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福建省福州市第八中学2016届高三上学期第二次质量检测考试数学(理)试题



福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第二次质量检查

数学(理)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
2015.10.8

x 1.已知全集 U=R,集合 A ? x | 0 ? 2 ? 1 , B ? ?x | log 3 x ? 0 ? ,则 A ? (CU B) =

一、选择题: (每小题只有一个正确答案,共 12 小题,每小试题 5 分,共 60 分)

?

?

A. ?x | x ? 1?

B. ?x | x ? 0?

C. ?x | 0 ? x ? 1?

D. ?x | x ? 0?

2. tan ? ? tan ? ? 0 成立是 tan ?? ? ? ? ? 0 成立的( A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 3.已知命题 p :函数 f ( x) ? sin2 x ?

)条件.

B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

1 的最小正周期为 ? ;命题 q :若函数 f ( x ? 1) 为 2 偶函数,则 f ( x) 关于 x ? 1 对称.则下列命题是真命题的是 A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. p ? (?q )
4.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 3 x ? y ? 0 上,则

sin(

3? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) 2 等于

sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 3 3 A. ? B. 2 2

?

C.

3 3 ,? 2 4

D. ?
?

3 2

5 . ?ABC中,已知a, b, c分别为角A, B, C的对边且?A ? 60 , 若 S ?ABC ?

2 sin B ? 3 si C n,则 ?ABC 的周长等于
A. 5 ? 7 6.若椭圆 A. B.12 C.10+ 7
2 2

3 3 ,且 2

D.5+ 2 7

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的面积为 ab? ,则 ? 0 a 2 b2
B.

1 ? 2 x 2 dx ?
D.

7.函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为

? 4

? 8

C.

2? 4

2? 8

8.设点 P 是函数 y ? ? x ( x ? 1) 图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾 斜角为 ? ,则 ? 的取值范围是

A. ? ? ?

? 2? ? ,? ? ? 3 ?

B. ? ? ?

? ? 3? ? , ? ?2 4 ?

C. ? ? ?

? ? 2? ? , ? ?2 3 ?

D. ? ? ?

9.已知 f ( x) ? sin(?x ? ? )

?? ? R,0 ? ? ? ? ? ,满足 f ( x) ? ? f ( x ?

?
2

?? ? ? , ? ? 3 2?

) , f (0) ?

? ?? f ?(0) ? 0 ,则 g ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) 在区间 ?0, ? 上的最大值与最小值之和为 ? 4? A.-3 B.3 C. 3 ? 1 D. 1 ? 3
10 . 定 义 在 区 间 [0,1] 上 的 函 数 f ( x ) 的 图 象 如 图 所 示 , 以 、B A (0,f ( 0)) ( 1,f (1)) 、 C(x,f ( x)) 为顶点的?ABC 的面积记 数 S ( x) ,则函数 S ( x) 的导函数 S ?( x ) 的大致图象为

1 , 2

为 函

11.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图像如图所示,A、B、C 分别

是 函 数 图 像 与 x 轴 交 点 、 图 像 的 最 高 点 、 图 像 的 最 低 点 . 若 f ? 0? ? 3 , 且

u uur u uur ?2 A B? B C? ? 8 .则 f ( x) 的解析式为 8 ?? ? A. f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ? ?? ? B. f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ? ?? ? C. f ? x ? ? 2sin ? 3x ? ? 3? ? ?? ? D. f ? x ? ? 2sin ? 3x ? ? 6? ?
12.设集合 X 是实数集 R 的子集,如果点 x0 ? R 满足:对任意 a ? 0 ,都存在 ..x ? X , 使 得 0 ?| x ? x0 |? a , 那 么 称 x0 为 集 合 X 的 聚 点 , 用 Z 表 示 整数 集 ,下 列 四 个集 合: ①?

? n ? ?1 ? n ? Z , n ? 0? ,② ? x x ? 0? ,③ ? n ? Z , n ? 0? ,④整数集 Z .其中以 0 为聚点 ? n ?1 ? ?n ?
D.②④

的集合有( ) A.①② B.②③ C.①③ 二、填空题: (4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 tan?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 tan ? ? 2? ? = ___________ . ?6 ? 3 ? 3 ?

14.若函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是__________. 15. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:f ? x ? ? 1 ? f ? ? x ? , f ? 0 ? ? 0, f ? ? x ? 是f ? x ? 的导函数, 则不等式 e f ? x ? ? e ? 1 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为___________.
x x

16.圆 O 的半径为 1, P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1的正方形(实线所示 , 正方形的顶点 A 和点 P 重合)沿着圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路径的长度为 三、解答题: (6 小题,共 70 分) 17 . ( 本 小 题 10 分 .










D A A(P) B D C C

? ?? x ? 1( x ? ?2) ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 3(?2 ? x ? ),( x ? R) 2 ? 1 ? 5 x ? 1( x ? ) ? 2 ?
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值;

(Ⅱ)已知 m ? R ,命题 p : 关于 x 的不等式 f ( x) ? m 2 ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立;
2 x 命题 q : 函数 y ? (m ? 1) 是增函数, 若“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假, 求实数 m 的取值范围.

18 . ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) , 其 中 a ? R ,

? ? ? ? (? , ) .
2 2
(Ⅰ)当 a ?

2, ? ?

?
4

时,求 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? 上的最大值与最小值;

(Ⅱ)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a , ? 的值.

?

2

19. (本小题 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? 有极大值

x2 ?a (其中 a ? R ) . 当 x ? e 时, 函数 f ? x ? 2e2

1 . 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间;
2 (Ⅲ)任取 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,证明: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 3 .

20 . (本小题 12 分)在△ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c 满足:

cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ?
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若

3 , 且 a、b、c 成等比数列, 2

a c 2b ? ? , a ? 2 ,判断三角形形状. tan A tan C tan B

21. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 ( a ? R ). (Ⅰ)若函数 f ( x ) 图象上的点都在不等式组 ? 的取值范围;

?x ?1 ? 0 表示的平面区域内,求实数 a ? x ? y ?1 ? 0

? ( Ⅱ ) 若 函 数 h( x) ? x ? ? f ( x)
4

?

? ( 2x? 1) x ? 1 ? b2x ? 在 1 (0, ??) 上 有 零 点 , 求 ?

a 2 ? b 2 的最小值.
22. (本小题 12 分)设函数 f ?x? ? a?x ? 1? ln?x ? 1? ? bx ,其中 x ? ?1 ,曲线 y ? f ?x ?
2

过点 e ? 1, e 2 ? e ? 1 ,且在点 ?0,0? 处的切线方程为 y ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, f ?x ? ? x 2 ;
2 (Ⅲ)若当 x ? 0 时, f ?x? ? mx 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第二次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准
一、选择题: (每小题只有一个正确答案,共 12 小题,每小试题 5 分,共 60 分) 1. D2. A3. B4. B5. A6. D7. C8. C9. A10.D11. A12. B 二、填空题: (4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?

4 3

14. (2 ? 2ln 2, ??) 【解析】考查 y ? e x 和 y ? 2 x ? a 的交点情况,由于直线 y ? 2 x ? a 的方向确定,画出图 象易知,当直线 y ? 2 x ? a 和 y ? e x 相切时,仅有一个公共点,这时切点是 (ln 2, 2) ,切线方程 是 y ? 2 x ? 2 ? 2ln 2 ,将直线 y ? 2 x ? 2 ? 2ln 2 向上平移,这时两曲线必有两个不同的交点. 15. 16.

?2 ? 2 ?? .
2

? 0, ?? ?

三、解答题: (6 小题,共 70 分) 17.【解析】 (本小题 10 分) (Ⅰ)结合图象,知函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得最小值 1 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 m 2 ? 2m ? 2 ? 1 ,解得 ? 3 ? m ? 1 ? 命题 p : ?3 ? m ? 1 ……………………3 分
2 x 2 2 对于命题 q ,函数 y ? (m ? 1) 是增函数,则 m ? 1 ? 1, 则 m ? 2

? 命题 q : m ? ? 2 或 m ? 2 ……………………6 分
由“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假可知有以下两种情形: 若 p 真 q 假,则 ? 3 ? m ? 1;? 2 ? m ?

2 ,解得: ? 2 ? m ? 1 ;…………8 分 2 ,解得: m ? ?3 或 m ? 2

若 p 假 q 真,则 m ? ?3, m ? 1; m ? ? 2 , m ?

故实数 m 的取值范围是: m ? ?3 ,或 ? 2 ? m ? 1 ,或 m ? 18.【解析】 (本小题 12 分) (Ⅰ)当 a ?

2 .…………10 分

2, ? ?

?
4

时,

?? ?? ? ? f ? x ? ? sin ? x ? ? ? 2 cos ? x ? ? 4? 2? ? ?
?

2 ? sin x ? cos x ? ? 2 sin x 2 2 2 ?? ? 高三数学(理)第二次质量检查试卷答案 第1页 共4页 ? cos x? sin x ? sin ? ? x ? 2 2 ?4 ? ……………………3 分
? 3? ? ? ? x ? ? ? , ? ,………………4 分 4 ? 4 4? 2 故 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上的最大值为 ,最小值为-1……………………6 分 2
因为 x ??0, ? ? ,从而

?

? ?f (Ⅱ)由 ? ?f ?

?? ? ? ? ??0 ?cos ? ?1 ? 2a sin ? ? ? 0 ,得 ? ………………8 分 ?2? 2 2 a sin ? ? sin ? ? a ? 1 ? ? ?? ? ? 1

?a ? ?1 ? ? ? ?? 又 ? ? ? ? , ? 知 cos ? ? 0 解得 ? ? .………………12 分 ? ?? ? 2 2? ? 6 ? 考点: f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? 的综合应用
19.【解析】 (本小题 12 分) (Ⅰ)由题知 f (e) ? ln e ? (Ⅱ)由题可知函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 又 f ( x) ?
'

e2 1 ? a ? ,解得 a ? 0 …2 分 2 2e 2

1 x e 2 ? x 2 (e ? x)(e ? x) ……………………4 分 ? ? 2 ? x e2 e x e2 x (e ? x)(e ? x) (e ? x)(e ? x) 由 ? 0得0 ? x ? e ; ? 0得x ? e; 2 e x e2 x 故函数 f ( x) 单调增区间为 (0, e) ,单调减区间为 (e, ??) …………………………7 分
(Ⅲ)因为 f ( x) ? ln x ?

x2 ,由(1)知函数 f ( x) 的单调减区间为 (e, ??) ,故 f ( x) 在 2e 2

[e, e 2 ] 上单调递减,
e2 1 1 ? f ( x) max ? f (e) ? ln e ? 2 ? 1 ? ? ;…………………………8 分 2e 2 2 4 e e2 f ( x) min ? f (e 2 ) ? ln e 2 ? 2 ? 2 ? ; ……………………9 分 2e 2 2 1 e e2 ? 3 ? f ( x) max ? f ( x) min ? ? (2 ? ) ? 2 2 2 2 e ?3 ? f ( x) max ? f ( x) min ? ? 3 ①………………11 分 2 依 题 意 任 取 x1 , x2 ? [e, e 2 ] , 欲 证 明 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 , 只 需 要 证 明

f ( x) max ? f ( x) min ? 3 ,
由①可知此式成立,所以原命题得证.………………12 分 考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.利用导数求最值;3.利用导数证明不等式. 20.【解析】 (Ⅰ)∵ cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? ∴ 2sin A sin C ?

3 , 2

3 , ………………2 分 2 2 2 又∵ b ? ac ? sin B ? sin A sin C ………………4 分 3 2 ∴ 2 sin B ? 而 a, b, c 成等比数列,所以 b 不是最大 2 0 故 B 为锐角,所以 B ? 60 …………………………6 分 a c 2b a cos A c cos C 2b cos B ? ? ? ? (Ⅱ)由 ,则 ,……8 分 tan A tan C tan B sin A sin C sin B 所以 cos A ? cos C ? 2 cos B ? 1 ,

又因为 A ? C ?

2? ? 所以 A ? C ? ………………………………10 分 3 3

所以,三角形 ABC 是等边三角形.………………12 分 考点:1.三角函数基本公式;2.同角间三角函数关系;3.正弦定理解三角形 21.【解析】 (本小题 12 分) (Ⅰ)由题意可知, f ( x) ? ax ? x ? 1 ? x ? 1 在 [?1, ??) 上 恒成立,…………2 分

x ? 1 , 则 t ? 0 , 代 入 得 a(t 2 ?1) ? t ? t 2 ? 2 在 [0, ??) 上 恒 成 立 , 即 在 a( t? 1 ) ( t? 1? ) t( ? 2t ) ?(, 即 1a ) ( t ? 1) ? t ? 2对 t ? 0 恒 成 立 , 即 (a ? 1)t ? 2? a ? 0 [0, ??) 上恒成立,………………………………4 分 此时,只需 a ? 1 ? 0 且 2 ? a ? 0 ,所以有 1 ? a ? 2 .……………………6 分(Ⅱ) 4 2 2 (II)依题意: h( x) ? x ? ? f ( x) ? x ? 1? ( x ? 1) ? bx ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有解, ? ? a 1 1 2 2 即 x ? ax ? ? b ? 2 ? 0 ,令 t ? x ? ,则 t ? 2 ,代入得方程 t ? at ? b ? 2 ? 0 在 x x x [2, ??) 上有解,………………………………8 分 设 g (t ) ? t 2 ? at ? b ? 2 ( t ? 2 ) , a 当 ? ? 2, 即 a ? ?4 时, 只需 ? ? a 2 ? 4b ? 8 ? 0 ,a 2 ? b 2 的几何意义就是表示点 ( a, b) 2 2 2 到原点 (0, 0) 距离的平方,在此条件下,有 a ? b ? 16 ;………………10 分 a 当 ? ? 2 ,即 ?4 ? a 时,只需 g (2) ? 0 ,即 22 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ,即 2a ? b ? 2 ? 0 , 2 4 a 2 ? b 2 的几何意义就是表示点 ( a, b) 到原点 (0, 0) 距离的平方,在此条件下,有 a 2 ? b 2 ? . 5 4 2 2 所以, a ? b 的最小值为 .……………………12 分 5 22.【解析】 (本小题 12 分) (Ⅰ) f ' ?x? ? 2a?x ? 1?ln?x ? 1? ? a?x ? 1? ? b , 2 2 ? f ' ?0? ? 高三数学(理)第二次质量检查试卷答案 a ? b ? 0 , f ?e ? 1? ? ae2 ? b?e ? 1? ? a e ?1 第? 3e 页 共? 4e 页 ? e ? 1, ? a ? 1 , b ? ?1 ……2 分 2 2 (Ⅱ) f ?x? ? ?x ? 1? ln?x ? 1? ? x ,设 g ?x? ? ?x ? 1? ln?x ? 1? ? x ? x 2 , ?x ? 0? ,
令 t?

?

?

? g ' ?x ?在 ?0,??? 上单调递增,? g ' ?x? ? g ' ?0? ? 0 ,? g ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增, ? g ?x ? ? g ?0? ? 0 .? f ( x) ? x2 .………………6 分
2

则 g ' ?x? ? 2?x ? 1?ln?x ? 1? ? x , ?g ' ?x?? ? 2 ln?x ? 1? ? 1 ? 0 ,…………4 分
'

(Ⅲ)设 h?x? ? ?x ? 1? ln?x ? 1? ? x ? mx2 ,?h? ? x ? ? 2 ? x ?1? ln ? x ?1? ? x ? 2mx , 由(Ⅱ)中知
'





? h ?x? ? 3x ? 2mx ,………………8 分 3 ' ①当 3 - 2m ? 0 ,即 m ? 时, h ?x ? ? 0 ,? h?x ? 在 ?0,??? 单调递增, 2 ? h?x ? ? h?0? ? 0 ,成立.………………10 分 3 ' ②当 3 ? 2m ? 0 ,即 m ? 时, h ?x? ? 2?x ? 1?ln?x ? 1? ? ?1 ? 2m?x , 2
当 x ? ?0, x0 ? 时, h ?x? ? h ?0? ? 0 ,? h?x ? 在 ?0, x0 ? 上单调递减,
' '

h" ?x ? ? 2 ln?x ? 1? ? 3 ? 2m ,令 h" ?x? ? 0 ,得 x0 ? e

2 m -3 2

?1 ? 0 ,

? h?x ? ? h?0? ? 0 ,不成立. 3 综上, m ? .………………12 分 2
考点: (1)导数的运算及其几何意义; (2)利用导数求函数的最值及分类讨论思想的应 用; (3)构造函数的应用,注意小步设问寻找解决问题的突破口。

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