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由高中课本中的习题联想到函数的凹凸性



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专 题 研 究 
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糜 
◎ 季锦 成  ( 江 苏省 泰 州 市 民兴 实验 中 学
大学知识点下 放 到高 中是新课 程 中的一 个特 点 , 苏 教  版 将 这 些 知 识 点 的 下 放 有 的放 于 章 节 学 习 中 , 有

的 放 于 课  定义

2 2 5 3 0 0 )  

设函数(  ) 为定义在 区间 , 上 的函数 , 若对 , 上 

任 意 两 数  ,   和任 意 实 数 t ∈( 0 , 1 ) 总 有 f[ t x 。 +( 1一   t )  ] ≤以  , )+( 1 ~£ )   ) , 则称 函数 f (  ) 为, 上 的 凸 函  数. 反之, 如 果 总有 f [ t x 。 +( 1一t )   ]≥ 矿(  。 )+ ( 1一  

后“ 探究拓展 ” 中, 虽 没 有 明确 指 出大 学 所 讲 的 严 格 定 义 , 但 
从感性的角度给学生一个认识 , 对这些 知识点 的了解 , 有 时  对 学 生 的 思 维 拓 展 起 到 很 好 的作 用 .  

如 苏 教 版 必 修 1中就 有 这 样 两 道 思 维 拓 展 题 :   1 .对 于 任 意 的  . ,   ∈R, 若 函数 f (  )=2   , 试 比 较 

) , (  ) , 则称函数, (  ) 为, 上的凹函数. 当令 t = ÷ 时, 就变 
成 了我 们 前 两 个 问 题 的 答 案 , 所 以, 我 们 可 以 知 道 函 数  , (  )= 2  在 R 上 定 凸 的 , 而 函数 . 厂 (  )=l g x是 凹 的 .   其 实 高 中 所 学 的 好 多 函数 都 具 有 这 样 的 凹 凸 性 , 像 我  们 所 学 的 指数 函 数 、 对数 函数 、 幂 函数 、 三角 函 数 在 一 定 的  区 间上 都 有 凹 凸 性 , 其 实 利 用 这 些 性 质 可 以 解 决 我 们 所 熟  悉 的一 些 问题 . 像 我 们 所 学 的 基 本 不 等 式 就 可 以 用 函 数 的 
凹 凸性 来 构造 函数 证 明.  
例 1   证 明 
J-  

二   与   \  z —  1  ,   的 大 小 关 系 .  
2 . 对 于任 意 的  ,   ∈( O , +   ) , 若 函数 厂 (  )=l g x , 试 

比 较 丛  }   与   ÷   1 的 大 小 关 系 .  
厶   、   /  

这 两 道题 的 比 较 应 该 是 比 较 简 单 的 , 只 需 要 将 两 式 作  差 即可 , 如 下 证 明第 一 题 :  


≤ 
1   X2  

≤  

,  J>0,  2>0, 当  

, ( 华 1 :  

一 z   一  
等 号 成 立 即可 .  

÷【 (  ) 2 T   )   z + ( 2   T )   z 一 2 . ? 2   —  】 】 : ÷( 2 ≥ 丁 一 2 ≥ 丁 )   ≥ ≥, 0 , 所 以 ,   对 于 函 数  ) = 2   ,  
二  

且仅 当   =  :时 等 号 成 立.  

证 明  当  =   时 等 号显 然成 立 . 只 需 证  ≠   : 时, 不  取_ 厂 (  )= 一l g x , 则, , = 厂 _ (  ) 在( 0 , +。 。 ) 上是凸函数 ,  


≥ / 丫   {   1 .  
、   二   /  

同理 我 们 可 以 知 道 对 于 函 数 _ 厂 (  ) =l g x , 则 有 

l g  

c  

: 一l g  

二  



/ f 、  

1 ,   .  

因, (  )= 一 l g x 单调减 , 故 有 

<  —  

我 们 的学 生 有 可 能 做 到 这 就 结 束 了 , 没 有 去 反 思 为 什  么 出现 这 样 的 情 况 , 其 实 这 要从 函 数 的 凹 凸 性 来 说 起 .   什 么 叫 函 数 的 凸 性 呢 ? 我 们 先 以 两 个 具 体 函数 为 例 ,  
从 直 观 上 看 一 看 何 谓 函数 的 凸性 . 如 函 数 Y=   所 表示 的曲   线 是 向上 凸 ( 即凹) 的, 而 ) , =   所表示 的曲线是 向下 凸的 ,  

又 将 用 ÷ 代 换   ,  寺   去 c   ,  
即 
。 。

<  
 

, 所 以 原命 题 得证 .  

这 与 我 们 日常 习 惯 上 的 称 呼 是 相 类 似 的. 或更准 确地 说 : 从 



1  

, 

几何上看 , 若, , = , (  ) 的图形在 区间 , 上是 凸的 , 那 么 连 接  曲 线 上 任 意 两 点 所 得 的 弦 在 曲线 的上 方 ; 若 Y= _ 厂 (  ) 的 图 形 
在区间 , 上是 凹的, 那 么 连 接 曲 线 上 任 意 两 点 所 得 的弦 在 曲   线的下方.  
, 、

也可以运用 , , =   的 凹 凸性 来 证 明. 当  > 0 , Y> 0   f I l 『 ,  

/ 苎 _ ÷   ≥   , 当 且 仅 当   = Y 时 等 号 成 立 . 这 种 证 明 方 法  
例2   已知  >0, b>0, n  +b  ≤2, 求证 :   +b ≤2 .  

设函数. 厂 (  ) 在 区间 , 上 是 凸 的  ( 向下 凸 ) , 任 意 。 ,   ∈, (   <   ) .  
曲 线 Y =f(   )上 任 意 两 点  A (   。   厂 (   ) ) , B(   , f (   ) ) 之 间 的 

能 够 培 养 学 生 的 思 维 能 力 及 构 造 函 数 的 能 力.  

证法.  

在 高 中 阶 段 我 们 对 这 个 式 子 的 证 明 通 常 用 反 

图像 位 于 弦 A B的下方 , 即 任 意  ∈   (  。 ,  ) , , (  ) 的值小于或等于弦 A B  

假 设 Ⅱ+b> 2 ,   么 b>2一n , 代入 口  +b  >。  +( 2一  

口 )  = 2 [ n  一0( 2—   )+ ( 2—0 )  ]=2( 3 a  一6 a+4 )=   2 [ 3 ( 0—1 )  +1 ] ≥2 .  
所 以 出现 矛盾 . 所 以 口+6 ≤2 .  

在  点 的函 数值, 弦A B 的 方 程) , =  型 二 丛  f  
X2 一  l  

对 任 意  ∈ (  。 ,   )有 f(   )≤   一
2 一   I  

但如 果 运 用 函 数 的 凹 凸 性 , 很 快 可 以得 出结 论 :   函数 , (  )=   在( 0 , +   ) 内严 格 凸.  


( I     一   ) ,十, +  l   ) J , .   整理 1 得  寻  
‘  

)≤ )≤—   

r (   )+——— )+    
X2 ~  1  

: ) .  

(  )   =   ) ≤  

=   ≤  

2 一  1  

÷ =1 , . 。 . ( o+b )  ≤8 , . ’ . Ⅱ+b ≤2 .  
函数 凹 凸 性 的 定 义 本 身 就 是 一 个 不 等 式 , 所 以 在 比较 


令  :  
X2 一  1  

, 则 有 0<z <1 , 且  :  

扛  +( 1 一   )  , 易 得 三二  :1 一   上式 可写成 , [ 扛  +( 1一  


些 较 难 的代 数式 的 大 小 时 可 以 考 虑 构 造 函 数 运 用 函 数 的   凹 凸 性来 比较 . 同 时 可 以 将 凹 凸 性 的定 义 用 特殊 值 代 换 , 变  为 中点 的形 式 来 解 决 相 关 问题 .  



一 

I  

t )   ] ≤t f (  。 )+( 1一 t ) /   ) .  
数学学习与研究 2 0 1 2 , 3  



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