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专题七



专题

函数、导数与零点、恒成立问题

函数、导数与零点问题
x 例1、 已知函数 f ? x ? ? ln e ? a (a为常数) 是实数集R上的奇函数, 函数 g ? x ? ? ? f ? x ? ? sin x 是区

?

?

间[一1,1]上的减函数. (

I)求a的值; (II) 若 g ? x ? ? t 2 ? ?t ? 1 在x∈[一1, 1]上恒成立, 求t的取值范围. (Ⅲ) 讨论关于x的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数。 f ( x)

变式 1、若 g ( x) ? 6 ln x ? m, 问是否存在实数 m,使得 y= f(x)= ? x ? 8 x 的图象与
2

y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

变式 2、已知函数 f(x)=-x +8x,g(x)=6lnx+m (Ⅰ)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (Ⅱ)是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的 取值范围; ,若不存在,说明理由。

2

1

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

例 2、已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.

变式 3.奇函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的图象 E 过点 A(? 2, 2 ), B(2 2,10 2 ) 两点. (1)求 f ( x) 的表达式; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)若方程 f ( x) ? m ? 0 有三个不同的实根,求 m 的取值范围.

例 3.已知 f ( x ) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且 f ( x ) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 12。 (I)求 f ( x ) 的解析式; (II) 是否存在自然数 m, 使得方程 f ( x ) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不等的实数根?若 x

存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

2

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

变式 4.已知函数 f ( x) ? 6 ln x ? ax2 ? 8x ? b(a, b为常数),且x ? 3为f ( x) 的一个极值点. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有且只有 3 个交点,求 b 的取值范围.

例 4.已知函数 f ( x) ? ln x (Ⅰ)若 F ( x) ?

f ( x) ? a (a ? R) ,求 F ( x) 的极大值; x

(Ⅱ)若 G( x) ? [ f ( x)]2 ? kx 在定义域内单调递减,求满足此条件的实数 k 的取值范围.

变式 5、 已知两个二次函数: y ? f ( x) ? ax ? bx ? 1 与 y ? g ( x) ? a x ? bx ? 1(a ? 0) ,
2
2 2

函数 y=g(x)的图像与 x 轴有两个交点,其交点横坐标分别为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) (1)试证: y ? f ( x) 在(-1,1)上是单调函数 (2)当 a >1 时,设 x3 , x4 是方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两实根,且 x3 ? x4 ,试判断 x1 , x2 , x3 , x4 的
2

大小关系

变式 6. 设函数 f ( x) ? e

x ?m

? x, 其中 m ? R.

(1)求函数 f ( x) 的最值; (2)判断,当 m ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 (m,2m) 内是否存在零点。

3

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

函数、导数与零点问题答案
例1、 解: (I) f ( x) ? ln(e x ? a) 是奇函数,则 f (0) ? 0 恒成立.?ln(e0 ? a) ? 0. ?e0 ? a ? 1,? a ? 0. (II) 又? g ( x) 在[-1, 1]上单调递减, ? g ( x) max ? g (?1) ? ?? ? sin 1, ?只需 ? ? ? sin 1 ? t 2 ? ?t ? 1,

? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1 ? 0(其中? ? ?1)恒成立 . 令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1(? ? ?1),
?t ? ?1 ?? 2 ?t ? 1 ? 0 ? t ? ?1 . 则? ?t ? t ? sin 1 ? 0 2 ? t ? 1 ? t ? sin 1 ? 1 ? 0 , ? 而t 2 ? t ? sin 1 ? 0恒成立,
(III)由(I)知 f ( x) ? x,? 方程为 令 f1 ( x) ?

ln x ? x 2 ? 2ex ? m, x

ln x 1 ? ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m ,? f 1?( x) ? , x x2

当 x ? (0, e)时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在(0, e] 上为增函数;

x ? [e,??)时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在[0, e) 上为减函数,
当 x ? e 时, f 1 ( x ) max ? f 1 (e) ?

1 . 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 , e

?函数f1 ( x) 、 f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示,
∴①当 m ? e ?
2

1 1 1 1 ,即m ? e 2 ? 时,方程无解. ②当 m ? e 2 ? ,即m ? e 2 ? 时,方程有一个根. e e e e 1 1 ,即m ? e 2 ? 时,方程有两个根. e e
2

③当 m ? e ?
2

变式 1、令 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x),则g ( x) ? f ( x) ? x ? 8x ? 6 ln x ? m. 因为 x>0,要使函数 f(x)与函数 g(x)有且仅有 2 个不同的交点,则函数 ? ( x) ? x ? 8x ? 6 ln x ? m 的图象与 x 轴的正半轴有且只有两个
2

不同的交点?? ( x) ? 2 x ? 8 ?
'

6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)(x ? 3) ? ? ( x ? 0) x x x
'

当 x∈(0,1)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数;当 x∈(1,3)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是减函数
'

当 x∈(3,+∞)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数当 x=1 或 x=3 时, ? ( x) ? 0
' '

∴ ? ( x)极大值为? (1) ? m ? 7; ? ( x)极小值为 ? (3) ? m ? 6 ln 3 ? 15

? ( x) ? ?? 当 x ? ??时,? ( x) ? ?? 所以要使 ? ( x) ? 0 有且仅有两个不同的正根, 又因为当 x→0 时,
必须且只须

?? (1) ? 0 ?? (3) ? 0 ?m ? 7 ? 0 ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 即? ∴m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. 或? 或? ? ' ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ?m ? 7 ? 0 ?? (3) ? 0 ?? (1) ? 0
∴当 m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. 时,函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有两个不同交点。

4

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

变式 2、解: (I) f ( x) ? ? x2 ? 8x ? ?( x ? 4)2 ? 16. 当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x ) 在 ?t, t ?1? 上单调递增, h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7; 当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时 , h( t )?

f(4 ?)

t ? 4 时 , f ( x) 在 ?t, t ?1? 上 单 调 递 减 , 当 1 6;

??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 3 ? t ? 4, h(t ) ? f (t ) ? ?t 2 ? 8t. 综上, h(t ) ? ?16,      ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?
(II)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
?? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6ln x ? m, ?? '( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x

当 x ? (0,1) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数;当 x ? (0,3) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数;当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? '( x) ? 0.

?? ( x)最大值 ? ? (1) ? m ? 7,? ( x)最小值 ? ? (3) ? m ? 6ln3 ?15.

? 当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0. ? 要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
? ?? ( x)最大值 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)最小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0,
即 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3. 所以存在实数 m ,使得函数 y ? f ( x) 与

y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点, m 的取值范围为 (7,15 ? 6ln 3).
例 2.解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即?

?3a ? 2b ? 3 ? 0 , 解得 a=1,b=0. ?3a ? 2b ? 3 ? 0

∴f(x)=x3-3x.

(II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上 为减函数,fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1) -f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|;|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4 (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x3-3x,∴点 A(1,m)不在曲线上.

3 2 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 . 因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的斜率为
3 x0 ? 3x0 ? m 3 2 ,整理得 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 .∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, 3( x ? 1) ? x0 ? 1 2 0

3 2 ∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根. 3 2 2 设 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x0 ? 6 x0 ,由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1.

∴g(x0)在(-∞,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.∴函数 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 的
3 2

5

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

3 2 极值点为 x0=0,x0=1∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根的充要条件是

? g (0) ? 0 ,解得-3<m<-2.故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2 ? ? g (1) ? 0

变式 3.解: (1)? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? ax 为奇函数? f (? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x) ? ax3 ? cx ∵图象过点 A(? 2 , 2 ) 、 B(2 2 ,10 2 )
? ?? 2a ? c ? 1 ?? 2 2a ? 2c ? 2 ?? 即? ? ?16 2a ? 2 2c ? 10 2 ?8a ? c ? 5 ? a ? 1, c ? ?3 ?

( x ? R)

?b ? 0

f ( x) ? x 3 ? 3x

(2)? f ( x) ? x ? 3x
3

? f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) ? ?1 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0; x ? ?1或x ? 1时, f ?( x) ? 0

? f ( x) 的增区间是 (??,?1)和(1,??) ,减区间是(-1,1)
(3)? f (?1) ? 2, f (1) ? ?2 为使方程 f ( x) ? m ? 0即f ( x) ? ?m 有三个不等根,则

? 2 ? ?m ? 2

即 ? 2 ? m ? 2 ?m 的取值范围是(-2,2)

? f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 f (?1) ? 6a.
由已知,得 6a ? 12,

例 3、解: (I)? f ( x ) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), ? 可设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0).

? a ? 2, ? f ( x) ? 2 x( x ? 5) ? 2 x 2 ? 10 x( x ? R).
3 2

(II)方程 f ( x ) ? 37 ? 0 等价于方程 2 x ? 10 x ? 37 ? 0. x 3 2 2 设 h( x) ? 2 x ?10 x ? 37, 则 h '( x) ? 6 x ? 20 x ? 2 x(3x ?10). 10 10 当 x ? (0, ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数;当 x ? ( , ?? ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 3 3
10 1 ? h(3) ? 1 ? 0, h( ) ? ? ? 0, h(4) ? 5 ? 0, 3 27 ? 方程 h( x) ? 0 在区间 (3, 10 ), (10 , 4) 内分别有惟一实数根,而在区间 (0,3), (4, ??) 内没有实数根, 3 3 所以存在惟一的自然数 m ? 3, 使得方程 f ( x ) ? 37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不同的实数根。 x 变式 4.解: (Ⅰ)? f ?( x) ? 6 ? 2ax ? 8 ? f ?(3) ? 2 ? 6a ? 8 ? 0可得a ? ?1 x
2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 6 ln x ? x ? 8x ? b ? f ?( x) ?

6 2( x 2 ? 4 x ? 3) ? 2x ? 8 ? ( x ? 0) x x

1? x ? 3 由 f ?( x) ? 0可得x ? 3或x ? 1;由 f ?( x) ? 0可得
∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1],[3,??) 函数 f ( x) 的单调递减区间为[1,3] (Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数 f ( x) 在 (0,1] 单调递增;函数 f ( x) 在[1,3]单调递减; + ?) 单调递增;当 x=1 或 x=3 时, f ?( x) ? 0
极小值

函数 f ( x) 在[3,

? f ( x) ? f (1) ? 6 ln1 ? 1 ? 8 ? b ? b ? 7

f ( x) ? f (3) ? 6 ln 3 ? 9 ? 24 ? b ? 6 ln 3 ? b ? 15 ?当x充分接近0时, f ( x) ? 0,当x充分大时f ( x) ? 0
极小值

∴要使 f ( x) 的图象与 x 轴正半轴有且仅有三个不同的交点,只须

6

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

? f ( x) ? b ? 7 ? 0 ? 极大值 ? ( x) ? f (3) ? b ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ? f 极小值 ?

即 7 ? b ? 15 ? 6 ln 3

例 4.解: (Ⅰ)? F ( x) ? f ( x) ? a ? ln x ? a 定义域为 x ? (0,??) ? F ( x) ? (1 ? a ) 2? ln x x x x 令 F ?( x) ? 0 得x ? e1?a 由 F ?( x) ? 0得0 ? x ? e1?a 由 F ?( x) ? 0 得x ? e1?a

即 F ( x)在(0, e1?a ) 上单调递增,在 (e1?a ,??) 上单调递减

? x ? e1?a 时,F(x)取得极大值 F (e1? a ) ?

1? a ? a ? e a ?1 e1? a ? G ?( x) ? 2 ln x ?k x

(Ⅱ)? G( x) ? (ln x) 2 ? kx 的定义域为(0+∞)

由 G (x)在定义域内单调递减知: G ?( x) ? 2 ln x ? k ? 0 在(0+∞)内恒成立 x 令 H ( x) ?

2 2(1 ? ln x) ln x ? k ,则 H ?( x) ? x x2

由 H ?( x) ? 0得x ? e

∵当 x ? (0, e) 时 H ?( x) ? 0, H ( x) 为增函数;当 x ? (e,??) 时 H ?( x) ? 0
e e

H ( x ) 为减函数
e

∴当 x = e 时,H(x)取最大值 H (e) ? 2 ? k 故只需 2 ? k ? 0 恒成立,? k ? 2 又当 k ? 2 时,只有一点 x = e 使得 G ?( x) ? H ( x) ? 0 不影响其单调性? k ? 2 .
e e

变式 5 . ( 1 )∵ y ? g ( x) 的图像与 x 轴有两个交点,其交点横坐标分别为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则方程

a 2 x 2 ? bx ? 1 ? 0 有两个不同的实数根,即有 ? ? b2 ? 4a2 ? 0(a ? 0)
∴ (b ? 2a)(b ? 2a) ? 0 ,∴有 b ? ?2a 或 b ? 2a ,∴ b ? ?1 或 b ? ?1 即 ? b ? 1 或 ?
2a
2a

2a

b ? ?1 于是二次函数 2a

y ? f ( x) 图像的对称轴 x ? ?
2 2

b 在(-1,1)的左侧或右侧,故 y ? f ( x) 在(-1,1)上是单调函数 2a

(2)∵ x1 , x 2 是方程 a x ? bx ? 1 ? 0 的两个实根;故有 a2 x12 ? bx1 ? 1 ? 0, a2 x22 ? bx2 ? 1 ? 0
2 ∴ bx1 ? ?a2 x12 ?1, bx2 ? ?a22 x22 ?1 ,又 f ( x1 ) ? ax12 ? bx1 ? 1 ? a(1 ? a) x1 2 2 ∵ 当 a ? 1 时 , y ? f ( x) 的 图 像 开 口 向上 , 与 x 轴 的 两 相 交 点 为 f ( x2 ) ? ax2 ? bx2 ?1 ? a(1 ? a) x2

( x3 ,0)( x4 ,0) ;而点 ( x1, f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )) ,在 x 轴下方,∴有 x3 ? x1 ? x2 ? x4
x ?m 变式 6.解: (1)? f ( x) 在 (??,??) 上连续 f ?( x) ? e ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? m 。

当 x ? (??, m) 时, e

x ?m

? 1, f ?( x) ? 0; 当 x ? (m,??) 时, e x?m ? 1, f ?( x) ? 0 。①

所以,当 x ? m 时, f ( x) 取极小值也是最小值。? f ( x) min ? f (m) ? 1 ? m; 由①知 f ( x) 无最大值。
m m (2)函数 f ( x) 在 [ m,2m] 上连续。而 f (2m) ? e ? 2m, 令 g ( m) ? e ? 2m, m 则 g ?(m) ? e ? 2,? m ? 1,? g ?(m) ? e ? 2 ? 0, ? g (m) 在 (1,??) 上 递 增 。 由 g (1) ? e ? 2 ? 0 得

7

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

g (m) ? g (1) ? 0 ,即 f (2m) ? 0 ,又 f (m) ? 1 ? m ? 0, ? f (m) ? f (2m) ? 0,
根据定理,可判断函数 f ( x) 在区间 (m,2m) 上存在零点。

恒成立问题
1. (江苏卷)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立 的是 .... (A) | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | (C) | a ? b | ?
1 ?2 a?b

(B) a 2 ?

1 a
2

?a?

1 a

(D) a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a

【正确解答】运用排除法,C 选项 a ? b ?

1 ? 2 ,当 a-b<0 时不成立。 a?b

【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件 如果 a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号) 如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2
)

1 a 2.(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( x y A.2 B.4 C.6 D.8 解析:不等式(x+y)(

1 a y ax ? )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则1 ? a ? ? ≥ a ? 2 a ? 1 ≥9,∴ x y x y
2 3 2

a

≥2 或 a ≤-4(舍去),所以正实数 a 的最小值为 4,选 B. 3. (上海卷)三个同学对问题 “关于 x 的不等式 x +25+| x -5 x |≥ ax 在[1, 12]上恒成立, 求实数 a 的 取值范围”提出各自的解题思路. 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” . 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” . 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 .

25 ?10 ,等号当 解:由 x +25+| x -5 x |≥ ax,1? x ?12 ? a ? x ? 25 ? | x 2 ? 5 x | ,而 x ? 25 ? 2 x?
2 3 2

x x 且 仅 当 x ? 5?[1,12] 时 成 立 ; 且 | x ? 5 x |? 0 , 等 号 当 且 仅 当 x ? 5?[1,12] 时 成 立 ; 所 以 ,
2

x

a ?[ x ? 25 ? | x 2 ? 5 x |]min ?10 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;故 a ?(??,10] ; x
4.(江西卷)若不等式 x +ax+1?0 对于一切 x?(0,
2

1 〕成立,则 a 的取值范围是( 2
D.-3



A.0
2

B. –2

C.-

5 2

解:设 f(x)=x +ax+1,则对称轴为 x= - 函数,应有 f( 若-

a a 1 1 若 - ? ,即 a?-1 时,则 f(x)在〔0, 〕上是减 2 2 2 2

1 5 )?0?- ?a?-1 2 2

a 1 ?0,即 a?0 时,则 f(x)在〔0, 〕上是增函数,应有 f(0)=1?0 恒成立,故 a?0 2 2

8

专题

函数、导数与零点、恒成立问题

a 1 a a2 a2 a2 1= 1- ? 0 恒成立,故-1?a?0 ? ,即-1?a?0,则应有 f( - )= - + 2 2 2 4 2 4 5 综上,有- ?a 故选 C 2
若 0? -

9



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