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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 2.2向量的减法 新人教A版必修4



2.2

向量的减法

1.问题导航 (1)两个向量共线时,如何作出其差向量? → → → (2)点 O,A,B 为平面中的任意三点,则AB=OB-OA对吗? (3)在向量运算中 a+b=c+d,是否有 a-c=d-b 成立? 2.例题导读 P79 例 4.通过本例学习,学会作已知向量的和或差. P80 例 5.通过本例学习,学会利用向量加

减法的几何意义求向量的和或差的模. 试一试:教材 P81 习题 2-2 A 组 T4 你会吗? 向量的减法

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向量的减法 相反向量 定义:与 a 长度相等,方向相反的向量,叫作 a 的相反向量, 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加 → → → 上这个向量的相反向量几何意义:已知 a、b,在平面内任取一点 O,作OA=a,OB=b,则AB =b-a,即 b-a 可以表示为从向量 a 的终点指向向量 b 的终点的向量性质: ①-(-a)=a, ②a+(-a) =(-a)+a=0, ③如果 a 与 b 互为相反向量, 则 a=-b, b=-a,a+b=0

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
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(1)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线.( ) (2)向量 a 与向量 b 的差与向量 b 与向量 a 的差互为相反向量.( ) (3)相反向量是共线向量.( ) 解析:(1)错误.当两个向量共线时,其差向量就与这两个向量中的任一向量共线,所 以该说法错误. (2)正确.因为两个向量的差仍然是一个向量,所以向量 a 与向量 b 的差与向量 b 与向 量 a 的差互为相反向量. (3)正确.根据相反向量的定义知,该说法正确. 答案:(1)× (2)√ (3)√ 2.下列等式中,正确的个数是( ) ①a+b=b+a;②a-b=b-a;③0-a=-a;④-(-a)=a;⑤a+(-a)=0. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C.由向量的加法及几何意义,可得:①a+b=b+a,正确;由向量的减法及 其几何意义,得 a-b=-(b-a),即②错误;0-a=-a,③正确;根据相反向量的定义及 性质得-(-a)=a,④正确;而 a+(-a)=0≠0,⑤错误. → → → 3.OC-OA+CD=________. → → → → → → → → → 解析:OC-OA+CD=(OC-OA)+CD=AC+CD=AD. → 答案:AD 4.若 a 与 b 反向,且|a|=|b|=1,则|a-b|=________. 解析:因为 a 与 b 反向,所以|a-b|=|a|+|b|=2. 答案:2 1.相反向量满足的两个条件 (1)两个向量的方向相反. (2)两个向量的长度相等. 2.相反向量的意义 (1)在相反向量的基础上,可以通过向量加法定义向量减法. (2)为向量的“移项”提供依据.利用(-a)+a=0 在向量等式的两端加上某个向量的 相反向量,实现向量的“移项”. 3.对向量减法的三点说明 (1)减法的几何意义 a-b 的几何意义是:当向量 a,b 的起点相同时,从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的 向量. (2)与向量加法的关系 a-b=a+(-b),减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. (3)向量减法运算法则 把减向量与被减向量的起点重合,则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.

已知向量作差向量

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如图,已知向量 a、b、c 不共线,求作向量 a+b-c.

(链接教材 P79 例 4) → → → → [解] 法一:如图①,在平面内任取一点 O,作OA=a,OB=b,OC=c,连接 BC,则CB= → → → → b-c.过点 A 作 AD 綊 BC,连接 OD,则AD=b-c,所以OD=OA+AD=a+b-c. → → → → 法二:如图②,在平面内任取一点 O,作OA=a,AB=b,连接 OB,则OB=a+b,再作OC → =c,连接 CB,则CB=a+b-c. → → → → 法三:如图③,在平面内任取一点 O,作OA=a,AB=b,连接 OB,则OB=a+b,再作CB → → =c,连接OC,则OC=a+b-c.

方法归纳 求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置, 然后利用向量减法的三角形 法则来运算. 平移作两向量的差的步骤

此步骤可以简记为“作平移,共起点,两尾连,指被减”.

1.(1)如图,已知向量 a,b,c,求作向量 a-b-c.

→ → → (2)如图所示,O 为△ABC 内一点,OA=a,OB=b,OC=c,求作向量 b+c-a.

→ → → → → 解:(1)作向量OA=a,OB=b,则向量 a-b=BA,再作向量BC=c,则向量CA=a-b-

c.

→ → → → → → → → (2)以OB,OC为邻边作?OBDC,连接 OD,AD,则OD=OB+OC=b+c,AD=OD-OA=b+c -a.

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向量的减法运算 化简下列各式: → → → → (1)(AB+MB)+(-OB-MO); → → → (2)AB-AD-DC; → → → → (3)(AB-CD)-(AC-BD). (链接教材 P81 习题 2-2A 组 T5) → → → → → → → → → → → [解] (1)法一:原式=AB+MB+BO+OM=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB. → → → → 法二:原式=AB+MB+BO+OM → → → → → → → → → =AB+(MB+BO)+OM=AB+MO+OM=AB+0=AB. → → → (2)法一:原式=DB-DC=CB. → → → → → → 法二:原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB. → → → → (3)法一:原式=AB+DC+CA+BD → → → → → → =(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0. → → → → 法二:(AB-CD)-(AC-BD) → → → → → → → → =AB-CD-AC+BD=(AB-AC)-CD+BD → → → → → =CB-CD+BD=DB+BD=0. 方法归纳 (1)

(2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相接且相加;②起点相同且相减.做题时,注意观察是否有这两种形式的向量出 现.同时注意向量加法、减法法则的逆向运用.

→ → → → 2.(1)在平行四边形 ABCD 中,设AB=a,AD=b,AC=c,BD=d,则下列等式中不正确 的是( ) A.a+b=c B.a-b=d C.b-a=d D.c-a=b (2)化简下列各式: → → → → ①OP-OQ+PM-QM; → → → → → → ②(AB+CD)+(BC+DE)-(EF-EA). 解:(1)选 B.根据向量加法的平行四边形法则知, → → → → → → → → → → AB+AD=AC,AD-AB=BD,即 a+b=c,b-a=d.c-a=AC-AB=BC=AD=b,故选 B.
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→ → → → → → → → → (2)①OP-OQ+PM-QM=QP+PM-QM=QM-QM=0. → → → → → → → → → → → → → → → ②(AB+CD)+(BC+DE)-(EF-EA)=(AB+BC)+(CD+DE)-(EF-EA)=AC+CE-AF= → → → AE-AF=FE.

用已知向量表示其他向量

→ → → 设 O 是△ABC 内一点,且OA=a,OB=b,OC=c,若以线段 OA,OB 为邻边作平行 四边形,第四个顶点为 D,再以 OC,OD 为邻边作平行四边形,其第四个顶点为 H.试用 a,b, → → → c 表示DC,OH,BH. [解] 由题意可知四边形 OADB 为平行四边形, → → → 所以OD=OA+OB=a+b. → → → 所以DC=OC-OD=c-(a+b). 又四边形 ODHC 为平行四边形, → → → 所以OH=OC+OD=c+a+b. → → → 所以BH=OH-OB=a+b+c-b=a+c.

→ 若题中的条件不变,如何用向量 a,b,c 表示出向量AH? → → → → → → 解:由例题解析可得OH=OC+OD=c+a+b,则AH=OH-OA=c+a+b-a=b+c. 方法归纳 用已知向量表示其他向量的三个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、 相反向量、 共线向量以及构成三角形三向量之间的关系, 确定已知向量与被表示向量的转化渠道. (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问 题. → → → (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则. 例如四边形 ABCD 中, AB+BC+CD+ → DA=0.

→ → → 3.(1)如图,O 为平行四边形 ABCD 内一点,OA=a,OB=b,OC=c, → 则OD=________.

(2)如图所示,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且 → → → → → → → → AB=a,AC=b,AE=c,试用向量 a,b,c 表示向量BD,BC,BE,CD及CE. → → → → → → → → → → → → 解: (1)因为BA=CD, BA=OA-OB, CD=OD-OC, 所以OD-OC=OA-OB,
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→ → → → → OD=OA-OB+OC,所以OD=a-b+c.故填 a-b+c. (2)因为四边形 ACDE 是平行四边形, → → → → → 所以CD=AE=c,BC=AC-AB=b-a, → → → → → → BE=AE-AB=c-a,CE=AE-AC=c-b, → → → 所以BD=BC+CD=b-a+c.

易错警示 向量加减法的几何意义应用中的误区 已知 D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( )

→ → → A.AD+BE+CF=0 → → → B.BD-CF+DF=0 → → → C.AD+CE-CF=0 → → → D.BD-BE-FC=0 [解析] 因为 D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点, → → → → → → → → 所以AD=DB,CF=ED,FC=DE,FE=DB, → → → → → → 所以AD+BE+CF=DB+BE+ED=0,故 A 成立. → → → → → → → → → BD-CF+DF=BD+DF-CF=BF+FC=BC≠0,故 B 不成立, → → → → → → → → AD+CE-CF=AD+FE=AD+DB=AB≠0,故 C 不成立. → → → → → → → BD-BE-FC=ED-DE=ED+ED≠0,故 D 不成立. [答案] A [错因与防范] (1)解答本题的过程中, 若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义, 则不能推出相等向量, 从而导致推导变形无法进行; 或因应用向量减法的几何意义时字母顺 序出错而导致错误. (2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题,首先应重视向量知识与平面几何知识 的结合,利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线,向量相等等结论,为向量 式的变形提供依据.其次,要记准向量减法的几何意义,根据向量减法的几何意义作两个向 量的差的基本步骤:作平移,共起点,两尾连,指被减. → → → 4.(1)如图所示,O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的交点,设AB=a,DA=b,OC =c,则 b+c-a 等于( )

→ A.OA → C.OD

→ B.OB → D.OA+b

→ → → (2)如图, 在△ABC 中, 若 D 是边 BC 的中点, E 是边 AB 上一点, 则BE-DC+ED=________.

解析:(1)法一:因为四边形 ABCD 是平行四边形,
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→ → 所以DA=CB, → → → → → 所以 b+c=DA+OC=CB+OC=OB, → → → → → 所以 b+c-a=OB-AB=OB+BA=OA. → → 法二:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以AB=DC, → → → → → → → 所以 c-a=OC-AB=OC-DC=OC+CD=OD. → → → 因为DA=b,所以AD=-DA=-b, → → → → 所以OD=OA+AD=OA-b. → → 所以 c-a=OA-b,即 b+c-a=OA. → → → → → → → → → → → → → → → → (2)BE-DC+ED=BE+CD+ED=BE+ED+CD=BD+CD, 因为BD+CD=0, 所以BE-DC+ED =0. 答案:(1)A (2)0 → → → 1.若BA=a,BC=b,则CA等于( ) A.0 B.a+b C.b-a D.a-b → → → 解析:选 D.CA=BA-BC=a-b.故选 D. → → → → 2.如图,在四边形 ABCD 中,设AB=a,AD=b,BC=c,则DC=(

)

A.a-b+c C.a+b+c

B.b-(a+c) D.b-a+c

→ → → → 解析:选 A.DC=DA+AB+BC=a-b+c. 3.已知 a、b 为非零向量,则下列命题中真命题的序号是________. ①若|a|+|b|=|a+b|,则 a 与 b 方向相同; ②若|a|+|b|=|a-b|,则 a 与 b 方向相反; ③若|a|+|b|=|a-b|,则 a 与 b 有相等的模; ④若||a|-|b||=|a-b|,则 a 与 b 方向相同. 解析:当 a、b 方向相同时有 |a|+|b|=|a+b|,||a|-|b||=|a-b|, 当 a、b 方向相反时有 ||a|-|b||=|a+b|,|a|+|b|=|a-b|, 因此①②④为真命题. 答案:①②④

,

[学生用书单独成册])

[A.基础达标] 1.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )

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→ → → B.EF=OF-OE → → → D.EF=-OF-OE → → → 解析:选 B.根据向量的减法的定义可得EF=OF-OE. 2.下列式子不正确的是( ) A.a+0=a B.a+b=b+a → → C.AB+BA≠0 → → → → D.AC=DC+AB+BD 解析:选 C.根据向量加法的三角形法则,A 正确;向量加法满足交换律,B 正确; → → 因为AB与BA是一对相反向量,相反向量的和为零向量,所以 C 不正确;根据向量加法的 多边形法则,D 正确. → → 3.在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点,则AD-AC等于( ) → → A.CB B.BC → → C.CD D.DC → 解析: 选 C.在△ABC 中, D 是 BC 边上的一点, 则由两个向量的减法的几何意义可得AD- → → AC=CD. 4.

→ → → A.EF=OF+OE → → → C.EF=-OF+OE

→ → 如图,在任意四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 的中点,则EF+EF=( ) → → → A.AB B.AB+DC → → → C.DC D.AD+BC → → → → → → → → → → → → 解析:选 B.因为EF=EA+AB+BF,EF=ED+DC+CF,又EA与ED互为相反向量,BF与CF互 → → → → → → → → → → → → → → 为相反向量, 所以EA+ED=0, BF+CF=0.所以EF+EF=ED+DC+CF+EA+AB+BF=(ED+EA) → → → → → → +DC+AB+(BF+CF)=AB+DC. → → → 5.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( ) A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 解析:

→ → → → → 选 C.当AB与AC不共线时,有BC=AC-AB(如图所示), 由三角形三边的不等关系可知 → 8-5<|BC|<8+5, → 即 3<|BC|<13, → → → 当AB与AC共线反向时,|BC|=13; → → → 当AB与AC共线同向时,|BC|=3,

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→ 所以 3≤|BC|≤13. → → → → → 6. 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, AC 与 BD 交于 O 点, 则BA-BC-OA+OD+DA=________.

→ → → → → 解析:BA-BC-OA+OD+DA → → → → → =(BA-BC)-(OA-OD)+DA → → → → =CA-DA+DA=CA. → 答案:CA → → → → 7.化简:(1)(AD-BM)+(BC-MC)=________. → → → → (2)(PQ-MO)+(QO-QM)=________. → → → → → → → → → → → → → → → 解析:(1)(AD-BM)+(BC-MC)=AD+MB+BC+CM=AD+(MB+BC)+CM=AD+MC+CM= →

AD.
→ → → → → → → → → → → → → (2)(PQ-MO)+(QO-QM)=PQ+QO-(QM+MO)=PO-QO=PO+OQ=PQ. → → 答案:(1)AD (2)PQ → → 8.四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,则|AB-AD|=________. → → → 2 2 解析:|AB-AD|=|DB|= 1 +1 = 2. 答案: 2 9.

→ → → → → → 如图,已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,OF=f,试用 a,b,c,d,e,f 表 示以下向量: → → → → → (1)AC;(2)AD;(3)DF+FE+ED. → → → 解:(1)AC=OC-OA=c-a. → → → → → (2)AD=AO+OD=-OA+OD=-a+d. → → → → → → → → → (3)DF+FE+ED=DO+OF+FO+OE+EO+OD=0. → → → 10.如图所示,已知正方形 ABCD 的边长等于 1,AB=a,BC=b,AC=c,试作出下列向 量,并分别求出其长度.

(1)a+b+c;(2)a-b+c. → → → 解:(1)由已知得 a+b=AB+BC=AC, → → → 又AC=c,所以延长 AC 到 E,使|CE|=|AC|.

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→ → 则 a+b+c=AE,且|AE|=2 2. 所以|a+b+c|=2 2. → → (2)作BF=AC,连接 CF. → → → 则DB+BF=DF, → → → → 而DB=AB-AD=a-BC=a-b, → → → → 所以 a-b+c=DB+BF=DF且|DF|=2. 所以|a-b+c|=2. [B.能力提升] 1.给出下列各式: → → → ①AB+CA+BC; → → → → ②AB-CD+BD-AC; → → → ③AD-OD+OA; → → → → ④NQ-MP+QP+MN. 对这些式子进行化简,则其化简结果为 0 的式子的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 → → → → → 解析:选 A.①AB+CA+BC=AC+CA=0; → → → → → → → → → → ②AB-CD+BD-AC=AB+BD-(AC+CD)=AD-AD=0; → → → → → → → → ③AD-OD+OA=AD+DO+OA=AO+OA=0; → → → → → → → → → → ④NQ-MP+QP+MN=NQ+QP+MN-MP=NP+PN=0. → → → → 2.平面内有四边形 ABCD 和点 O,若OA+OC=OB+OD,则四边形 ABCD 的形状是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 → → → → 解析:选 B.因为OA+OC=OB+OD, → → → → 所以OA-OB=OD-OC, → → 即BA=CD,又 A,B,C,D 四点不共线, → → 所以|BA|=|CD|,且 BA∥CD, 故四边形 ABCD 为平行四边形. → → → 3.若菱形 ABCD 的边长为 2,则|AB-CB+CD|=________ → → → → → → → → → 解析:因为菱形 ABCD 的边长为 2,所以|AB-CB+CD|=|AB+BC+CD|=|AC+CD|=|AD |=2. 答案:2 → → → 4.如图,在正六边形 ABCDEF 中,与OA-OC+CD相等的向量有________.

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→ → → → → → → → → → → → ①CF;②AD;③BE;④DE-FE+CD;⑤CE+BC;⑥CA-CD;⑦AB+AE. 解析:因为四边形 ACDF 是平行四边形, → → → → → → 所以OA-OC+CD=CA+CD=CF, → → → → → → → DE-FE+CD=CD+DE+EF=CF, → → → → → CE+BC=BC+CE=BE, → → → CA-CD=DA, 因为四边形 ABDE 是平行四边形, → → → 所以AB+AE=AD, → → → 综上知与OA-OC+CD相等的向量是①④. 答案:①④ → → → → → 5.在五边形 ABCDE 中,设AB=m,BC=n,CD=p,DE=q,EA=r,求作向量 m-p+n- q-r.

解:因为 m-p+n-q-r =(m+n)-(p+q+r) → → → → → =(AB+BC)-(CD+DE+EA) → → → → =AC-CA=AC+AC. → → → → 延长 AC 到 M,使|CM|=|AC|,则CM=AC, → → → → → 所以AC+AC=AC+CM=AM. → 所以向量AM为所求作的向量,如图所示.

6.(选做题)如图,已知点 O 是△ABC 的外心,H 为垂心,BD 为外接圆的直径.求证:

→ → (1)AH=DC; → → → → (2)OH=OA+OB+OC. 证明:(1)由题意,可得 AH⊥BC,DC⊥BC,
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所以 AH∥DC. 又 DA⊥AB,CH⊥AB,所以 DA∥CH, 所以四边形 AHCD 为平行四边形. → → 所以AH=DC. → → → → → (2)在△OAH 中,OH=OA+AH,而AH=DC, → → → 所以OH=OA+DC. → → → → → 又在△ODC 中,DC=DO+OC,而DO=OB, → → → 所以DC=OB+OC. → → → → 所以OH=OA+OB+OC.

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