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正弦函数、余弦函数的性质



复习回顾
1.如何利用五点法画函数 y ? sin x, x ? ? 0, 2? ? 的简图? 2.如何利用五点法画函数 y ? cos x, x ? ? 0, 2? ? 的简图?

讲授新课
y
1 -4? -3? -2? -?

正弦曲线
?
2?

o

>-1

3?

4?

5?

6? x

y
1 -4? -3? -2? -?

余弦曲线
? 2? 3? 4? 5?

o
-1

6? x

周期性:
形: 正弦函数的图象是“周而复始”出现 的,并且每隔2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z重复出现)

数: 诱导公式sin(x+2?)=sinx

结论:这样一种函数叫做周期函数.

周期函数定义:
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得 当x取定义域内的每一个值时,都有:f (x+T)=f(x). 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个 函数的周期.

2? ? ()对于函数 1 y ? sin x, x ? R, 有 sin( ? ) ? sin , 6 3 6 2? 能否说 是y ? sin x的周期? 3

?

对周期函数来说f ( x ? T ) ? f ( x)必须对定义域 内的任意x都成立。

(2)函数y ? f ( x)的周期为T,则kT (k ? Z ) 也是y ? f ( x)的周期吗?为什么?
若常数T是周期函数f(x)的周期,则 kT (k ? Z 且k ? 0) 也是函数f(x)的周期.

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的 最小正周期.

f ( x) ? 1 是周期函数吗?它有最 (3)函数 小正周期吗?
并不是所有的周期函数都有最小正周期, 如 f ( x) ? c (c是常数)是周期函数,任何非零 实数都是它的周期,但没有最小正周期.
注意:今后涉及到的周期,如果不加特别说明, 一般都是指函数的最小正周期.

正弦函数、余弦函数的周期性:
正弦函数是周期函数,2k? (k ? Z 且k ? 0)都是它的 周期,最小正周期是 2? . 类比: 余弦函数是周期函数, 2k? (k ? Z 且k ? 0) 都是它的 周期,最小正周期是 2? .

自主探究 函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (Aω≠0)是否是周期函数,它的最小 正周期是多少?函数 f(x)=Acos(ωx+φ)呢?

结论: T ? 2? |? |

例1 求下列函数的周期
(1) y ? 3cos x, x ? R; 1 ? (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R; 2 6 (5) y ?| sin x |, x ? R. (2) y ? sin 2 x, x ? R; (4) y ? 2sin(?2 x ? ), x ? R; 6

?

知识点二 判断三角函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性. ? 1 π? (1)f(x)=sin?- x+ ?; 2? ? 2 (2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 1+sin x-cos2x (3)f(x)= . 1+sin x 点拨

先判断三角函数的定义域是否关于原点对称,再利

用奇偶函数的定义加以判断.
1 解 (1)显然 x∈R,f(x)=cos x, 2 ? 1 ? 1 f(-x)=cos?-2x? =cos 2x=f(x) ? ? ∴f(x)是偶函数.

? ?1- sin (2)由? ? ?1+ sin

x>0 x>0

,得-1<sin x<1.

? ? π 解得定义域为?x|x∈ R且x≠kπ+ , k∈Z?. 2 ? ?

∴ f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+ sin x) ∴ f(- x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+ sin(-x)] = lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴ f(x)为奇函数. (3)∵1+sin x≠0,∴sin x≠- 1, π ∴ x∈R 且 x≠ 2kπ- ,k∈Z. 2 ∵定义域不关于原点对称, ∴该函数是非奇非偶函数.

知识点三 函数周期性与奇偶性的综合运用 例 3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x) ? ?5π ? π? 的最小正周期是π,且当x∈?0, ?时, f(x)= sin x,求f ? ? 2? ? ?3 ? 的值. 点拨

把求f

?5 ? ? π? ? π?化归到?0, ?上求函数值问题. 2? ?3 ? ?

∵f(x)的最小正周期是π, ?5 ? ?5 ? ? π? ∴f ? π?=f ? π-2π?=f ?- ? ?3 ? ?3 ? ? 3? 解 ∵f(x)是R上的偶函数, ? π? ?π ? ?5 ? π 3 3 ? ? ? ? ? ? ∴f - 3 =f 3 =sin 3= 2 .∴f 3π = 2 . ? ? ? ? ? ?

回顾归纳

解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和

奇偶性,把自变量 x 的值转化到可求值区间内.

4下列函数为偶函数的是 A. y ? sin | x | C . y ? ? sin x

( A ) B . y ? sin 2 x D. y ? sin x ? 1



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