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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版必修五配套课件:3.2-第1课时均值不等式



数学[RB· 必修5]
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源

3.2

均值不等式

第 1 课时 均值不等式

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●三维目标 1.知识与技能 a+b (1)会推导均值不等式: 2 ≥ ab; a+b (2)理解 2 ≥ ab的几何意义; (3)会利用均值不等式求最值.

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2.过程与方法 (1)探索并了解均值不等式的形成和证明过程; (2)体会均值不等式的证明方法和简单应用. 3.情感、态度与价值观 (1)通过探索均值不等式的证明过程,培养探索、研究精神; (2)通过对均值不等式成立的条件的分析,养成严谨的科学 态度,勇于提出问题、分析问题的习惯.

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●重点难点 重点:均值不等式成立的条件及应用. 难点: 均值不等式成立的条件以及应用均值不等式求最大值 和最小值.

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课 标 解 读

1.了解均值不等式的证明过程. 2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代 数式的大小.(重点、难点) 3.能利用均值不等式求简单函数的最值.(重点)

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均值定理
【问题导思】 如图(1)是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标.将 其抽象成如图(2)的形式.设直角三角形的长为 a、b(a≠b),那么 正方形的边长为 a2+b2.

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1. 根据抽象的图形, 你能从中得到一个什么样的不等关系?

图(1)

图(2)

【提示】 正方形 ABCD 的面积大于 4 个直角三角形的面积 之和,即 a2+b2>2ab.

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2.当中间的四边形 EFGH 缩为一点,即四个直角三角形变 为等腰直角三角形时, 可以得到什么结论?结合问题 1 你有什么 发现?
【提示】 a2+b2=2ab,a2+b2≥2ab.

3.在 a>0,b>0 时,用 a, b分别代替 a、b,可以得到什 么结论?
【提示】 a+b 2 ≥ ab.

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1.均值定理 a+b ≥ 如果 a,b∈R ,那么 2


ab.当且仅当 a=b 时,等号

成立.以上结论通常称为均值不等式. 2.算术平均值与几何平均值 a+b 对于任意两个正实数 a, b, 数 2 叫做 a, b 的算术平均值, 数 ab叫做 a,b 的几何平均值. 3.均值定理可以表述为: 两个正实数的 算术 平均值大于或等于它的 几何 平均值.
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利用均值不等式比较代数式的大小
设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 a+b B.a< ab< 2 <b a+b D. ab<a< 2 <b )

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【思路探究】

a +b (1) 2 与 ab有怎样的关系?

a+ b (2)b 与 2 有怎样的关系?

【自主解答】 2b>a+b

法一

a+b ∵b>a>0,∴ 2 > ab,

a+b a+b ∴b> 2 ,∴a< ab< 2 <b.

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法二

a+b 取 a=2,b=8,则 ab=4, 2 =5,

a+b ∴a< ab< 2 <b.

【答案】 B

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运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件,即 a + b≥2 ab成立的条件是 a>0,b>0,等号成立的条件是 a=b;a2 +b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R,等号成立的条件是 a=b.

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a+b 1 已知 a>b>1,P= lg a· lg b,Q=2(lg a+lg b),R=lg 2 , 试比较 P、Q、R 的大小.
【解】 ∵a>b>1, ∴lg a>lg b>0, lg a+lg b ∴P= lg a· lg b< =Q, 2 lg a+lg b 1 a+b Q= =2lg ab=lg ab<lg 2 =R, 2 ∴P<Q<R.
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用均值不等式求简单的最值
9 (1)已知 x>0,求 f(x)=x+x 的最小值; (2)已知 lg a+lg b=2,求 a+b 的最小值; 1 (3)已知 m,n>0,且 m+n=16,求2mn 的最大值.

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【思路探究】 9 (1)x 与x 都为正数吗?它们的积为定值吗?

9 怎样求 x+x 的最小值? (2)由 lg a+lg b=2 能得到 a,b 为定值吗?a,b 是正数吗? (3)和为定值,能求积的最大值吗?
【自主解答】 9 f(x)=x+x ≥2 取到最小值 6;
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(1)∵x>0,∴由均值不等式可得 9 9 x· x =6,当且仅当 x=x,即 x=3 时,f(x)

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(2)由 lg a+lg b=2 可得 lg ab=2, 即 ab=100, 且 a>0, b>0, 因此由均值不等式可得 a+b≥2 ab=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20. (3)∵m,n>0 且 m+n=16, 所以由均值不等式可得
?m+n? 16?2 ? ?2 ? mn≤? =? 2 ? =64, ? ? ? ? 2 ?

当且仅当 m=n=8 时,mn 取到最大值 64. 1 ∴2mn 的最大值为 32.

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当 a>0,b>0 时, p2 1. 若 a+b=p(和为定值), 则当 a=b 时, 积 ab 有最大值 4 , a+b 可以用基本不等式 ab≤ 2 求得. 2.若 ab=S(积为定值),则当 a=b 时,和 a+b 有最小值 2 S,可以用基本不等式 a+b≥2 ab求得. 不论哪种情况都要注意等号取得的条件.

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12 若 x>0,求 f(x)= x +3x 的最小值.

12 【解】 ∵x>0,∴f(x)= x +3x≥2

12 3x=12, x·

12 当且仅当 3x= x 即 x=2 时,“=”成立. ∴f(x)的最小值为 12.

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利用均值不等式证明不等式

a2 b2 c2 已知 a、b、c>0,求证: b + c + a ≥a+b+c.
【思路探究】 a2 b2 c2 判断 a,b,c, , , 均大于 0―→ b c a

a2 b2 c2 证 + b≥2a―→ 证 + c≥2b―→ 证 + a≥2c―→ 得所证不 b c a 等式

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a2 b2 c2 ∵a,b,c, b , c , a 均大于 0, a2 b=2a, b·

【自主解答】 a2 ∴ b +b≥2

a2 当且仅当 b =b 时等号成立. b2 c +c≥2 b2 c=2b, c·

b2 当且仅当 c =c 时等号成立.

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c2 a +a≥2

c2 a=2c, a·

c2 当且仅当 a =a 时等号成立. a2 b2 c2 相加得 b +b+ c +c+ a +a≥2a+2b+2c. a2 b2 c2 ∴ b + c + a ≥a+b+c.

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1.此题多次使用 a+b≥2 ab时,要注意等号能否成立,最 后利用不等式性质累加的应用,此时也要注意等号成立的条件. 2.在解决不能直接利用均值不等式的证明问题,要重新组 合,构造运用均值不等式的条件.若条件中有一个多项式的和为 1,要注意“1”的代换.

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若 a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥ ab+ bc+ ac.

【证明】

∵a>0,b>0,c>0,

∴a+b≥2 ab,当且仅当 a=b 时取“=”,b+c≥2 bc, 当且仅当 b=c 时取“=”,a+c≥2 ac,当且仅当 a=c 时取 “=”, ∴ a + b + c≥ ab + bc + ac ,当且仅当 a = b = c 时取 “=”.
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忽视均值不等式成立的条件致误 1 求函数 y=x+x 的值域.

【错解】

1 ∵x+x ≥2

1 x· x =2,

∴函数值域为[2,+∞).

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【错因分析】 上述解答中应用了均值不等式,却忽略了应 用均值不等式的条件——两个数应都大于零,因而导致错误.
【防范措施】 1 由于 y=x+x的定义域为(-∞,0)∪(0,+

∞),故要对 x 的符号加以讨论,否则不能用均值不等式.

【正解】

1 当 x>0 时,x+x ≥2

1 x· x =2,

1 当且仅当 x=x 即 x=1 时,“=”成立, ∴y≥2.
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? 1 ? 1 ? 当 x<0 时,x+x =-?-x+-x? ?≤ ? ?

-2

1 -x· =-2, -x

1 当且仅当-x= ,即 x=-1 时,“=”成立. -x ∴y≤-2. 故原函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) .

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1.应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件,只有 a+b 当 a>0,b>0 时,才会有 ab≤ 2 .对于“当且仅当??时, ‘=’成立?”这句话要从两个方面理解:一方面,当 a=b a+b a+b 时, 2 = ab;另一方面:当 2 = ab时,也有 a=b. 2.应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、 “凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形,构造出符合均 值不等式的条件结构.
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1.若 x2+y2=4,则 xy 的最大值是( 1 A.2 C.2
【解析】

)

B.1 D.4
x2+y2 xy≤ 2 =2,当且仅当 x=y 时取“=”.

【答案】 C

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2.已知 ab=1,a>0,b>0,则 a+b 的最小值为( A.1 C.4 B.2 D.8

)

【解析】 ∵a>0,b>0,∴a+b≥2 ab=2,当且仅当 a=b =1 时取等号,故 a+b 的最小值为 2.
【答案】 B

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4 3.已知 x>0,函数 y=x +x 的最小值为________.
【解析】 4 4 ∵x>0,∴x>0,∴y=x+x ≥2 4 x· x =4.

【答案】 4

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4.已知 a,b 是正数,求证:1 1≤ ab. a+b 2

【证明】 1 1 ∴a+b≥2 ∴ 1 1≤ a+b 2 2 2

∵a>0,b>0, 1 ab>0, 2 1 ab = ab,

1 1≤ ab(当 a=b 时取“=”). a+b
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课后知能检测

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记 F(x,y)=x+y-a(x+2 2xy),x,y∈R .若对任意的 x,y ∈R ,恒有 F(x,y)≥0,请求出 a 的取值范围.




【思路探究】 分离参数 a, 变成 a≤f(x)的形式, 然后求 f(x) 的最小值即可.

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【自主解答】 由 F(x,y)≥0,得 x+y≥a(x+2 2xy). 因为 x>0,y>0, x+y 所以 a≤ 恒成立. x+2 2xy x+y 所以 a 的最大值为 的最小值. x+2 2xy 因为 2 2xy≤x+2y, x +y x +y 1 所以 ≥ = , x+2 2xy x+?x+2y? 2 1 当且仅当 x=2y>0 时,等号成立,即 a 的最大值为2,所以 a ? 1? ∈?-∞,2?. ? ?
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1 1 m 设 a>b>c,且 + ≥ 恒成立,求实数 m 的取值范 a-b b-c a-c 围.
【解】 由 a>b>c 知 a-b>0,a-c>0.因此,原不等式等价

a-c a-c a-c a-c 于 + ≥m.要使原不等式恒成立, 只需 + 的最小 a-b b-c a-b b-c 值不小于 m 即可.

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a-c a-c ?a-b?+?b-c? ?a-b?+?b-c? 因为 + = + =2+ a-b b-c a-b b-c b-c a-b + ≥2+2 a-b b-c b-c a-b b-c a-b × =4.当且仅当 = ,即 a-b b-c a-b b-c

2b=a+c 时,等号成立.所以 m≤4,即 m∈(-∞,4].

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