而获得切线与曲线的公 共点为(1,1)和(-2,-8) 。 说明切线与曲线 C 的公共点除去切点外,还有一个公共点(-2,-8) 提示:本例回答了一个问题:直线与曲线相切是否一定只有一个公共点。 10. B 11. 解:用曲线 f ?t ? 在 t 0 、 t 1 、 t 2 处的切线刻画曲线 f ?t ? 在 t 0 、 t 1 、 t 2 附近的变化情况。 (1)当 t ? t 0 时,曲线 f ?t ? 在 t 0 处的切线 l 0 平行于 x 轴,所以在 t ? t 0 附近曲线比较平 坦,几乎没有升降。 (2)当 t ? t 1 时,曲线 f ?t ? 在 t 1 处的切线 l1 的斜率 f ??t 1 ? ? 0 ,所以在 t ? t 1 附近曲线下 降,即函数 f ?t ? 在 t ? t 1 附近单调递减。 (3)当 t ? t 2 时,曲线 f ?t ? 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 f ??t 2 ? ? 0 ,所以在 t ? t 2 附近曲线下 降, 即函数 f ?t ? 在 t ? t 2 附近也单调递减。 由图象可以看出, 直线 l1 的倾斜程度小于直线 l 2 的 倾斜程度,说明曲线 f ?t ? 在 t 1 附近比在 t 2 附近下降得缓慢。 (4)当 t ? 2 时, f ?2? ? 0 。 在 t ? 2 是的切线的斜率 k ? f ??2?
5

?

?

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f ?2 ?△t ? ? f ?2? △t 2 4?2 ?△t ? ? 2?2 ?△t ? ? 8 ? 8 ? lim △ t ?0 △t 2 4△t ? 2△t ? 8△t ? lim △ t ?0 △t ? lim
△t ?0

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? lim ?? 2△t ? 4? ? ?4 。
△t ?0

所以切线的方程为 y ? ?4?x ? 2? 。 即 4x ? y ? 8 ? 0 。 提示: 导数的几何意义是曲线的切线斜率, 反过来, 在曲线上取定一点作曲线的切线时, 能根据切线 判定斜率的符号即导数的符号,进而 根据符号确定在该点附近曲线的升降情况 (或函数的增减情况) ,同时可以根据几点处的切线倾斜程度的大小,判断曲线升降的快慢 程度。 12. 解: 在 t 0 处, 虽然 W1 ?t 0 ? ? W2 ?t 0 ? , 但

W1 ?t 0 ? ? W1 ?t 0 ?△t ? W2 ?t 0 ? ? W2 ?t 0 ?△t ? , ? △t △t

所以说,在单位时间里,企业甲比企业乙的平均治污率大,因此企业甲比企业乙略好一些。 13. 解: (1)∵ 0 ? x ? 1 时,

f ?x ? ? 80x 2 ? 20 ,
15 分钟=0.25 小时, 30 分钟=0.5 小时, ∴沥青温度在 15 分钟和 30 分钟时的瞬时变化率就是函数 f ?x ? 在 x ? 0.25 处和 x ? 0.5 处的导数 f ??0.25? 和 f ??0.5? ,

△f f ?0.25 ?△x ? ? f ?0.25? ? △x △x 2 80?0.25 ?△x ? ? 20 ? 80 ? 0.252 ? 20 ? △x 2 80 0.5△x ? ?△x ? ? ? 40 ? 80△x , △x △f ∴ f ??0.25? ? lim ? lim ?40 ? 80△x ? ? 40 , △x?0 △x △x?0 △f ∵同理可得 f ??0.5? ? lim △x ?0 △x


?

?

?

?

? lim ?80 ? 80△x ? ? 80 。
△x ?0

(2)当 1 ? x ? 8 时,

f ?x ? ? ?

20 2 x ? 2x ? 244 , 49

?

?

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△f 当 x ? 4 时, ? △x ? ? ?

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20 ?4 ?△x ?2 ? 2?4 ?△x ? ? 244 20 4 2 ? 2 ? 4 ? 244 49 ? 49 △x △x

?

?

?

?

20 2 6△x ? ?△x ? 49 △x

?

?

??

20 ?6 ?△x ? , 49
△f
△x ?0 △x

∴ f ??4? ? lim

20 120 ? 20 ? ? lim ?? ?6 ?△x ?? ? ? ? 6 ? ? ,同理当 x ? 6 时, △x ?0 ? 49 49 49 ?

△f 20 ? ? ?10 ?△x ?, △x 49
∴ f ??6? ? lim

△f 200 ? 20 ? ? lim ?? ?10 ?△x ?? ? ? 。 △x ?0 △x △x ?0 ? 49 49 ?

提示:函数在某一点 x ? x 0 处的瞬时 变化率就是在 x ? x 0 处的导数,物体在某一时刻

t ? t 0 处的瞬时的速度就是相应运动方程在 t ? t 0 处的导数。
14. C 15. A

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