9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

专题七



专题

函数、导数与零点、恒成立问题

函数、导数与零点问题
x 例1、 已知函数 f ? x ? ? ln e ? a (a为常数) 是实数集R上的奇函数, 函数 g ? x ? ? ? f ? x ? ? sin x 是区

?

?

间[一1,1]上的减函数. (

I)求a的值; (II) 若 g ? x ? ? t 2 ? ?t ? 1 在x∈[一1, 1]上恒成立, 求t的取值范围. (Ⅲ) 讨论关于x的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数。 f ( x)

变式 1、若 g ( x) ? 6 ln x ? m, 问是否存在实数 m,使得 y= f(x)= ? x ? 8 x 的图象与
2

y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

变式 2、已知函数 f(x)=-x +8x,g(x)=6lnx+m (Ⅰ)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (Ⅱ)是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的 取值范围; ,若不存在,说明理由。

2

1

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

例 2、已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.

变式 3.奇函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的图象 E 过点 A(? 2, 2 ), B(2 2,10 2 ) 两点. (1)求 f ( x) 的表达式; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)若方程 f ( x) ? m ? 0 有三个不同的实根,求 m 的取值范围.

例 3.已知 f ( x ) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且 f ( x ) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 12。 (I)求 f ( x ) 的解析式; (II) 是否存在自然数 m, 使得方程 f ( x ) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不等的实数根?若 x

存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

2

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

变式 4.已知函数 f ( x) ? 6 ln x ? ax2 ? 8x ? b(a, b为常数),且x ? 3为f ( x) 的一个极值点. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有且只有 3 个交点,求 b 的取值范围.

例 4.已知函数 f ( x) ? ln x (Ⅰ)若 F ( x) ?

f ( x) ? a (a ? R) ,求 F ( x) 的极大值; x

(Ⅱ)若 G( x) ? [ f ( x)]2 ? kx 在定义域内单调递减,求满足此条件的实数 k 的取值范围.

变式 5、 已知两个二次函数: y ? f ( x) ? ax ? bx ? 1 与 y ? g ( x) ? a x ? bx ? 1(a ? 0) ,
2
2 2

函数 y=g(x)的图像与 x 轴有两个交点,其交点横坐标分别为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) (1)试证: y ? f ( x) 在(-1,1)上是单调函数 (2)当 a >1 时,设 x3 , x4 是方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两实根,且 x3 ? x4 ,试判断 x1 , x2 , x3 , x4 的
2

大小关系

变式 6. 设函数 f ( x) ? e

x ?m

? x, 其中 m ? R.

(1)求函数 f ( x) 的最值; (2)判断,当 m ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 (m,2m) 内是否存在零点。

3

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

函数、导数与零点问题答案
例1、 解: (I) f ( x) ? ln(e x ? a) 是奇函数,则 f (0) ? 0 恒成立.?ln(e0 ? a) ? 0. ?e0 ? a ? 1,? a ? 0. (II) 又? g ( x) 在[-1, 1]上单调递减, ? g ( x) max ? g (?1) ? ?? ? sin 1, ?只需 ? ? ? sin 1 ? t 2 ? ?t ? 1,

? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1 ? 0(其中? ? ?1)恒成立 . 令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1(? ? ?1),
?t ? ?1 ?? 2 ?t ? 1 ? 0 ? t ? ?1 . 则? ?t ? t ? sin 1 ? 0 2 ? t ? 1 ? t ? sin 1 ? 1 ? 0 , ? 而t 2 ? t ? sin 1 ? 0恒成立,
(III)由(I)知 f ( x) ? x,? 方程为 令 f1 ( x) ?

ln x ? x 2 ? 2ex ? m, x

ln x 1 ? ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m ,? f 1?( x) ? , x x2

当 x ? (0, e)时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在(0, e] 上为增函数;

x ? [e,??)时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在[0, e) 上为减函数,
当 x ? e 时, f 1 ( x ) max ? f 1 (e) ?

1 . 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 , e

?函数f1 ( x) 、 f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示,
∴①当 m ? e ?
2

1 1 1 1 ,即m ? e 2 ? 时,方程无解. ②当 m ? e 2 ? ,即m ? e 2 ? 时,方程有一个根. e e e e 1 1 ,即m ? e 2 ? 时,方程有两个根. e e
2

③当 m ? e ?
2

变式 1、令 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x),则g ( x) ? f ( x) ? x ? 8x ? 6 ln x ? m. 因为 x>0,要使函数 f(x)与函数 g(x)有且仅有 2 个不同的交点,则函数 ? ( x) ? x ? 8x ? 6 ln x ? m 的图象与 x 轴的正半轴有且只有两个
2

不同的交点?? ( x) ? 2 x ? 8 ?
'

6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)(x ? 3) ? ? ( x ? 0) x x x
'

当 x∈(0,1)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数;当 x∈(1,3)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是减函数
'

当 x∈(3,+∞)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数当 x=1 或 x=3 时, ? ( x) ? 0
' '

∴ ? ( x)极大值为? (1) ? m ? 7; ? ( x)极小值为 ? (3) ? m ? 6 ln 3 ? 15

? ( x) ? ?? 当 x ? ??时,? ( x) ? ?? 所以要使 ? ( x) ? 0 有且仅有两个不同的正根, 又因为当 x→0 时,
必须且只须

?? (1) ? 0 ?? (3) ? 0 ?m ? 7 ? 0 ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 即? ∴m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. 或? 或? ? ' ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ?m ? 7 ? 0 ?? (3) ? 0 ?? (1) ? 0
∴当 m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. 时,函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有两个不同交点。

4

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

变式 2、解: (I) f ( x) ? ? x2 ? 8x ? ?( x ? 4)2 ? 16. 当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x ) 在 ?t, t ?1? 上单调递增, h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7; 当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时 , h( t )?

f(4 ?)

t ? 4 时 , f ( x) 在 ?t, t ?1? 上 单 调 递 减 , 当 1 6;

??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 3 ? t ? 4, h(t ) ? f (t ) ? ?t 2 ? 8t. 综上, h(t ) ? ?16,      ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?
(II)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
?? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6ln x ? m, ?? '( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x

当 x ? (0,1) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数;当 x ? (0,3) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数;当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? '( x) ? 0.

?? ( x)最大值 ? ? (1) ? m ? 7,? ( x)最小值 ? ? (3) ? m ? 6ln3 ?15.

? 当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0. ? 要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
? ?? ( x)最大值 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)最小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0,
即 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3. 所以存在实数 m ,使得函数 y ? f ( x) 与

y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点, m 的取值范围为 (7,15 ? 6ln 3).
例 2.解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即?

?3a ? 2b ? 3 ? 0 , 解得 a=1,b=0. ?3a ? 2b ? 3 ? 0

∴f(x)=x3-3x.

(II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上 为减函数,fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1) -f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|;|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4 (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x3-3x,∴点 A(1,m)不在曲线上.

3 2 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 . 因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的斜率为
3 x0 ? 3x0 ? m 3 2 ,整理得 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 .∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, 3( x ? 1) ? x0 ? 1 2 0

3 2 ∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根. 3 2 2 设 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x0 ? 6 x0 ,由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1.

∴g(x0)在(-∞,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.∴函数 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 的
3 2

5

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

3 2 极值点为 x0=0,x0=1∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根的充要条件是

? g (0) ? 0 ,解得-3<m<-2.故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2 ? ? g (1) ? 0

变式 3.解: (1)? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? ax 为奇函数? f (? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x) ? ax3 ? cx ∵图象过点 A(? 2 , 2 ) 、 B(2 2 ,10 2 )
? ?? 2a ? c ? 1 ?? 2 2a ? 2c ? 2 ?? 即? ? ?16 2a ? 2 2c ? 10 2 ?8a ? c ? 5 ? a ? 1, c ? ?3 ?

( x ? R)

?b ? 0

f ( x) ? x 3 ? 3x

(2)? f ( x) ? x ? 3x
3

? f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) ? ?1 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0; x ? ?1或x ? 1时, f ?( x) ? 0

? f ( x) 的增区间是 (??,?1)和(1,??) ,减区间是(-1,1)
(3)? f (?1) ? 2, f (1) ? ?2 为使方程 f ( x) ? m ? 0即f ( x) ? ?m 有三个不等根,则

? 2 ? ?m ? 2

即 ? 2 ? m ? 2 ?m 的取值范围是(-2,2)

? f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 f (?1) ? 6a.
由已知,得 6a ? 12,

例 3、解: (I)? f ( x ) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), ? 可设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0).

? a ? 2, ? f ( x) ? 2 x( x ? 5) ? 2 x 2 ? 10 x( x ? R).
3 2

(II)方程 f ( x ) ? 37 ? 0 等价于方程 2 x ? 10 x ? 37 ? 0. x 3 2 2 设 h( x) ? 2 x ?10 x ? 37, 则 h '( x) ? 6 x ? 20 x ? 2 x(3x ?10). 10 10 当 x ? (0, ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数;当 x ? ( , ?? ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 3 3
10 1 ? h(3) ? 1 ? 0, h( ) ? ? ? 0, h(4) ? 5 ? 0, 3 27 ? 方程 h( x) ? 0 在区间 (3, 10 ), (10 , 4) 内分别有惟一实数根,而在区间 (0,3), (4, ??) 内没有实数根, 3 3 所以存在惟一的自然数 m ? 3, 使得方程 f ( x ) ? 37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不同的实数根。 x 变式 4.解: (Ⅰ)? f ?( x) ? 6 ? 2ax ? 8 ? f ?(3) ? 2 ? 6a ? 8 ? 0可得a ? ?1 x
2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 6 ln x ? x ? 8x ? b ? f ?( x) ?

6 2( x 2 ? 4 x ? 3) ? 2x ? 8 ? ( x ? 0) x x

1? x ? 3 由 f ?( x) ? 0可得x ? 3或x ? 1;由 f ?( x) ? 0可得
∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1],[3,??) 函数 f ( x) 的单调递减区间为[1,3] (Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数 f ( x) 在 (0,1] 单调递增;函数 f ( x) 在[1,3]单调递减; + ?) 单调递增;当 x=1 或 x=3 时, f ?( x) ? 0
极小值

函数 f ( x) 在[3,

? f ( x) ? f (1) ? 6 ln1 ? 1 ? 8 ? b ? b ? 7

f ( x) ? f (3) ? 6 ln 3 ? 9 ? 24 ? b ? 6 ln 3 ? b ? 15 ?当x充分接近0时, f ( x) ? 0,当x充分大时f ( x) ? 0
极小值

∴要使 f ( x) 的图象与 x 轴正半轴有且仅有三个不同的交点,只须

6

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

? f ( x) ? b ? 7 ? 0 ? 极大值 ? ( x) ? f (3) ? b ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ? f 极小值 ?

即 7 ? b ? 15 ? 6 ln 3

例 4.解: (Ⅰ)? F ( x) ? f ( x) ? a ? ln x ? a 定义域为 x ? (0,??) ? F ( x) ? (1 ? a ) 2? ln x x x x 令 F ?( x) ? 0 得x ? e1?a 由 F ?( x) ? 0得0 ? x ? e1?a 由 F ?( x) ? 0 得x ? e1?a

即 F ( x)在(0, e1?a ) 上单调递增,在 (e1?a ,??) 上单调递减

? x ? e1?a 时,F(x)取得极大值 F (e1? a ) ?

1? a ? a ? e a ?1 e1? a ? G ?( x) ? 2 ln x ?k x

(Ⅱ)? G( x) ? (ln x) 2 ? kx 的定义域为(0+∞)

由 G (x)在定义域内单调递减知: G ?( x) ? 2 ln x ? k ? 0 在(0+∞)内恒成立 x 令 H ( x) ?

2 2(1 ? ln x) ln x ? k ,则 H ?( x) ? x x2

由 H ?( x) ? 0得x ? e

∵当 x ? (0, e) 时 H ?( x) ? 0, H ( x) 为增函数;当 x ? (e,??) 时 H ?( x) ? 0
e e

H ( x ) 为减函数
e

∴当 x = e 时,H(x)取最大值 H (e) ? 2 ? k 故只需 2 ? k ? 0 恒成立,? k ? 2 又当 k ? 2 时,只有一点 x = e 使得 G ?( x) ? H ( x) ? 0 不影响其单调性? k ? 2 .
e e

变式 5 . ( 1 )∵ y ? g ( x) 的图像与 x 轴有两个交点,其交点横坐标分别为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则方程

a 2 x 2 ? bx ? 1 ? 0 有两个不同的实数根,即有 ? ? b2 ? 4a2 ? 0(a ? 0)
∴ (b ? 2a)(b ? 2a) ? 0 ,∴有 b ? ?2a 或 b ? 2a ,∴ b ? ?1 或 b ? ?1 即 ? b ? 1 或 ?
2a
2a

2a

b ? ?1 于是二次函数 2a

y ? f ( x) 图像的对称轴 x ? ?
2 2

b 在(-1,1)的左侧或右侧,故 y ? f ( x) 在(-1,1)上是单调函数 2a

(2)∵ x1 , x 2 是方程 a x ? bx ? 1 ? 0 的两个实根;故有 a2 x12 ? bx1 ? 1 ? 0, a2 x22 ? bx2 ? 1 ? 0
2 ∴ bx1 ? ?a2 x12 ?1, bx2 ? ?a22 x22 ?1 ,又 f ( x1 ) ? ax12 ? bx1 ? 1 ? a(1 ? a) x1 2 2 ∵ 当 a ? 1 时 , y ? f ( x) 的 图 像 开 口 向上 , 与 x 轴 的 两 相 交 点 为 f ( x2 ) ? ax2 ? bx2 ?1 ? a(1 ? a) x2

( x3 ,0)( x4 ,0) ;而点 ( x1, f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )) ,在 x 轴下方,∴有 x3 ? x1 ? x2 ? x4
x ?m 变式 6.解: (1)? f ( x) 在 (??,??) 上连续 f ?( x) ? e ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? m 。

当 x ? (??, m) 时, e

x ?m

? 1, f ?( x) ? 0; 当 x ? (m,??) 时, e x?m ? 1, f ?( x) ? 0 。①

所以,当 x ? m 时, f ( x) 取极小值也是最小值。? f ( x) min ? f (m) ? 1 ? m; 由①知 f ( x) 无最大值。
m m (2)函数 f ( x) 在 [ m,2m] 上连续。而 f (2m) ? e ? 2m, 令 g ( m) ? e ? 2m, m 则 g ?(m) ? e ? 2,? m ? 1,? g ?(m) ? e ? 2 ? 0, ? g (m) 在 (1,??) 上 递 增 。 由 g (1) ? e ? 2 ? 0 得

7

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

g (m) ? g (1) ? 0 ,即 f (2m) ? 0 ,又 f (m) ? 1 ? m ? 0, ? f (m) ? f (2m) ? 0,
根据定理,可判断函数 f ( x) 在区间 (m,2m) 上存在零点。

恒成立问题
1. (江苏卷)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立 的是 .... (A) | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | (C) | a ? b | ?
1 ?2 a?b

(B) a 2 ?

1 a
2

?a?

1 a

(D) a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a

【正确解答】运用排除法,C 选项 a ? b ?

1 ? 2 ,当 a-b<0 时不成立。 a?b

【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件 如果 a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号) 如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2
)

1 a 2.(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( x y A.2 B.4 C.6 D.8 解析:不等式(x+y)(

1 a y ax ? )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则1 ? a ? ? ≥ a ? 2 a ? 1 ≥9,∴ x y x y
2 3 2

a

≥2 或 a ≤-4(舍去),所以正实数 a 的最小值为 4,选 B. 3. (上海卷)三个同学对问题 “关于 x 的不等式 x +25+| x -5 x |≥ ax 在[1, 12]上恒成立, 求实数 a 的 取值范围”提出各自的解题思路. 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” . 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” . 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 .

25 ?10 ,等号当 解:由 x +25+| x -5 x |≥ ax,1? x ?12 ? a ? x ? 25 ? | x 2 ? 5 x | ,而 x ? 25 ? 2 x?
2 3 2

x x 且 仅 当 x ? 5?[1,12] 时 成 立 ; 且 | x ? 5 x |? 0 , 等 号 当 且 仅 当 x ? 5?[1,12] 时 成 立 ; 所 以 ,
2

x

a ?[ x ? 25 ? | x 2 ? 5 x |]min ?10 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;故 a ?(??,10] ; x
4.(江西卷)若不等式 x +ax+1?0 对于一切 x?(0,
2

1 〕成立,则 a 的取值范围是( 2
D.-3



A.0
2

B. –2

C.-

5 2

解:设 f(x)=x +ax+1,则对称轴为 x= - 函数,应有 f( 若-

a a 1 1 若 - ? ,即 a?-1 时,则 f(x)在〔0, 〕上是减 2 2 2 2

1 5 )?0?- ?a?-1 2 2

a 1 ?0,即 a?0 时,则 f(x)在〔0, 〕上是增函数,应有 f(0)=1?0 恒成立,故 a?0 2 2

8

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

a 1 a a2 a2 a2 1= 1- ? 0 恒成立,故-1?a?0 ? ,即-1?a?0,则应有 f( - )= - + 2 2 2 4 2 4 5 综上,有- ?a 故选 C 2
若 0? -

9



更多相关文章:
专题七
专题七 高考新课标历史二轮总复习专题导练高考新课标历史二轮总复习专题导练隐藏>> 高考新课标历史二轮总复习专题导练(7) ——欧美资产阶级代议制的确立与发展 —...
专题七
专题七_语文_高中教育_教育专区。检测题 专题七检测卷一、选择题 1.习近平强调,我们要坚持走和平发展道路,但决不能放弃我们的正当权益,决不能牺牲 国家核心利益...
专题七
暂无评价 3页 免费 专题七 工程问题 暂无评价 3页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
专题七
专题七、节能减排, 专题七、节能减排,生态文明一、时政材料: 时政材料: 十一届全国人大四次会议表决通过了《 2008 年 8 月,十一届全国人大四次会议表决通过了《...
专题七
暂无评价 5页 免费 专题七第一节 暂无评价 14页 5财富值 专题七2 暂无评价 2页 免费 专题七 第一讲 暂无评价 28页 免费喜欢此文档的还喜欢 初三化学 5页...
专题七
专题七 专题七 遗传的基本规律一、考点解读 1、考点盘点 、内容 说明 (1)孟德尔的豌豆杂交实验一 (2)孟德尔的豌豆杂交实验二 分离定律,自由组合定律, 杂交,自交...
专题七 论述专题
专题七 论述专题_调查/报告_表格/模板_实用文档。中考专题训练试卷 专题七 论述专题 论述题解题技法 1.论述题的特点 论述题主要考查学生的语言叙述能力. 要求学生...
专题七
专题七 隐藏>> 2009 级滕州育才中学学业水平考试复习导案(七) 生物的生殖、发育一、复习目标: 1.说出一朵花中的各部分结构,会对花进行分类。 2.描述开花、传粉...
专题七
专题七 1、阅读下列材料: 材料一 1913年~1940年苏联经济发展情况表 产生钢煤石电谷炭油力物品铁单位 1913 4.2 4.2 29.1 9.2 2 80~82 95 28 1928 3.3 ...
专题七
专题七专题七隐藏>> 《专题七 苏联社会主义建设的经验与教训》测试题姓名 班级 学号 成绩 小题, 在每小题列出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 20 小题,...
更多相关标签:
七个带头专题教育    七夕专题    七七事变专题    小学奥数七大专题    七年级数学找规律专题    七年级下数学专题训练    七年级数学专题训练    七夕专题页    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图