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数列求和总的底本



环球雅思学科教师辅导教案
学员编号: 学员姓名: 授课类型 星 级 年 级: 课 时 数: 1 学科教师: 辅导科目:数学

T (同步) ★★(参考)

授课日期及时段 教学内容

数列求和
问题导入 入 1.回忆数列的概念 2,回忆课本中等差,等比数列求和的方法
. 3.对等差数列前项和

的最值问题有两种方法: (1) 利用 a n : 当 a n >0,d<0,前n项和有最大值 可由 a n ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值
王新敞
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<建议用时 5 分钟!>

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当 a n <0,d>0,前n项和有最小值 可由 a n ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值
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(2) 利用 S n :由 S n ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 二次函数配方法求得最值时n的值 2 2

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知识梳理
<建议用时 15 分钟!>

1

数列求和方法
一,利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n a ? a q a ( 1 ? q ) 2、等比数列求和公式: S n ? ? 1 n ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

n 1 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

二,反序相加法求和(等差数列中已经提到) 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相 加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

三,错位相减法求和(等比数列中方法) 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和, 其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

(q ? 1) ? na1 ? n a ? a q a ( 1 ? q ) 等比数列求和公式: S n ? ? 1 n ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

四。分组法求和:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等 差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可

五、裂项法求和:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的

2

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在 一起先求和,然后再求 Sn.

七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的 前 n 项和,是一个重要的方法.

说明:本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”一章的学习。本学案每种方法备有 2 例题)

基础演练

< 建议用时 15—18 分钟!>

前 N 项和最值练习题
1.一个等差数列前 4 项的和是 24,前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27,求这个等差数列的通项公式. 分析:将已知条件转化为数学语言,然后再解. 解:根据题意,得 S 4 =24, S 5 - S 2 =27 则设等差数列首项为 a1 ,公差为 d,

4(4 ? 1)d ? 4a1 ? ? 24 ? ? 2 则 ? ?(5a ? 5(5 ? 1)d ) ? (2a ? 2(2 ? 1)d ) ? 27 1 1 ? 2 2 ?
?a1 ? 3 解之得: ? ?d ? 2
∴ a n =3+2(n-1)=2n+1.

2.两个数列 1, x1 , x 2 , ??, x 7 , 5 和 1, y1 , y 2 , ??, y 6 , 5 均成等差数列公差分别是 d 1 , d 2 , 求

d1 与 d2

x1 ? x 2 ? ?? ? x7 的值 y1 ? y 2 ? ?? ? y 6

王新敞
奎屯

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3

解:5=1+8 d 1 , d 1 =

d 1 4 7 , 又 5=1+7 d 2 , d 2 = , ∴ 1 = ; d2 2 7 8

x1 + x 2 +??+ x 7 =7 x 4 =7×

1? 5 =21, 2

y1 + y 2 + ??+ y 6 =3×(1+5)=18,


x1 ? x 2 ? ?? ? x7 7 = . y1 ? y 2 ? ?? ? y 6 6
王新敞
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3.在等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ a n }的前 n 项和 S n 的最小值

S n 的最小值

王新敞
奎屯

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解法 1:∵ a 4 = a1 +3d, ∴ -15= a1 +9, a1 =-24, ∴ S n =-24n+ ∴ 当|n-

3n(n ? 1) 3 51 2 51 2 = [(n- ) - ], 36 2 6 2

51 |最小时, S n 最小, 6

即当 n=8 或 n=9 时, S 8 = S 9 =-108 最小. 解法 2:由已知解得 a1 =-24, d=3, a n =-24+3(n-1), 由 a n ≤0 得 n≤9 且 a 9 =0, ∴当 n=8 或 n=9 时, S 8 = S 9 =-108 最小. 填空题 1、已知等差数列公差 d>0,a3a7=-12,a4+a6=-4,则 S20=_______ 2、数列{an}中,若 a1,a2,a3 成等差数列,a2,a3,a4 成等比数列,a3,a4,a5 的倒数又成等差数列,则 a1,a3,a5 成_______数列 3、已知{an}为等差数列,a1=1,S10=100,an=_______.令 an=log2bn,则的前五项之和 S5′=_______ 4、已知数列

1 1 1 1 , , , ?, ? 则其前 n 项和 Sn=________. 6 12 20 (n ? 1)( n ? 2)

5、数列前 n 项和为 Sn=n2+3n,则其通项 an 等于____________. 6、等差数列{an}中, 前 4 项和为 26, 后 4 项之和为 110, 且 n 项和为 187, 则 n 的值为____________. 7、已知等差数列{an}的公差 d≠0, 且 a1,a3,a9 成等比数列,

a1 ? a3 ? a9 的值是________. a 2 ? a 4 ? a10

8、等差数列{an}中, S6=28, S10=36(Sn 为前 n 项和), 则 S15 等于________.

4

9、等比数列{an}中, 公比为 2, 前 99 项之和为 56, 则 a3+a6+a9+?a99 等于________. 10、等差数列{an}中, a1=1,a10=100,若存在数列{bn}, 且 an=log2bn,则 b1+b2+b3+b4+b5 等于____________. 11、已知数列 1,

n ?1 n ? 2 n ? 3 , , ,? , 前 n 项的和为____________. n n n

12、已知{an}是等差数列,且有 a2+a3+a10+a11=48, 则 a6+a7=____________. 13、等比数列{an}中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480, 则 a1 必为________. 14、三个数

1 1 a?c 、1、 成等差数列,而三个数 a2、1、c2 成等比数列, 则 2 等于____________. a c a ? c2

15、已知 lg

x,

1 , lgy 成等比数列, 且 x>1,y>1, 则 x、y 的最小值为________. 2
2 an , 已知{an}既是等差数列, 又是等比数列,则{an}的前 20 项的和为________. 2a n ? 5

16、在数列{an}中, a n ?1 ?

17、若数列{an}, a1 ?

2 1 (n∈N), 则通项 an=________. , 且a n ?1 ? a n ? 3 (n ? 2)( n ? 1)

18、已知数列{an}中, a 4 ? 3 ? 2 2 , a n ?1 ? ( 2 ? 1)a n (n≥1), 则这个数列的通项公式 an=________. 19、正数 a、b、c 成等比数列, x 为 a、b 的等差中项, y 为 b、c 的等差中项, 则

a c ? 的值为________. x y

20、等比数列{an}中, 已知 a1·a2·a3=1,a2+a3+a4=

7 , 则 a1 为________. 4

三、解答题 1、在等差数列{an}中,a1=-250,公差 d=2,求同时满足下列条件的所有 an 的和, (1)70≤n≤200;(2)n 能被 7 整除.

2、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12, S12>0,S13<0. (Ⅰ)求公差 d 的取值范围; (Ⅱ)指出 S1,S2,?,S12,中哪一个值最大,并说明理由.

3、数列{ a n }是首项为 23,公差为整数的等差数列,且前 6 项为正,从第 7 项开始变为负的,回答下列各问:(1) 求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值;(3)当 S n 是正数时,求 n 的最大值.

4、设数列{ a n }的前 n 项和 S n .已知首项 a1=3,且 S n ?1 + S n =2 a n ?1 ,试求此数列的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .

5

5、已知数列{ a n }的前 n 项和 S n ?

1 1 n(n+1)(n+2),试求数列{ }的前 n 项和. an 3

6、已知数列{ a n }是等差数列,其中每一项及公差 d 均不为零,设 ai x 2 ? 2ai ?1 x ? ai ? 2 =0(i=1,2,3,?)是关于 x 的一组 方程.回答:(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为 mi ,求证

1 1 1 1 , , ,?, ,?也成等差数列. m1 ? 1 m2 ? 1 m3 ? 1 mn ? 1

2 7、 如果数列{ a n }中,相邻两项 a n 和 a n ?1 是二次方程 x n ? 3nxn ? c n =0(n=1,2,3?)的两个根,当 a1=2 时,试求 c100 的值.

8、有两个无穷的等比数列{ a n }和{ a n },它们的公比的绝对值都小于 1,它们的各项和分别是 1 和 2,并且对于一切自 然数 n,都有 a n ?1 ,试求这两个数列的首项和公比.

9、 有两个各项都是正数的数列{ a n },{ bn }.如果 a1=1,b1=2,a2=3.且 a n , bn , a n ?1 成等差数列, bn , a n ?1 , bn ?1 成等比数列, 试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log2xn}的第 m 项等于 n,第 n 项等于 m(其中 m?n),求数列{xn}的前 m+n 项的和。

参考答案:填空题 1、 1802、 等比 3、 2n-1,

n 13 62 4、 5、 2n+2.6、 11.7、 8、249、32 2( n ? 2) 3 16

6

10、 68211、 18、

?

n ?1 1 12、2413、-4 或 2. 14、 1 或 ? 15、 10 2 3 n?2 2 2 ? 1 19、2.20、 2 或 ? 3

2

16、100. 17、

?

7 1 ? 6 n ?1

解答题 1、 解: a1=-250, d=2, an=-250+2(n-1)=2n-252 同时满足 70≤n≤200, n 能被 7 整除的 an 构成一个新的等差数列{bn}. b1=a70=-112, b2=a77=-98,?, bn′=a196=140 其公差 d′=-98-(-112)=14. 由 140=-112+(n′-1)14, 解得 n′=19

19 ? 18 ? 14 ? 266 . 2 12 ? (12 ? 1) 2、解: (Ⅰ)依题意,有 S12 ? 12 a1 ? ?d ? 0 2
∴{bn}的前 19 项之和 S ? 19 ? (?112 ) ?

S13 ? 13a1 ?

?2a1 ? 11d ? 0 (1) 13 ? (13 ? 1) ? d ? 0 ,即 ? 2 ? a1 ? 6d ? 0 ( 2)
(3)

由 a3=12,得 a1=12-2d

将(3)式分别代入(1),(2)式,得

?24 ? 7d ? 0 24 ,∴ ? ? d ? ?3 . ? 7 ? 3? d ? 0

(Ⅱ)由 d<0 可知 a1>a2>a3>?>a12>a13. 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an>0,an+1<0,则 Sn 就是 S1,S2,?,S12 中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)>0, S13=13a7<0,即 a6+a7>0, a7<0. 由此得 a6>-a7>0.因为 a6>0, a7<0,故在 S1,S2,?,S12 中 S6 的值最大. 3、 (1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=-4.(2)由 a6>0,a7<0,∴S6 最大, S6=8.(3)由 a1=23,d=-4,则

Sn =

1 n(50-4n),设 S n >0,得 n<12.5,整数 n 的最大值为 12. 2

4、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在 Sn+1+Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2+S1=2a2.而 S2=a1+a2.即 a1+a2+a1=2a2.∴a2=6. 由 Sn+1+ Sn=2an+1,??(1) Sn+2+Sn+1=2an+2,??(2) (2)-(1),得 Sn+2-Sn+1=2an+2-2an+1,∴an+1+an+2=2an+2-2an+1 即 an+2=3an+1 此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an= ?

?

3, 当n ? 1时,
n ?1

?2 ? 3

,当n ? 2时.

此数列的前 n 项和为 Sn=3+2× 3+2× 32+?+2× 3n – 1=3+ 5、 a n = S n - S n ?1 = 则

2 ? 3(3 n ?1 ? 1) n =3 . 3 ?1

1 1 1 n(n+1)(n+2)- (n-1)n(n+1)=n(n+1).当 n=1 时,a1=2,S1= × 1× (1+1)× (2+1)=2,∴a1= S1. 3 3 3

an = n ( n + 1 ) 是 此 数 列 的 通 项 公 式 。 ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) =1- = a1 a 2 an 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1 n ?1 n . n ?1

7

6、 (1)设公共根为 p,则 ai p ? 2ai ?1 p ? ai ? 2 ? 0 ① ai ?1 p ? 2ai ? 2 p ? ai ?3 ? 0 ②则②-① ,得 dp2+2dp+d=0,d≠0 为
2 2

公 差 , ∴ (p + 1)2=0. ∴ p= - 1 是 公 共 根 .( 直 接 观 察 也 可 以 看 出 公 共 根 为 - 1).(2) 另 一 个 根 为 mi , 则 mi + ( - 1)=

? 2ai ?1 a 2d 1 2d 1 1 ? ?2 ? ? ? i ,易于证明{ .∴ mi +1= ? 即 }是以- 为公差的等差数列. ai ai mi ? 1 2d ai mi ? 1 2

7、 解由根与系数关系, a n + a n ?1 =-3n,则( a n ?1 + a n ? 2 )-( a n + a n ?1 )=-3,即 a n ? 2 - a n =-3.∴a1,a3,a5?和 a2,a4,a6? 都是公差为-3 的等差数列,由 a1=2,a1+a2=-3,∴a2=-5.则 a 2 k =-3k-2,∴a100=-152, a 2 k ?1 =-3k+5,∴a101=-148, ∴c100= a100 ? a101=22496 8、 设首项分别为 a 和 b,公比 q 和 r. 则有 q ?1, r ?1 .依据题设条件,有
2n?2

a b n ?1 2 n ?1 =1,① =2,② ?aq ? ? br ,③ 由 1? q 1? r

上面的①,②,③ 可得(1-q)2 q

=2(1-r) r n?1 .令 n=1,有(1-q)2=2(1-r),④设 n=2.则有(1-q)2q2=2(1-r)r,⑤ 由④和

⑤,可得 q2=r,代入④ 得(1-q)2=2(1-q2).由于 q≠1,∴有 q= ?

1 1 4 16 ,r = .因此可得 a=1-q= ,b=2(1-r)= . 9 3 3 9

4 16 ? ? ?a?3 ?b ? 9 2 ∴? 和 经检验,满足 a n ? bn 的要求. 1 ? 1 ?q ? ? ?r ? 3 ? 9 ?
1 ? 1 1 ?bn ? (a n ? a n ?1 ) 9、依据题设条件,有 ? 由此可得 bn ? ( bn ?1bn ? bn bn ?1 ) = bn ( bn?1 ? bn?1 ) .∵ bn >0, 2 2 2 ? ? a n ?1 ? bn bn ?1
则 2 bn ?

bn ?1 ? bn ?1 。∴{ bn }是等差数列.∴ bn =
2

( n ? 1) 2 . 2



n 2 ( n ? 1) 2 ? n( n ? 1) ? 1 a ? bn ?1bn ? ? =? ,∴ a n = n(n ? 1) ? 2 2 2 ? 2 ?
2 n

10、2m+n-1

注:可按测试标准进行评分(如 10 分学生得分

,时间



例题精讲
一、利用常用求和公式求和

8

[例 1] 已知 log 3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3

解:由 log 3 x ?

?1 1 ? log 3 x ? ? log 3 2 ? x ? log 2 3 2
Sn ? x ? x2 ? x3 ? ? ? ? ? xn
(利用常用公式)

由等比数列求和公式得

1 1 (1 ? n ) x(1 ? x ) 2 2 =1- 1 = = 1 1? x 2n 1? 2
n

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f ( n) ? 解:由等差数列求和公式得 S n ? ∴ f ( n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32 ) S n ?1

1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2

(利用常用公式)

Sn n = 2 (n ? 32 ) S n ?1 n ? 34 n ? 64



1 n ? 34 ? 64 n



( n?

1 8 n

?
) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

8 1 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

二、错位相减法求和 [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3 n ?1

………………………①
n ?1

解:由题可知,{ (2n ? 1) x
2

n ?1

}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x
4 n

}的通项之积

设 xS n ? 1x ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x ………………………. ②
3

(设制错位) (错位相减)

①-②得 (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? ? ? ? ? 2 x
2 3 4

n ?1

? (2n ? 1) x n

再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n ?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

9

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n (设制错位) S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 ∴ S n ? 4 ? n ?1 2

三、反序相加法求和 [例 5] 求证: C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n ? (n ? 1)2
0 1 2 n 0 1 2 n n

证明: 设 S n ? C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n ………………………….. ① 把①式右边倒转过来得
n n ?1 1 0 S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? ? ? 3C n ? Cn

(反序)

又由 Cn ? Cn
m

n?m

可得

0 1 n ?1 n S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? ? ? 3C n ? Cn …………..…….. ② 0 1 n ?1 n 2S n ? (2n ? 2)(C n ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2 n

①+②得 ∴
2 ? 2

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n
? 2 ? 2 ? 2 ?

[例 6] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值 解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 …………. ①
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

将①式右边反序得

S ? sin 2 89 ? ? sin 2 88 ? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..②
又因为 sin x ? cos(90 ? x), sin x ? cos x ? 1
? 2 2

(反序)

①+②得

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2 ? ? cos2 2 ? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89 ? ? cos2 89 ? ) =89

10



S=44.5

四、分组法求和

[例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a
3 2

(分组) (分组求和)

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:设 a k ? k (k ? 1)( 2k ? 1) ? 2k ? 3k ? k ∴

S n ? ? k (k ? 1)( 2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2

?
k ?1
3

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1
3 3 2 2 2

n

n

(分组)

= 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)



n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)( 2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2

(分组求和)

n(n ? 1) 2 (n ? 2) = 2

11

五、裂项法求和 通项常用分解(裂项)如: (1) a n ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? ? ? cos n cos(n ? 1)

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

( 2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)
n?2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

(6) a n ?

[例 9] 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3 1

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?

n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ?1 ?1 [例 10] 在数列{an}中, an ? ∵ an ?

2 1 2 n ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. ? ? ??? ? a n ? a n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

解:

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ? 1 ? 2 2

(裂项)

∴ 数列{bn}的前 n 项和

12

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n = 8(1 ? ) = n ?1 n ?1
[例 11] 求证: 解:设 S ?

(裂项求和)

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos 0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88 ? cos89 ? sin 2 1?

1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89 ?
?



sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? ? ? cos n cos(n ? 1)
?

(裂项)

∴S ?

1 1 1 (裂项求和) ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89 ? 1 = {(tan1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} sin1?


cos1? 1 1 ? ? ? = = (tan 89 ? tan 0 ) ? cot 1 sin 2 1? sin1? sin1?

∴ 原等式成立

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在 一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值. 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°

180 ? n ) ∵ cos n ? ? cos(
? ? ?

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+· · · +(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) = 0 [例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an ? 2 ? an ?1 ? an ,求 S2002. 解:设 S2002= a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a 2002 由 a1 ? 1, a 2 ? 3, a3 ? 2, a n? 2 ? a n ?1 ? an 可得

a 4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,

13

??

a6 k ?1 ? 1, a6 k ? 2 ? 3, a6 k ?3 ? 2, a6 k ? 4 ? ?1, a6 k ?5 ? ?3, a6 k ?6 ? ?2
∵ a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? a6 k ?3 ? a6 k ? 4 ? a6 k ?5 ? a6 k ?6 ? 0 ∴ S2002= a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a 2002

(找特殊性质项) (合并求和)

= (a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? ? ? ? ? a6 k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a 2000 ? a 2001 ? a2002 = a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? a6 k ?3 ? a6 k ? 4 =5 [例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a10 的值. 解:设 S n ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? am an ? a p aq 和对数的运算性质 log a M ? log a N ? log a M ? N 得

(找特殊性质项)

S n ? (log 3 a1 ? log 3 a10 ) ? (log 3 a2 ? log 3 a9 ) ? ? ? ? ? (log 3 a5 ? log 3 a6 )
= (log 3 a1 ? a10 ) ? (log 3 a 2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log 3 a5 ? a6 ) = log 3 9 ? log 3 9 ? ? ? ? ? log 3 9 =10

(合并求和)

七、利用数列的通项求和

[例 15] 求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ??
n个1

?? ?1 ? 解:由于 111 ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10 k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ?? =

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

(分组求和)

14



1 1 1 (10 ? 10 2 ? 10 3 ? ? ? ? ? 10 n ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1



1 10(10 n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9



1 (10 n?1 ? 10 ? 9n) 81
? 8 , 求? (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) 的值. (n ? 1)( n ? 3) n ?1

[例 16] 已知数列{an}: a n ?

解:∵ (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (n ? 1)( n ? 3) (n ? 2)( n ? 4)

(找通项及特征)

= 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)( n ? 4) (n ? 3)( n ? 4)

(设制分组)

=4?(

1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4

(裂项)



? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

?

?

? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

(分组、裂项求和)

=4?( ?

1 1 1 ) ? 8? 3 4 4 13 = 3

课后习题:

15

师生反思:

< 建议用时 3 分钟!>

此处建议主要让学生回顾本节知识,教师适当补充

教师感悟

在授课过程中发现的问题(包括讲义再需要完善的地方,自己的不足,本节课的收获等)

16



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